Конспект урока: Действительные числа

Десятичное измерение отрезков

На множестве рациональных чисел выполнимы действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль). Однако, рациональных чисел может быть недостаточно для измерения величин. Рассмотрим десятичное измерение отрезков.

Пусть точка O — начало координатной прямой и OE — единичный отрезок. Измерим с помощью отрезка OE длину отрезка OB (рис. 1). Отрезок OE укладывается в отрезке OB два раза. И при этом получается остаток CB, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка OB с точностью до 1:
 

 $OB\approx 2$

Рис. 1. Измерение отрезка OB с точностью до единиц

Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок OE на 10 равных частей. Десятая часть отрезка OE укладывается в остатке CB три раза (рис. 2). При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка OE. Число 2,3 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка OB. С точностью до 0,1:

 $OB\approx 2,3$ 

Рис. 2. Измерение отрезка OB с точностью до 0,1

Так можно неограниченно повышать точность измерения, находя сотые, тысячные и т. д. доли отрезка OE.

При десятичном измерении может быть два случая: либо на каком-то шаге не будет остатка, либо остатки будут получаться и дальше, т.е. процесс измерения не закончится. 

В первом случае результатом измерения будет либо натуральное число или конечная десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь. Поскольку натуральное число и конечную десятичную дробь можно тоже представить в виде бесконечной десятичной дроби, то результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Пусть отрезок OC равен $\frac{5}{4}$ единичного отрезка. При десятичном измерении получаем число 1,25, как при делении 5 на 4. Эту дробь можно представить 1,25000… .     

Пример 2

Пусть отрезок OF равен $\frac{4}{3}$ единичного отрезка. При десятичном измерении длины OF, как и в результате деления 4 на 3, получается бесконечная десятичная периодическая дробь 1,333… .

Пример 3

Рис. 3а. Измерение диагонали единичного квадрата (а)

Пусть отрезок OK равен диагонали единичного квадрата (рис. 3а). Построим квадрат со стороной равной диагонали единичного квадрата (рис. 3б).

Рис. 3б. Измерение диагонали единичного квадрата (б)

Площадь полученного квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Т.к. отрезок OK равен стороне нового квадрата, то длина отрезка OK равна числу, квадрат которого равен 2.

Докажем, что число, квадрат которого равен 2, не является рациональным. Доказательство будем проводить методом от противного.

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным числом x. Тогда x можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где m — целое число, n — натуральное, т.е. $x=\frac{m}{n}$. По условию, $x^2=2,$ т.е. ${\left(\frac{m}{n}\right)}^2=\frac{m^2}{n^2}=2$ и $m^2=2n^2$. Число $2n^2$ чётное, значит, и число $m^2$ четное. Но тогда и само число m является чётным (иначе квадрат нечетного числа нечетное число). Поэтому число m можно представить в виде $m=2k$, где k — целое число. Подставим 2k вместо m в равенство $m^2=2n^2$. Получим: $(2k{)}^2=2n^2,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}4k^2=2n^2,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}2k^2=n^2$.

Число $2k^2$ четное, значит, число $n^2$ тоже четное. Тогда и число n является четным, т.е. числитель и знаменатель дроби $\frac{m}{n}$ — четные числа, т.е. дробь сократима. Таким образом, приходим к противоречию. Значит, наше предположение неверно, и число x не является рациональным.

Множество действительных чисел

Десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от точки O, ставит в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. И наоборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятичную дробь, мы найдем на координатной прямой справа от точки O единственную точку A, такую, что длина отрезка OA выражается этой дробью. 

Множество действительных чисел обозначают буквой R (от первой буквы латинского слова realis — реальный, существующий в действительности).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число. Говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби не являются рациональными.

Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел

Приведём примеры иррациональных чисел:
 

1, 020020002… (двойки разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т.д. нулями);
 

–1,121122111222… (число единиц и двоек увеличивается каждый раз на единицу). 
 

Иррациональным числом является число π – отношение длины окружности к диаметру: 

$\pi =3,1415926...$

Действительные числа, записанные в виде бесконечной десятичной дроби, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Сравните числа:

а) 1,13677… и 1,13766; б) 0,(36) и 0,363.

Решение

а) У этих дробей совпадают целые части, цифры десятых, цифры сотых, а в разряде тысячных у первой дроби число единиц меньше, чем у второй:

1,13677… < 1,13766.
 

б) Запишем каждую из дробей в виде бесконечной десятичной дроби 

0,(36)=0,3636…, 0,36=0,3630... . У этих дробей совпадают целые части, цифры десятых, цифры сотых, цифры тысячных, цифра в разряде десятитысячных у первой дроби больше, чем у второй. Поэтому первая дробь больше второй:

0,(36) > 0,363.

Ответ: а) 1,13677… < 1,13766; б) 0,(36) > 0,363.

В практических задачах при выполнении действий над действительными числами их заменяют приближенными значениями. Повышая точность приближенных значений, получают более точное значение результата.

Найдите приближенное значение суммы чисел a и b, где $a=\frac{1}{6},\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b=2,45632...$ с точностью до десятых, сотых.

Решение
 

Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1: $a\approx 0,2,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b\approx 2,5$. Получим: 
 

$a+b\approx 0,2+2,5=2,7$
 

Если взять слагаемые с точностью до 0,01, т.е. $a\approx 0,17,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}b\approx 2,46$, то получим 
 

$a+b\approx 0,17+2,46=2,63$

Ответ: 2,7; 2,63.

Сравните числа:

а) 2,657… и 2,756… ; б) –1,567… и –1,576… ; в) 1,(373) и 1,3734; 

г) $-\frac{6}{25}$ и –0,245; д) 0, 7(6) и 0,765; е) $1\frac{3}{11}$ и 1,272.

Упражнение 2

Найдите приближенное значение выражения $a+b$, где $a=2,0561... и b=1,4569..$ , округлив предварительно a и b:

а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.

1. Как можно определить множество действительных чисел?

2. В чем отличие рациональных чисел от иррациональных чисел?

3. Как сравнить действительные числа?