Конспект урока: Решение систем уравнений второй степени

Метод подстановки

Системы линейных уравнений можно решить, например, способом подстановки или способом сложения. Оба эти метода решения вам знакомы, и вы умеете их использовать. Каждый из них можно применить и для решения других систем.

Рассмотрим сначала способ подстановки. Вспомним алгоритм решения системы уравнений для этого метода.

1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего получается уравнение с одной переменной;

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. Подставить решения уравнения в выражение из пункта 1 и найти соответствующее значение второй переменной.

Воспользуемся этим способом для решения следующей системы.

Решить систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x+y=-7\end{array}\right.$

Решение

1. Выразим из второго уравнения переменную $y$:

$x+y=-7$, $y=-7-x$.

2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим уравнение с одной переменной:

$x^2+(-x-7{)}^2=25$

$x^2+x^2+14x+49-25=0$

$2x^2+14x+24=0$

$x^2+7x+12=0$

$x_1=-3$; $x_2=-4$.

3. Подставим полученные значения для переменной $x$ в выражение из пункта 1, $y=-7-x$

$y_1=-7-(-3)=-7+3=-4$ 

$y_2=-7-(-4)=-7+4=-3$

4. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений $(-3; -4)$ и $(-4; -3)$.

Ответ: $(-3; -4)$, $(-4; -3)$.

Решить систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}3x-y=2\\ x^2-4x+8=y\end{array}\right.$

Метод сложения

Второй способ решения – метод сложения. Суть метода состоит в том, что при сложении (или вычитании) уравнений системы можно получить уравнение с одной переменной.

1. Умножить или разделить, при необходимости, уравнения (или оба) на число, так чтобы в обоих уравнениях была одна из переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами;

2. Сложить (если коэффициенты одинаковые) или вычесть (если коэффициенты противоположные) уравнения;

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. Подставить решения уравнения в любое из исходных уравнений и найти соответствующее значение второй переменной.

Оба способа пользуются широким распространением и изучение обоих необходимо. 

Рассмотрим применение метода сложения на примере.

Решить систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}5x^2+y^2=36\\ 10x^2+2y^2=36x\end{array}\right.$

Решение

1. Умножим первое уравнение на 2 и получим:

$\left\{\begin{array}{l}10x^2+2y^2=72\\ 10x^2+2y^2=36x\end{array}\right.$

2. Из первого уравнения вычтем второе:

$10x^2+2y^2-(10x^2+2y^2)=72-36x$

$72-36x=0$

3. Решим полученное уравнение:

$72-36x=0$

$x=2$

4. Подставим полученное значение для переменной $x$ в уравнение $5x^2+y^2=36$:

$5·2^2+y^2=36$

$y^2=36-20$

$y^2=16$

$y_1=4$, $y_2=-4$.

5. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений $(2; 4)$ и $(2; -4)$.

Ответ: $(2; 4)$, $(2; -4)$.

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то решить ее бывает трудно. Для ее решения в отдельных случаях применяют метод подстановки и метод сложения.

Решить систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}18x^2+21y^2=61x\\ 6x^2+7y^2=61\end{array}\right.$

Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{y^2}-\frac{x}{y}=\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2},\\ x+y=4.\end{array}\right.$

Решение 

Перепишем систему уравнений в виде: 

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\\ x+y=4.\end{array}\right.$

Пусть $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$. Возведем обе части этого равенства во вторую степень:

$t^2=\frac{x^2}{y^2}+2·\frac{x}{y}·\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}$,

$\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2$.

Первое уравнение примет вид $t^2-t-2=0$, решением которого являются числа $2$ и $-1$. 

Тогда из исходной системы уравнений получаем две системы: 

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2,\\ x+y=4,\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-1,\\ x+y=4.\end{array}\right.$

Решим каждую из них.

1) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2,\\ x+y=4,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}\frac{4-y}{y}+\frac{y}{4-y}=2,\\ x=4-y.\end{array}\right.$

Решим отдельно первое уравнение: 

$\frac{4-y}{y}+\frac{y}{4-y}=2$,

$\frac{16-8y+y^2+y^2-2y\left(4-y\right)}{y\left(4-y\right)}=0$,

$y^2-4y+4=0$ при $y\ne 0$; $y\ne 4$, 

$y=2$.

Если $y=2$, то $x=2$.

2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-1,\\ x+y=4,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}\frac{4-y}{y}+\frac{y}{4-y}=-1,\\ x=4-y.\end{array}\right.$

Решим отдельно первое уравнение:

$\frac{4-y}{y}+\frac{y}{4-y}=-1$,

$\frac{16-8y+y^2+y^2+4y-y^2}{y\left(4-y\right)}=0$,

$y^2-4y+16=0$ при $y\ne 0$; $y\ne 4$.

Последнее уравнение не имеет действительных корней, значит, и система уравнений не имеет решений. 

Ответ: $\left(2; 2\right)$.

Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}xy+2\left(x-y\right)=10,\\ 5xy-3\left(x-y\right)=11.\end{array}\right.$

Решение

Пусть $xy=t$, $x-y=m$. Тогда система уравнений примет вид: 

$\left\{\begin{array}{l}t+2m=10,\\ 5t-3m=11,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}t=10-2m,\\ 50-10m-3m=11,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}t=4,\\ m=3.\end{array}\right.$

Имеем: 

$\left\{\begin{array}{l}xy=4,\\ x-y=3,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}y\left(3+y\right)=4,\\ x=3+y.\end{array}\right.$

Решения первого уравнения: $y_1=1$; $y_2=-4$.

Если $y=1$, то $x=4$. 

Если $y=-4$, то $x=-1$. 

Ответ: $(4; 1)$, $(-1; -4)$.

Решите систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\left(x+4\right)\left(y-1\right)=x^2+5x+4,\\ x^2-xy-3x+8=0.\end{array}\right.$

Решение

Разложим квадратный трехчлен из правой части первого уравнения на множители: 

$x^2+5x+4=\left(x+4\right)\left(x+1\right)$.

Первое уравнение примет вид: 

$\left(x+4\right)\left(y-1\right)=\left(x+4\right)\left(x+1\right)$.

Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки общий множитель:

$\left(x+4\right)\left(y-x-2\right)=0$,

откуда, $x=-4$ или $y=x+2$. 

Если $x=-4$, то из второго уравнения получим $y=-9$. 

Если $y=x+2$, то из второго уравнения $x=1,6$, тогда $y=3,6$. 

Ответ: $(-4; -9)$, $\left(1,6; 3,6\right)$.