Неполные квадратные уравнения

План урока

Квадратные уравнения
Неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений

Цели урока

Знать определения квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения
Уметь выделять коэффициенты квадратного уравнения
Знать виды неполных квадратных уравнений
Уметь решать неполные квадратные уравнения

Разминка

Решите уравнение:

а) $x^{2} = 4$ ; б) $x^{2} = 3$ ; в) $x^{2} + 4 = 0$ ; г) $x^{2} + 7 x = 0$ ; д) $(x - 1) (x + 2) = 0$ .

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$ .

Числа $a, b, c$ — коэффициенты квадратного уравнения. Число $a$ называют старшим (первым) коэффициентом, число $b$ — вторым коэффициентом и число $c$ — свободным членом.

Например, квадратными уравнениями являются уравнения

$- 5 x^{2} + 3 x - 9 = 0; 0, 5 x^{2} - 7 x = 0; - 4 x^{2} - 9 = 0$ .

В первом уравнении коэффициенты $a = - 5, b = 3, c = - 9$ , во втором — $a = 0, 5, b = - 7, c = 0$ , в третьем — $a = - 4, b = 0, c = - 9$ .

Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Упражнение 1

Выпишите коэффициенты квадратного уравнения:

а) $3 x^{2} + 7 x - 6 = 0$ ; б) $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ ; в) $x^{2} + 7 - 4 x = 0$ ;

г) $2 x^{2} - 11 = 0$ ; д) $15 x - x^{2} = 0$ ; е) $3 x - x^{2} + 19 = 0$ .

Квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен 1, называется приведенным квадратным уравнением.

Например, приведенными квадратными уравнениями являются уравнения $x^{2} - 4 x - 9 = 0, x^{2} - 8 x = 0, x^{2} - 3 = 0 .$

Квадратное уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ , в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполными квадратными уравнениями являются уравнения $x^{2} - 7 = 0, x^{2} - 3 x = 0, 5 x^{2} = 0 .$

В первом уравнении $b = 0$ , во втором $c = 0$ , в третьем $b = 0$ и $c = 0$ .

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1) $a x^{2} + c = 0$ , где $c \neq 0$ ;

2) $a x^{2} + b x = 0$ , где $b \neq 0$ ;

3) $a x^{2} = 0$ .

Решение неполных квадратных уравнений

Рассмотрим алгоритмы решения каждого вида неполных квадратных уравнений.

Для решения неполного уравнения вида $a x^{2} + c = 0$ , где $c \neq 0$ , перенесём его свободный член в правую часть и разделим обе части уравнения на $a$ . Получаем уравнение $x^{2} = - \frac{c}{a}$ , равносильное уравнению $a x^{2} + c = 0$ .

Т.к. $c \neq 0$ , то $- \frac{c}{a} \neq 0$ .

Если $- \frac{c}{a} > 0$ , то уравнение имеет два корня:

$x_{1} = - \sqrt{- \frac{c}{a}} и x_{2} = \sqrt{- \frac{с}{а}}$ .

Если $- \frac{c}{a} < 0$ , то уравнение не имеет корней.

Пример 1

Решите уравнение $- 7 x^{2} + 5 = 0$ .

Решение

Воспользуемся алгоритмом решения:

$- 7 x^{2} = - 5,$

$x^{2} = \frac{5}{7}$ .

Отсюда

$x_{1} = - \sqrt{\frac{5}{7}} и x_{2} = \sqrt{\frac{5}{7}}$

Ответ: $- \sqrt{\frac{5}{7}}, \sqrt{\frac{5}{7}}$

Пример 2

Решите уравнение $5 x^{2} + 6 = 0$ .

Решение

Воспользуемся алгоритмом решения:

$5 x^{2} = - 6, x^{2} = - 1, 2 .$

Т.к. –1,2 < 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Упражнение 2

Решите уравнение:

а) $3 x^{2} - 12 = 0$ ; б) $z^{2} + 9 = 0$ ; в) $7 y^{2} - 14 = 0$ ; г) $6 x^{2} + 24 = 0$ ;

д) $15 - 5 y^{2} = 0$ ; е) $\frac{1}{7} x^{2} - \frac{6}{7} = 0$

Для решения неполного квадратного уравнения вида $a x^{2} + b x = 0$ , где $b \neq 0$ , раскладывают его левую часть на множители путем вынесения общего множителя за скобки и получают уравнение

$x (a x + b) = 0$

Произведение $x (a x + b)$ равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0 и л и a x + b = 0$

Решая уравнение $a x + b = 0$ , в котором $a \neq 0$ , находим

$a x = - b, x = - \frac{b}{a}$

Таким образом, произведение $x (a x + b)$ обращается в нуль при $x = 0$ и при $x = - \frac{b}{a}$ . Корнями уравнения $a x^{2} + b x = 0$ являются числа 0 и $- \frac{b}{a}$ .

Значит, неполное квадратное уравнение вида $a x^{2} + b x = 0$ , где $b \neq 0$ , всегда имеет два корня.

Пример 3

Решите уравнение $6 x^{2} + 3 x = 0$ .

Решение

Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем множитель $3 x$ за скобку: $3 x (2 x + 1) = 0$ , откуда $3 x = 0$ или $2 x + 1 = 0$ . Решением первого уравнения является $x = 0$ , второго — $x = - \frac{1}{2}$ . То есть у уравнения $6 x^{2} + 3 x = 0$ два корня: 0 и $- \frac{1}{2}$ .

Ответ: $- \frac{1}{2}, 0$ .

Упражнение 3

Решите уравнение:

а) $2 x^{2} + 6 x = 0$ ; б) $z^{2} - 3 z = 0$ ; в) $10 x + 2 x^{2} = 0$ ; г) $8 y + y^{2} = 0$ .

Неполное квадратное уравнение $a x^{2} = 0$ равносильно уравнению $x^{2} = 0$ и поэтому имеет единственный корень 0.

Контрольные вопросы

1. Как называется коэффициент квадратного уравнения при $x^{2}$ ?

2. Какие квадратные уравнения называются приведенными?

3. Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Какие?

4. Сколько корней может иметь уравнение вида $a x^{2} + c = 0$ , где $c \neq 0$ ?

Ответы

Упражнение 1

а) 3, 7, –6; б) 2, –5, 1; в) 1, –4, 7;

г) 2, 0, –11; д) –1, 15, 0; е) –1, 3, 19.

Упражнение 2

а) –2; 2; б) нет корней; в) $- \sqrt{2}$ ; $\sqrt{2}$ ;

г) нет корней; д) $- \sqrt{3}$ ; $\sqrt{3}$ ; е) $- \sqrt{6}$ ; $\sqrt{6}$ .

Упражнение 3

а) –3; 0; б) 0; 3; в) –5; 0; г) –8; 0.