Конспект урока: Графический способ решения систем уравнений

Системы уравнений с двумя переменными

Системы уравнений так же, как уравнения, играют важную роль при решении разных практических задач. С системами линейных уравнений вы уже знакомы и умеете их решать. На предыдущих уроках вы учились строить графики и решать уравнения разного вида. Эти знания понадобятся на последующих занятиях.

Вспомним, что решением системы уравнений называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

Способов решения систем уравнений несколько. Первым способом, который мы разберем, будет графический. 

1. построить график каждого уравнения, входящего в эту систему;

2. найти координаты точек пересечения графиков.

Координаты точек пересечения – это и есть решения системы уравнений. 

Этот способ решения достаточно прост и нагляден. Но он неточный. Большинство графиков мы можем изобразить на координатной плоскости шаблонно: определяем координаты только нескольких точек, остальные получаем, когда соединяем отмеченные точки линией. Поэтому решение системы уравнений графическим способом можно назвать «приближенным». 

Несмотря на это, данный метод очень распространен. Некоторые системы уравнений сложно решить аналитическими методами. Тогда как данный метод дает наглядную картину решения системы. С помощью этого метода можно точно судить о наличии решений системы уравнений и об их количестве, также можно определить приближенные значения.

Рассмотрим графический способ решения на примерах.

Решить систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}y=-x^2+4x+5,\\ y=-x+9.\end{array}\right.$

Рис. 1. Решение системы уравнений

Решение

 

Решим систему графическим способом. 

Изобразим график уравнения $y=-x+9$. Графиком этой функции является прямая (рис. 1).

 

Построим параболу для уравнения $y=-x^2+4x+5$ (рис. 1).

Осталось найти координаты точек пересечения двух этих графиков. В этом случае это можно сделать достаточно точно. На рисунке 1 они отмечены черными точками.

 

Координаты точек определяем по рисунку: $A(1; 8)$ и $B(4; 5)$.  Следовательно, система имеет два решения:

$x_1=1$, $y_1=8$;      $x_2=4$, $y_2=5$.

 

Подставив найденные значения $x$ и $y$ в уравнения системы, можно убедиться, что найденные решения являются точными.

 

Ответ: $x_1=1$, $y_1=8$; $x_2=4$, $y_2=5$.

Решить систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9,\\ xy=1.\end{array}\right.$

Рис. 2. Решение системы уравнений

Решение

 

Решим систему графическим способом.

Изобразим график уравнения $xy=1$. График этой функции гипербола (рис. 2).

 

Построим окружность с центром в точке $(1;-2)$  и радиусом $R=3$ для уравнения $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ (рис. 2). 

Осталось найти координаты точек пересечения двух этих графиков. На рисунке 2 они отмечены черными точками.

Координаты точек определяем по рисунку:

$A(1; 1)$, $B(2,87; 0,35)$, $C(-1,66; -0,61)$ и $D(-0,21; -4,75)$.

 

Следовательно, система имеет четыре решения:

 

$x_1=1$, $y_1=1$;    $x_2\approx 2,87$, $y_2\approx 0,35$.

$x_3\approx -1,66$, $y_3\approx -0,61$;     $x_4\approx -0,21$, $y_4\approx -4,75$.

 

Ответ: $(1; 1)$, $(2,87; 0,35)$, $(-1,66; -0,61)$ и $(-0,21; -4,75)$.

Запись ответа решения системы уравнений может быть записана двумя разными способами, как в примерах выше.

Решить графически систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=25\\ y-2x=9\end{array}\right.$