Конспект урока: Центральные и вписанные углы

Рис. 1. Углы на плоскости

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала 180°. Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость. На рис. 1 угол $\left(ab\right)$ делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны $\alpha$ и ($360°- \alpha$). Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Рис. 2. Центральный угол и дуга окружности

На рис. 2, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности $O$ пересекают данную окружность в точках $A$ и $B$. При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка $L$, рис. 2, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка $M$, рис. 2, б). Для того, чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами $OA$ и $OB$ мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т. е. содержится внутри него). 

На рис. 2, а центральному углу $AOB$, обозначенному дужкой, соответствует дуга $ALB$, а на рис. 2, б — дуга $AMB$. В случае, когда лучи $OA$ и $OB$ дополнительные, соответствующая дуга $ANB$будет полуокружностью (рис. 2, в).

Рис. 3. Вписанный угол ABC

На рис. 3 изображен вписанный угол $ABC$. Его вершина $B$ лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках $A$ и $C$. Дуга $AC$ (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол $ABC$опирается на дугу $AC$. 

Рис. 4. Измерение вписанного угла

Пусть в окружности с центром $O$ вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $AC$. Докажем, что $\angle ABC=\frac{1}{2}◡AC$. Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 4, а-в).

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 4, а). В этом случае центральный угол $AOC$ является внешним углом при вершине $O$ равнобедренного треугольника $AOB$. По теореме о внешнем угле треугольника $\angle AOC=\angle 1+\angle 2$. А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника $AOB$, то $\angle AOC=2\angle ABC$, т.е. $\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}◡AC$.

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла $ABC$ (рис. 4, б). Луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла. По только что доказанному

$\angle ABD=\frac{1}{2}◡AD$, $\angle CBD=\frac{1}{2}◡DC$, следовательно, $\angle ABC=\frac{1}{2} (◡AD+◡DC)=\frac{1}{2}◡AC$.

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 4, в), 

$\angle ABC=\frac{1}{2} (◡DC-◡AD)=\frac{1}{2}◡AC$.

Теорема доказана. 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Рис. 5. К решению примера 1

Для того чтобы найти угол $BDC$, необходимо найти градусную меру дуги $BC$, на которую он опирается (рис. 5). Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги $AB$, на которую опирается угол $BCA$ из теоремы о вписанном угле и $◡AB=2\angle BCA=2·50°=100°$. Заметим, что дуги $AB$ и $BC$ вместе составляют полуокружность, т.е. $◡AB+◡BC=180°$, следовательно, $◡BC=180°-100°=80°$. Тогда по теореме о вписанном угле $\angle BDC=\frac{1}{2}◡BC=\frac{1}{2}·80°=40°$.

Ответ: 40°.

Рис. 6. Вписанные углы, опирающиеся на дугу BC, равны

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рис. 6 равна половине дуги $BC$.

Рис. 7. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна 180°, то угол, опирающийся на полуокружность, равен $\frac{1}{2}·180°=90°$(рис. 7). 

Рис. 8. К доказательству теоремы об отрезках пересекающихся хорд

По данным рис. 8 докажем, что $AM·BM=CM·DM.$

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Проведем хорды $AC$ и $BD$. Треугольники $ACM$ и $DBM$ подобны по двум углам: $\angle C=\angle B$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$, а углы при вершине $M$ равны как вертикальные. 

Из подобия треугольников следует, что $\frac{AM}{DM}=\frac{CM}{BM}$, 
т. е. $AM·BM=CM·DM$.

Теорема доказана.

Рис. 9. К задаче 2

1. В окружности построен центральный угол. Найдите градусные меры дуг, которые образовались, если:

а) одна из них больше другой на 120°;

б) они относятся как 2:7.

2. По данным рис. 9 найдите угол $x$ (точка $O$ — центр окружности).

3. Отрезок $AC$ — диаметр окружности с центром $O$, а точка $B$ лежит на этой окружности. Найдите:

а) угол между хордами $BA$ и $BC$;

б) отрезок $AC$, если $BO$= 5 см.

4. При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки длиной 3 см и 4 см, а диаметр — в отношении 1:3. Найдите

радиус окружности.