Конспект урока: Описанная окружность

Рис. 1. Окружность, описанная около треугольника ABC

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности. 

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность. На рис. 1 окружность с центром $O$ описана около треугольника $ABC$. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Рис. 2. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника

Пусть прямые $a$ и $b$ — серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ данного треугольника $ABC$ (рис. 2). 

Мы уже доказали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника. Таким образом, $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$ и $OA=OB=OC$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, проходящая через все вершины треугольника $ABC$.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. 

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с $O$ — точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 

Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. 

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне $AC$ содержит все точки, равноудаленные от точек $A$ и $C$. Поскольку точка $O$ также равноудалена от точек $A$ и $C$, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку $O$. 

Теорема доказана.

Рис. 3. К примеру 1

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$, периметр которого равен $27\sqrt{3} см$, следовательно, длина стороны этого треугольника $9\sqrt{3} см$. Центр окружности, описанной около треугольника это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, для равностороннего треугольника это точка пересечения высот и медиан, точка $O$ (рис. 3).Найдем длину отрезка $OC$ – радиуса описанной окружности.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACD$ найдем длину медианы $CD$: 

$AC=9\sqrt{3} см$, $AD=\frac{9\sqrt{3}}{2} см$, $CD=\sqrt{{\left(9\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=13,5 см$.

 По свойству медиан треугольника, точка $O$ делит отрезок $CD$ в отношении 2:1 считая от вершины, следовательно 

$OC=\frac{2}{3} CD=\frac{2}{3}·13,5 см=9 см$.

Ответ: 9 см.

Рис. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Четырехугольник $ABCD$ называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. 

Четырехугольник на рис. 4 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника. Как мы доказали ранее, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Рис. 5. К доказательству признака вписанного четырехугольника

Докажем признак вписанного четырехугольника.

Пусть в четырехугольнике $ABCD$ $\angle B+\angle D=180°$. Опишем окружность около треугольника $ABC$ и докажем от противного, что вершина $D$ не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка $D$ лежит внутри окружности, а точка $M$ — точка пересечения луча $AD$ с дугой $AC$ (рис. 5). Тогда четырехугольник $ABCM$- вписанный. По условию $\angle B+\angle D=180°$, а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника $\angle B+\angle M=180°$, т. е. $\angle D=\angle M$. Но угол $D$ четырехугольника $ABCD$ — внешний угол треугольника $ADM$, и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла $M$. Итак, мы пришли к противоречию, т. е. точка $D$ не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка $D$ не может лежать вне окружности (сделайте это самостоятельно). Тогда точка $D$ лежит на окружности, т. е. около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. 

Теорема доказана.

Рис. 6. Окружность, описанная около параллелограмма ABCD

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, вписанный в окружность (рис. 6). Противоположные углы параллелограмма в сумме составляют 180° по свойству вписанного четырехугольника, а так как противоположные углы параллелограмма равны между собой по свойству параллелограмма, то все углы равны 90°, $ABCD$ – прямоугольник. 

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от вершин прямоугольника. Таким образом, центр окружности, описанной около прямоугольника, – точка пересечений его диагоналей (рис. 6).

Рис. 7. Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность

Действительно, если говорить о равнобедренной трапеции, то, во-первых, углы при основаниях равны, во-вторых, сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно сумма противолежащих углов равна 180° (рис. 7).

Если трапеция вписана в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180° и сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно, углы при основаниях равны и трапеция равнобедренная.

Рис. 8. К примеру 2

Рассмотрим трапецию $ABCD$, которая вписана в окружность с центром в точке $O$, лежащей на большем основании $AD$, и радиусом $r$, $BC=r$ (рис. 8). Найдем площадь этой трапеции.

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, следовательно она равнобедренная, $AB=CD$. Углы $AOB$ и $COD$ равны как центральные углы, опирающиеся на равные хорды. Треугольник $BCO$ равносторонний, $\angle BOC=60°$. Тогда $\angle AOB=\angle COD=\frac{180°-60°}{2}=60°$, следовательно, треугольники $ABO$ и $CDO$ также равносторонние, $AB=CD=r$.

Проведем высоту $BH$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ $\sin A=\frac{BH}{AB}$, $BH=AB·\sin 60°=\frac{r\sqrt{3}}{2}$.

Центр окружности лежит на стороне $AD$, тогда $AD$ – диаметр окружности, $AD=2r.$ 

$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}·BH=\frac{2r+r}{2}·\frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{r}^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}{r}^2}{4}$.