Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение систем уравнений второй степени

Системы уравнений и неравенств

13.04.2024
1723
0

Решение систем уравнений второй степени

План урока

  1. Способ (метод) подстановки;
  2. Способ (метод) сложения.

Цели урока

  • Знать алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки;
  • Знать суть метода сложения для решения систем уравнений второй степени;
  • Уметь использовать метод подстановки для решения систем уравнений второй степени;
  • Уметь использовать метод сложения для решения систем уравнений второй степени.

Разминка

  • Какие способы решения систем линейных уравнений вы изучали?
  • Сколько решений имеет система линейных уравнений?

Метод подстановки

 

Системы линейных уравнений можно решить, например, способом подстановки или способом сложения. Оба эти метода решения вам знакомы, и вы умеете их использовать. Каждый из них можно применить и для решения других систем.

 

Рассмотрим сначала способ подстановки. Вспомним алгоритм решения системы уравнений для этого метода.


Алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки:

1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего получается уравнение с одной переменной;

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. Подставить решения уравнения в выражение из пункта 1 и найти соответствующее значение второй переменной.


Воспользуемся этим способом для решения следующей системы.


Пример 1

Решить систему уравнений:

 

x2+y2=25x+y=-7


Решение

 

1. Выразим из второго уравнения переменную y:

 

x+y=-7y=-7-x.

 

2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим уравнение с одной переменной:

 

x2+(-x-7)2=25

x2+x2+14x+49-25=0

2x2+14x+24=0

x2+7x+12=0

x1=-3x2=-4.

 

3. Подставим полученные значения для переменной x в выражение из пункта 1, y=-7-x

 

y1=-7-(-3)=-7+3=-4 

y2=-7-(-4)=-7+4=-3

 

4. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений (-3; -4) и (-4; -3).

 

Ответ: (-3; -4)(-4; -3).


Упражнение 1

Решить систему уравнений:

 

3x-y=2x2-4x+8=y


Метод сложения

 

Второй способ решения – метод сложения. Суть метода состоит в том, что при сложении (или вычитании) уравнений системы можно получить уравнение с одной переменной.


Алгоритм решения систем уравнений второй степени методом сложения:

1. Умножить или разделить, при необходимости, уравнения (или оба) на число, так чтобы в обоих уравнениях была одна из переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами;

2. Сложить (если коэффициенты одинаковые) или вычесть (если коэффициенты противоположные) уравнения;

3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;

4. Подставить решения уравнения в любое из исходных уравнений и найти соответствующее значение второй переменной.


Оба способа пользуются широким распространением и изучение обоих необходимо. 

 

Рассмотрим применение метода сложения на примере.


Пример 2

Решить систему уравнений:

 

5x2+y2=3610x2+2y2=36x


Решение

 

1. Умножим первое уравнение на 2 и получим:

 

10x2+2y2=7210x2+2y2=36x

 

2. Из первого уравнения вычтем второе:

 

10x2+2y2-(10x2+2y2)=72-36x

72-36x=0

 

3. Решим полученное уравнение:

 

72-36x=0

x=2

 

4. Подставим полученное значение для переменной x в уравнение 5x2+y2=36:

 

5·22+y2=36

y2=36-20

y2=16

y1=4y2=-4.

 

5. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений (2; 4) и (2; -4).

 

Ответ: (2; 4)(2; -4).


Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то решить ее бывает трудно. Для ее решения в отдельных случаях применяют метод подстановки и метод сложения.


Упражнение 2

Решить систему уравнений:

 

18x2+21y2=61x6x2+7y2=61


Пример 3 

Решите систему уравнений:

 

x2y2-xy=yx-y2x2,x+y=4.


Решение 

 

Перепишем систему уравнений в виде: 

 

x2y2+y2x2=xy+yx,x+y=4.

 

Пусть t=xy+yx. Возведем обе части этого равенства во вторую степень:

 

t2=x2y2+2·xy·yx+y2x2,

 

x2y2+y2x2=t2-2.

 

Первое уравнение примет вид t2-t-2=0, решением которого являются числа 2 и -1

 

Тогда из исходной системы уравнений получаем две системы: 

 

xy+yx=2,x+y=4, и xy+yx=-1,x+y=4.

 

Решим каждую из них.

 

1) xy+yx=2,x+y=4, 4-yy+y4-y=2,x=4-y.

 

Решим отдельно первое уравнение: 

 

4-yy+y4-y=2,

 

16-8y+y2+y2-2y4-yy4-y=0,

 

y2-4y+4=0 при y0y4

 

y=2.

 

Если y=2, то x=2.

 

2) xy+yx=-1,x+y=4, 4-yy+y4-y=-1,x=4-y.

 

Решим отдельно первое уравнение:

 

4-yy+y4-y=-1,

 

16-8y+y2+y2+4y-y2y4-y=0,

 

y2-4y+16=0 при y0y4.

 

Последнее уравнение не имеет действительных корней, значит, и система уравнений не имеет решений. 

 

Ответ: 2; 2.


Пример 4

Решите систему уравнений:

 

xy+2x-y=10,5xy-3x-y=11.


Решение

 

Пусть xy=tx-y=m. Тогда система уравнений примет вид: 

 

t+2m=10,5t-3m=11, t=10-2m,50-10m-3m=11, t=4,m=3.

 

Имеем: 

 

xy=4,x-y=3, y3+y=4,x=3+y.

 

Решения первого уравнения: y1=1y2=-4.

 

Если y=1, то x=4

 

Если y=-4, то x=-1

 

Ответ: (4; 1)(1; 4).


Пример 5

Решите систему уравнений:

 

x+4y-1=x2+5x+4,x2-xy-3x+8=0.


Решение

 

Разложим квадратный трехчлен из правой части первого уравнения на множители: 

 

x2+5x+4=x+4x+1.

 

Первое уравнение примет вид: 

 

x+4y-1=x+4x+1.

 

Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки общий множитель:

 

x+4y-x-2=0,

 

откуда, x=-4 или y=x+2

 

Если x=-4, то из второго уравнения получим y=-9

 

Если y=x+2, то из второго уравнения x=1,6, тогда y=3,6

 

Ответ: (4; 9)1,6; 3,6.


Контрольные вопросы:

 

1. Как решить систему уравнений методом подстановки?

2. Чем метод сложения отличается от метода подстановки?


Ответы

Упражнение 1

 

(2; 4)(5; 13)

 

Упражнение 2

 

(3; 1)(3; -1)

Предыдущий урок
Системы неравенств с двумя переменными
Системы уравнений и неравенств
Следующий урок
Решение задач с помощью систем уравнений второй степени
Системы уравнений и неравенств
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Преобразование энергии при механических колебаниях

    Физика

  • Сложноподчиненное предложение с придаточным изъяснительным

    Русский язык

  • Целое уравнение и его корни

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке