Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Центральные и вписанные углы

Окружность

14.12.2024
3088
0

Градусная мера дуги окружности. Центральные и вписанные углы

План урока

  • Определить понятие градусной меры дуги окружности;
  • Определить понятия центрального и вписанного угла;
  • Доказать теорему о вписанном угле;
  • Сформулировать следствия из теоремы о вписанном угле;
  • Рассмотреть применение теоремы о вписанном угле и следствий из нее;
  • Доказать теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд;
  • Рассмотреть применение теоремы об отрезках пересекающихся хорд.

Цели урока

  • Знать определение градусной меры дуги, центрального и вписанного угла, теорему о вписанном угле и следствия из нее, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд;
  • Уметь применять теорему о вписанном угле и следствия из нее, теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Разминка

  • Свойства равнобедренного треугольника;
  • Признаки подобия треугольников;
  • Теорема о внешнем угле треугольника.

 

Градусная мера дуги окружности

Рис. 1. Углы на плоскости

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала 180°. Расширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость. На рис. 1 угол ab делит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны α и (360°- α). Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.


Определение

 

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.


Рис. 2. Центральный угол и дуга окружности

На рис. 2, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности O пересекают данную окружность в точках A и B. При этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка L, рис. 2, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка M, рис. 2, б). Для того, чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами OA и OB мы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т. е. содержится внутри него). 

 

На рис. 2, а центральному углу AOB, обозначенному дужкой, соответствует дуга ALB, а на рис. 2, б — дуга AMB. В случае, когда лучи OA и OB дополнительные, соответствующая дуга ANB будет полуокружностью (рис. 2, в).


Определение

 

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

 

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: ALB  (или AB). Например, на рис. 2, в ANB=180°, т.е. градусная мера полуокружности составляет 180°. Очевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет 360°.

 

Концы хорды AB делят окружность на две дуги — ALB и AMB (рис. 2, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой AB.


Если дуга AB окружности с центром O меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB, если же дуга AB больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360°-AOB.


Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.


Теорема о вписанном угле


Определение

 

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.


Рис. 3. Вписанный угол ABC

На рис. 3 изображен вписанный угол ABC. Его вершина B лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках A и C. Дуга AC (на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол ABCопирается на дугу AC


Теорема (о вписанном угле)

 

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


Доказательство

Рис. 4. Измерение вписанного угла

Пусть в окружности с центром O вписанный угол ABC опирается на дугу AC. Докажем, что ABC=12AC. Рассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 4, а-в).

 

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 4, а). В этом случае центральный угол AOC является внешним углом при вершине O равнобедренного треугольника AOB. По теореме о внешнем угле треугольника AOC=1+2. А поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника AOB, то AOC=2ABC, т.е. ABC=12AOC=12AC.

 

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла ABC (рис. 4, б). Луч BO делит угол ABC на два угла. По только что доказанному

ABD=12ADCBD=12DC, следовательно, ABC=12 (AD+DC)=12AC.

 

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 4, в), 

ABC=12 (DC-AD)=12AC.

 

Теорема доказана

 

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.


Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.


Пример 1

 

Найдите угол BDC, если BCA=50° (рис. 5).


Решение

Рис. 5. К решению примера 1

Для того чтобы найти угол BDC, необходимо найти градусную меру дуги BC, на которую он опирается (рис. 5). Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги AB, на которую опирается угол BCA из теоремы о вписанном угле и AB=2BCA=2·50°=100°. Заметим, что дуги AB и BC вместе составляют полуокружность, т.е. AB+BC=180°, следовательно, BC=180°-100°=80°. Тогда по теореме о вписанном угле BDC=12BC=12·80°=40°.

 

Ответ: 40°.


Следствия из теоремы о вписанном угле

 

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.


Следствие 1

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 


Рис. 6. Вписанные углы, опирающиеся на дугу BC, равны

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рис. 6 равна половине дуги BC.


Следствие 2

 

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.


Рис. 7. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна 180°, то угол, опирающийся на полуокружность, равен 12·180°=90° (рис. 7). 


Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд)

 

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.


Доказательство

Рис. 8. К доказательству теоремы об отрезках пересекающихся хорд

По данным рис. 8 докажем, что AM·BM=CM·DM.

 

Пусть хорды AB  и CD пересекаются в точке M. Проведем хорды AC и BD. Треугольники ACM и DBM подобны по двум углам: C=B как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD, а углы при вершине M равны как вертикальные. 

 

Из подобия треугольников следует, что AMDM=CMBM
т. е. AM·BM=CM·DM.

 

Теорема доказана.


Пример 2

 

При пересечении двух хорд одна из них делится на отрезки длиной 20 см и 4 см, а разность длин отрезков второй хорды равна 2 см. Найдите длину второй хорды.


Решение

 

Пусть CM=4 смDM=20 смBM-AM=2 см (рис. 8). Найдем длину хорды AB .

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AM·BM=CM·DM. Пусть AM=x см, тогда BM=(x+2) см. Составим и решим уравнение:

 

x·(x+2)=4·20,

x2+2x-80=0,

x1=8x2=-10.

 

Таким образом,  AM=8 смBM=8+2=10 см Хорда AB=18 см.

 

Ответ: 18 см.


Упражнения

Рис. 9. К задаче 2

1. В окружности построен центральный угол. Найдите градусные меры дуг, которые образовались, если:

а) одна из них больше другой на 120°;

б) они относятся как 2:7.

2. По данным рис. 9 найдите угол x (точка O — центр окружности).

3. Отрезок AC — диаметр окружности с центром O, а точка B лежит на этой окружности. Найдите:

а) угол между хордами BA и BC;

б) отрезок AC, если BO= 5 см.

4. При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки длиной 3 см и 4 см, а диаметр — в отношении 1:3. Найдите

радиус окружности. 


Контрольные вопросы

Рис. 10. К вопросу 3

1. Определите, является ли вписанный в окружность угол ABC острым, прямым или тупым, если:

а) дуга ABC этой окружности меньше полуокружности;

б) дуга ABC этой окружности больше полуокружности;

в) дуга ABC этой окружности равна полуокружности.

2. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 4, а). Может ли данный угол быть тупым; прямым?

3. Трое футболистов пробивают штрафные удары по воротам из точек AB и C, которые лежат на окружности (рис. 10). У кого из них угол обстрела ворот наибольший? 

4. Могут ли два вписанных угла быть равными, если они не опираются на одну дугу?

5. Могут ли вписанные углы ABC и AB1C не быть равными? Приведите пример.

6. Может ли:

а) угол, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым;

б) угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность в концах диаметра, быть острым?

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Может ли высота, проведенная к ней, быть равной 6? Ответ обоснуйте.


Ответы на упражнения

1. а) 240° и 120°; б) 80° и 280°.

2. а) 40°; б) 50°; в) 150°.

3. а) 90°; б) 10 см.

4. 4 см.

Предыдущий урок
Вписанная окружность
Окружность
Следующий урок
Вписанная окружность
Окружность
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Вводные слова и вставные конструкции

    Русский язык

  • Состав и функции внутренней среды организма. Форменные элементы крови

    Биология

  • Русский язык в семье славянских языков. Речь и язык. Стили речи

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке