Конспект урока: Температура — мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул. Распределение молекул газа по скоростям

Газы в состоянии теплового равновесия

Заметим, что давление является термодинамическим параметром, иными словами, макропараметром, а концентрация и средняя квадратичная скорость или средняя кинетическая энергия молекул, напротив, микропараметрами. Таким образом, основное уравнение молекулярно-кинетической теории для идеального газа устанавливает связь между макропараметром, который можно измерить с помощью приборов, и микроскопическими параметрами газа, которые измерить уже не получится. То есть, измерив только давление газа, мы не можем узнать ни среднее значение кинетической энергии молекул в отдельности, ни их концентрацию. Поэтому для нахождения микроскопических параметров газа требуется измерение ещё какой-то физической величины, которая будет связана со средней кинетической энергией молекул. Такой величиной в физике является температура.

Множество экспериментов по исследованию свойств идеальных газов показали, что для любых газов, находящихся в состоянии теплового равновесия, отношение произведения давления газа на его объём к числу молекул оказывается одинаковым:
 

$\frac{p_1·V_1}{N_1}=\frac{p_2·V_2}{N_2}=\frac{p_3·V_3}{N_3}=\theta$.

Этот опытный факт позволяет принять величину $\theta$ в качестве естественной меры температуры. Так как $n=\frac{N}{V}$, то с учётом основного уравнения молекулярно-кинетической теории 

$p=\frac{1}{3}·m_0·n·{\overline{v}}_{кв}^2$;

получим

$\frac{p·V}{N}=\frac{1}{3}{m}_0{\overline{v}}_{кв}^2=\frac{2}{3}·\overline{E}=\theta$.

Получается, что средняя кинетическая энергия молекул любых газов, находящихся в тепловом равновесии, одинакова. Величина $\theta$ равна двум третям средней кинетической энергии беспорядочного теплового движения молекул газа, а это значит, что она выражается в джоулях (Дж). Величина $\theta$ связана с абсолютной температурой $T$ уравнением:

$\theta =k·T$,
 

где $k$ — постоянная Больцмана, названная в честь австрийского физика Людвига Больцмана — одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Чтобы понять, чему равна постоянная Больцмана, достаточно вспомнить уравнение Менделеева – Клапейрона:

$pV=\frac{m}{M}RT=\frac{N}{N_A}RT=N\frac{R}{\underset{k}{\underbrace{N_A}}}T$.
 

Как видно из последнего равенства, постоянная Больцмана выражается через две другие константы.

Переписывая уравнение Менделеева – Клапейрона как

$\frac{pV}{N}=kT$,

можно получить ещё одну запись основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$p=nkT$.

Данное уравнение показывает, что при одинаковых значениях температуры и концентрации молекул давление любых газов одинаково независимо от того, из каких молекул они состоят.

Температура — мера средней кинетической энергии

Из приведённых выше рассуждений следует, что средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну молекулу идеального газа, прямо пропорциональна абсолютной температуре газа:

$\overline{E}=\frac{3}{2}·k·T$.

Тогда можно сделать вывод, что с точки зрения молекулярно-кинетической теории абсолютная температура является физической величиной, характеризующей среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул. Из последнего уравнения следует, что при $T=0$ средняя кинетическая энергия равна нулю, а значит, и среднеквадратичная скорость хаотического движения молекул идеального газа должна стать равной нулю, то есть при нулевой абсолютной температуре молекулы идеального газа должны покоиться. Этим и обусловлен выбор нулевого значения абсолютной температуры по шкале Кельвина.

Последним осталось выразить среднеквадратичную скорость $v_{кв}$ через абсолютную температуру $T$. Записывая выражения для средней кинетической энергии молекул через абсолютную температуру и по определению, можно получить

$v_{\mathrm{кв}}=\sqrt{\frac{3·k·T}{m_0}}$.

Внутренняя энергия идеального газа

Вычислим внутреннюю энергию идеального газа. При этом учтём, что молекулы в модели идеального газа не взаимодействуют на расстоянии. Если потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий хаотического теплового движения всех его молекул:

$U=N·\overline{E}=\nu ·N_{\mathrm{A}}·\frac{3}{2}k·T=\frac{3}{2}\nu ·R·T=\frac{3}{2}·\frac{m}{M}·R·T$.
 

Это выражение для внутренней энергии справедливо в случае, когда кинетическая энергия молекул представляет собой сумму кинетических энергий только поступательного хаотического движения. Другими словами, энергию, связанную с вращением молекул и колебаниями атомов в молекулах, считают пренебрежимо малой и полагают равной нулю. Это предположение допустимо только для одноатомных газов.

Внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре. Следовательно, при изменении температуры идеального газа обязательно изменяется его внутренняя энергия; если температура остаётся постоянной, то внутренняя энергия идеального газа не изменяется.

Воспользовавшись уравнением Менделеева – Клапейрона $pV=vRT$, можно получить ещё одно выражение для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа:

$U=\frac{3}{2}·p·V$.