Миграции населения в России. География рынка труда

Рациональные числа

План урока

Множество рациональных чисел
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Цели урока

Знать основные множества чисел (натуральные, целые, рациональные) и их математические обозначения
Знать определение подмножества
Знать определение разности множеств
Уметь использовать математическую символику теории множеств
Уметь проверять истинность утверждений о принадлежности элементов данному множеству
Уметь находить подмножества данного множества
Уметь находить разность множеств
Знать определение рациональных чисел
Уметь записывать рациональное число в виде дроби с разными знаменателями
Знать определения бесконечной десятичной периодической дроби и периода бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь записывать рациональные числа в виде конечной десятичной дроби и бесконечной десятичной периодической дроби
Уметь сравнивать рациональные числа

Множество рациональных чисел

Вам хорошо известно множество натуральных чисел — чисел, которые мы используем при счете: 1, 2, 3…

Натуральные числа, противоположные им числа (отрицательные числа) и число нуль составляют множество целых чисел.

На множестве целых чисел не всегда возможно выполнить деление. Для этого вводятся дробные числа (положительные и отрицательные): $\frac{1}{2}, \frac{1}{3} . . .$ . Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел .

Множество натуральных чисел обозначают буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природный).

Множество целых чисел обозначают буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl — число).

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q (от первой буквы французского слова quontiet — отношение).

Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак принадлежности $\in$ .

Для того чтобы записать, что число не принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак $\notin$ .

Используя введенные обозначения множеств N, Z, Q и знак принадлежности, можем записать следующие математические утверждения:

1. «n — натуральное число» — $n \in N$ (читают: «n принадлежит множеству N»);

2. «m — целое число» — $m \in Z$ ;

3. «k — рациональное число» — $k \in Q$ .

Пример 1

Используя обозначения множеств N, Z, Q и знаки $\in$ , $\notin$ , запишите следующие утверждения:

а) –8 — целое число;

б) –12 — рациональное число;

в) –79 — не является натуральным числом;

г) 15,6 — не является целым числом.

Решение

а) «–8 — целое число» записываем $- 8 \in Z$ ;

б) «–12 — рациональное число» записываем $- 12 \in Q$ ;

в) «–79 — не является натуральным числом» записываем $- 79 \notin N$ ;

г) «15,6 — не является целым числом» записываем $15, 6 \notin Z$ .

Ответ: а) $- 8 \in Z$ ; б) $- 12 \in Q$ ; в) $- 79 \notin N$ ; г) $15, 6 \notin Z$ .

Пример 2

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 12 \notin N$ ; б) $- 3 \in Q$ ; в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ ; г) $0 \in N$ .

Решение

а) $- 12 \notin N$ — истинное утверждение, поскольку –12 отрицательное число, а не натуральное;

б) $- 3 \in Q$ — истинное утверждение, поскольку отрицательные целые числа являются элементами множества рациональных чисел;

в) $- \frac{8}{17} \notin Q$ — ложное утверждение, поскольку дробные числа являются элементами множества рациональных чисел;

г) $0 \in N$ — ложное утверждение, поскольку нуль не является натуральным числом.

Ответ: а) истинное; б) истинное; в) ложное; г) ложное.

Упражнение 1

Установите, является ли следующее высказывание истинным:

а) $- 37 \in N$ ; б) $- 5 \in N$ ; в) $- \frac{5}{13} \notin Z$ ; г) $\frac{3}{8} \in Q$

Пусть каждый элемент множества B является элементом множества A. Тогда множество B называют подмножеством множества A.

Для записи используют знак включения :

$B \subset A$

(читается: «множество B подмножество множества A», «множество B содержится во множестве A»).

Если хотя бы один элемент множества B не является элементом множества A, то множество B не будет подмножеством A.

Для записи используют перечеркнутый знак включения :

$B ⊄ A$

(читается: «множество B не содержится во множестве A»).

Так, например, множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

$N \subset Z, Z \subset Q и л и N \subset Z \subset Q$ .

Введем понятие разности множеств.

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Например, разностью множества целых чисел и множества натуральных чисел, является множество, состоящее из отрицательных целых чисел и нуля.

Упражнение 2

Найдите разность множеств A и B:

а) A — множество четных чисел, B — множество чисел кратных 5;

б) A — множество треугольников, B — множество тупоугольных треугольников.

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби

Любое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ , где m — целое число, а n — натуральное.

Т.е. рациональное число — это отношение целого числа к натуральному числу. Одно и то же число можно представить в таком виде разными способами.

Например, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{50}{150}$ , $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{150}{100}$ , $- 0, 2 = \frac{- 2}{10} = \frac{- 1}{5} = \frac{- 14}{70}$ , $3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{21}{7}$ .

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.

Упражнение 3

Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знаменателем числа:

$13; - 21; 3, 1; - 0, 25; 7 \frac{1}{3}; - \frac{4}{8} .$

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим в виде десятичной дроби $\frac{7}{40}$ . Для этого разделим числитель на знаменатель дроби. Получим:

Таким образом, $\frac{7}{40} = 0, 175$

Точно так же можно показать $\frac{1}{4} = 0, 25; \frac{3}{8} = 0, 375; - \frac{3}{5} = - 0, 6$ . В этих случаях мы получаем конечные десятичные дроби.

Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой конечное число знаков, называется конечной десятичной дробью .

Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби в десятичную дробь к числу $\frac{4}{11} .$ Делим числитель на знаменатель.
Как видим, что сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим остаток 0. Значит, деление никогда не закончится.

Говорят, что дробь $\frac{4}{11}$ обращается в бесконечную десятичную дробь 0, 3636…

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . .$

Десятичная дробь, в десятичной записи которой после запятой бесконечное число знаков, называется бесконечной десятичной дробью .

Как видим, в записи дроби 0,3636… есть повторяющаяся группа цифр 3 и 6.

Если в десятичной записи бесконечной дроби, начиная с некоторого разряда, одна цифра или группа цифр повторяется, то такую дробь называют бесконечной десятичной периодической дробью .

Повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби и записывается в скобках.

Таким образом, дробь $\frac{4}{11}$ записывается:

$\frac{4}{11} = 0, 3636 . . . = 0, (36) .$

Эта запись читается так: нуль целых, тридцать шесть в периоде.

Число $\frac{5}{12}$ также записывается в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

$\frac{5}{12} = 0, 41666 . . . = 0, 41 (6) .$

Эта запись читается так: нуль целых, сорок одна сотая, шесть в периоде.

Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последовательность нулей. Например:

$4, 5 = 4, 5000 . . ., - 3, 2 = - 3, 2000 . . .$

Таким образом,

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Верно и обратное утверждение:

Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

Например:

$0, 1 (6) = \frac{1}{6}; 0, 3 (571428) = \frac{5}{14}$ .

Эти равенства несложно проверить, выполнив деление.

Разные бесконечные десятичные периодические дроби представляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:

$0, 1 (9) = 0, 1999 . . . = 0, 2000 . . . = 0, 2; 1, (9) = 1, 999 . . . = 2, 000 . . . = 2 .$

Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.

Упражнение 4

Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:

а) $\frac{2}{3}$ ; б) $\frac{7}{6}$ ; в) $- \frac{3}{7}$ ; г) $- \frac{11}{9}$ ; д) $3$ ; е) $1, 28$ ; ж) $\frac{5}{8}$ ; з) $\frac{3}{11}$ .

Упражнение 5

Сравните рациональные числа:

а) 0,137 и 0,173; б) $\frac{5}{6}$ и $\frac{6}{7}$ ; в) –3 и –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ и –2,25; д) 0,074 и $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ и 0,312.

Контрольные вопросы

1. Нуль это натуральное число?

2. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

2. Как обозначают множество рациональных чисел?

3. В каком виде можно представить рациональные числа?

4. Как можно представить конечную десятичную дробь в виде бесконечной десятичной дроби?

5. Как связаны дроби с периодом 0 и периодом 9?

Ответы

Упражнение 1

а) ложное; б) ложное; в) истинное; г) истинное.

Упражнение 2

а) множество четных чисел некратных 10;

б) множество, содержащее остроугольные и прямоугольные треугольники.

Упражнение 3

$\frac{13}{1}; - \frac{21}{1}; \frac{31}{10}; - \frac{1}{4}; \frac{22}{3}; - \frac{1}{2}$

Упражнение 4

а) 0, (6); б) 1,1(6); в) -0,(428571); г) -1,(2);

д)3,(0); е) 1,28(0); ж) 0,625(0); з) 0,(27).

Упражнение 5

а) 0,137 $<$ 0,173; б) $\frac{5}{6}$ $<$ $\frac{6}{7}$ ; в) –3 $>$ –3,1;

г) $- 2 \frac{1}{4}$ = –2,25; д) 0,074 $<$ $\frac{3}{40}$ ; е) $\frac{5}{16}$ $>$ 0,312.

Конспект урока: Действительные числа

Числа

Множество рациональных чисел

Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби