Конспект урока: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Уравнения и системы уравнений помогают решать разные задачи. Если необходимо найти значение одной переменной, то обычно удается составить уравнение, которое можно решить известными методами. Но иногда одного уравнения для решения задачи недостаточно.

Системы уравнений составляют в трех случаях: либо необходимо найти значения для нескольких величин, либо в условии задачи не хватает данных для нахождения значения одной переменной, либо когда условие задачи содержит несколько условий на заданную величину.

Тогда можно сделать вывод, что для того, чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, необходимо сначала составить эту систему, а потом, естественно, её решить.

Рассмотрим несколько примеров.

Из одной точки одновременно в перпендикулярных направлениях стартовали два велосипедиста с разными скоростями. Через 2 часа расстояние между ними стало равно 26 км. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если известно, что первый прошел за 1 час такое же расстояние, какое второй прошел за 25 минут?

Решение:

Условие задачи содержит два условия, поэтому задачу возможно решить с помощью системы уравнений.

1. Скорости движения обоих велосипедистов нам неизвестны, поэтому обозначим их как неизвестные величины: $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, $y$ км/ч — скорость второго велосипедиста. 

2. Составим таблицу по условию задачи.

3. Составим уравнения. Так как велосипедисты двигались в перпендикулярных направлениях (или, другими словами, по катетам прямоугольного треугольника), то расстояние между ними можно выразить через теорему Пифагора. Тогда первое уравнение ${\left(2x\right)}^2+{\left(2y\right)}^2={26}^2$ задает первое условие. Во втором условии они прошли одинаковый путь, т. е. второе уравнение имеет вид $x=\frac{5}{12}y$. Получили систему:

$\left\{\begin{array}{l}{\left(2x\right)}^2+{\left(2y\right)}^2={26}^2,\\ x=\frac{5}{12}y.\end{array}\right.$

4. Решим систему методом подстановки, подставив выражение $x=\frac{5}{12}y$ в первое уравнение:

${(2·\frac{5}{12}y)}^2+4y^2=676$,

$\frac{25}{36}{y}^2+4y^2=676$,

$\frac{169}{36}{y}^2=676$,

$y^2=676:\frac{169}{36}$,

$y^2=144$.

$y_1=12, y_2=-12$.

5. Подставим в выражение $x=\frac{5}{12}y$ только $y_1=12$, т. к. скорость не может быть отрицательной. Получим:

$x=\frac{5}{12}·12=5$.

6. Итог, скорость первого велосипедиста равна $5$ км/ч, второго — $12$ км/ч.

Ответ: $5$ км/ч и $12$ км/ч.

Разность двух чисел равна $6$, а их произведение равно $187$. Найдите эти числа.

Решение:

Условие задачи также содержит два условия, поэтому решим её с помощью системы уравнений:

1. Обозначим за переменную $x$ — первое число, за $y$ — второе число. 

2. Составим систему уравнений по условиям задачи. Первое уравнение имеет вид  $x-y=6$ и описывает разность чисел, второе — $xy=187$ дает информацию о произведении. Получили:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=6,\\ xy=187.\end{array}\right.$

3. Решим систему уравнений с помощью метода подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$ и подставим во второе уравнение. Тогда:

$x=6+y$,

$(6+y)y=187$.

4. Решим уравнение:

$y^2+6y-187=0$,

$y_1=11, y_2=-17$.

5. Подставим полученные значения в выражение $x=6+y$. Тогда получим:

$x_1=6+11=17$,

$x_2=6+(-17)=-11$.

6. Таким образом, решением задачи являются две пары чисел: $(17; 11)$ и $(-11; -17)$.

Ответ: $(17; 11)$ и $(-11; -17)$.

1. Диагональ прямоугольника равна $15$ см, а его периметр равен $42$ см. Найдите стороны прямоугольника.

2. Разность двух чисел равна $7$, а их произведение равно $260$. Найдите эти числа.

1. Для решения каких задач необходимо составить систему уравнений?

2. Опишите алгоритм решения задач с помощью системы уравнений.

Упражнение 1

1. $9$ и $12$.

2. $20$ и $13$, $-13$ и $-20$.