Конспект урока: Построение изображений, создаваемых тонкими линзами

Действительные изображения, создаваемые тонкими собирающими линзами

Будем считать, что создаваемое тонкой линзой изображение является стигматичным, т. е. все исходящие из точечного источника лучи после прохождения линзы либо пересекаются в одной точке, либо идут так, что в одной точке пересекаются их продолжения. Поэтому для построения изображения любой точки предмета достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей, вышедших из этой точки, или точку пересечения продолжений этих лучей.

Рассмотрим случай, когда точечный источник находится на конце стрелки АВ, находящейся на расстоянии ОВ от главной плоскости тонкой собирающей линзы и на расстоянии h = АВ от её главной оптической оси (рис. 1).

Рис. 1. Построение изображения точки А в тонкой собирающей линзе

Чтобы построить изображение точки А, можно воспользоваться любыми двумя лучами из следующих трёх:

• луч номер 1 идёт от точки А через главный оптический центр не преломляясь;
• луч номер 2 идёт от точки А параллельно главной оптической оси до преломления в линзе, затем пересекает главную оптическую в главном фокусе линзы;
• луч номер 3 идёт от точки А сначала через главный фокус линзы до плоскости линзы, после преломления в ней луч идёт параллельно главной оптической оси.

Все три луча обязательно должны пересечься в одной точке (А₁), которая и будет изображением точки А.

Расстояние ОВ обозначим $a$, расстояние ОВ₁ обозначим $b$, расстояние АВ обозначим $h$, а А₁В₁ — $H$. Из подобия треугольников ОАВ и ОА₁В₁ следует, что $\frac{h}{H}=\frac{a}{b}$. Длина отрезка ОF₂ равна фокусному расстоянию линзы $F$. Поскольку $CO=h$, то из подобия треугольников F₂OC и F₂B₁A₁ следует, что $\frac{h}{H}=\frac{F}{b-F}$. 

Следовательно, 

$\frac{a}{b}=\frac{F}{b-F}$ 

или

$a·b-a·F=b·F$. 

Разделив почленно обе части этого соотношения на произведение $a·b·F$, получим
 

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.
 

Этот же результат можно получить, рассмотрев луч 2 и луч 3. Формулу выше называют формулой тонкой линзы.

На рисунке 1 мы видим, что стрелка А₁В₁ является изображением стрелки АВ. Это изображение действительное и перевёрнутое.

Используя выше изложенные формулы, можно показать, что высота изображения может быть вычислена по формуле

$H=h·\frac{b}{a}=h·\frac{F}{a-F}=h·\frac{b-F}{F}$.

Поскольку расстояние $b$ не зависит от $h$, то изображения точек, находящихся на одинаковом удалении от главной плоскости линзы, будут находится также на одинаковом удалении от этой плоскости. Следовательно, действительное изображение стрелки, перпендикулярной главной оптической оси, будет также перпендикулярно указанной оси, но расположено по другую сторону от неё. Такое изображение называют перевёрнутым. Согласно формуле выше, длина изображения $H$ будет во столько раз больше $h$, во сколько раз $b$ больше $a$.

Мнимые изображения, создаваемые тонкими собирающими линзами

Построим изображение точки А стрелки АВ, находящейся от главной плоскости тонкой собирающей линзы на расстоянии $a$, меньшем её фокусного расстояния $F$(рис. 2).

Рис. 2. Мнимое изображение предмета в тонкой собирающей линзе

Луч АС идёт вдоль побочной оптической оси (через оптический центр не преломляясь). Луч АС идёт так, что его продолжение, показанное на рисунке 2 пунктирной линией, проходит через главный фокус $F$. Поэтому этот луч после преломления в линзе идёт параллельно главной оптической оси.

Видно, что рассматриваемые лучи после преломления в линзе нигде не пересекаются, но в точке А₁ пересекаются продолжения этих лучей. Поэтому точка А₁ является мнимым изображением точки А, а стрелка А₁В₁ является мнимым изображением стрелки АВ.
 

В рассмотренном случае источник и изображение расположены по одну сторону от главной плоскости и главной оптической оси собирающей линзы.

Определим положение изображения. Обозначим длины отрезков ОВ и ОВ₁ соответственно $a$ и $b$. Треугольники ОАВ и ОА₁В₁ подобны. Поэтому $\frac{h}{H}=\frac{a}{b}$. Так как отрезок А₁С параллелен главной оптической оси линзы, то длина отрезка ОС равна $H$. Поскольку треугольники FAB и FCO подобны, то $\frac{h}{H}=\frac{F-a}{F}$.

Следовательно, $\frac{a}{b}=\frac{F-a}{F}$ или $F·a=F·b-a·b$. Разделив почленно обе части последнего равенства на произведение $a·b·F$, получим

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$.

Формулы $\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ и $\frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ можно писать в виде одной формулы:

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}\pm \frac{1}{b}$.

При этом, когда изображение источника является действительным, величина $b$ положительна, а когда изображение точки мнимое, величина $b$ отрицательна.

Изображения, создаваемые тонкими рассеивающими линзами

Теперь рассмотрим, как строить изображения, получаемые с помощью тонкой рассеивающей линзы.

На рисунке 3 показано, что стрелка АВ находится перед главным фокусом рассеивающей линзы. Для построения изображения в этом случае использованы два луча: АС и АО. Луч АС идёт параллельно главной оптической оси рассеивающей линзы. Поэтому он выходит из линзы так, что его продолжение проходит через главный фокус линзы, расположенный по ту же сторону от линзы, что и источник АВ.

Рис. 3. Получение мнимых изображений в тонких рассеивающих линзах

Луч АО падает на линзу вдоль её побочной оптической оси, поэтому он не изменяет своего направления. Видно, что выходящие из линзы лучи не пересекаются. Однако пересекаются их продолжения в точке А₁. Таким образом, точка А₁ — мнимое изображение точки А, а стрелка А₁В₁ — мнимое изображение стрелки АВ. С помощью аналогичных лучей можно построить изображение точечного источника, расположенного между фокальной плоскостью и главной плоскостью рассеивающей линзы. Видно, что и в этом случае изображение будет мнимым.

Определим положение изображения стрелки А₁В₁ относительно линзы. Как и ранее, будем считать, что длина отрезка ОВ равна $a$, отрезка ОВ₁ — $b$ (рис. 3). Длина стрелки АВ равна $h$, а длина её изображения А₁В₁ равна $H$. Поскольку треугольник ОАВ подобен треугольнику ОА₁В₁, а треугольник FOC подобен треугольнику FA₁B₁, то

$\frac{h}{H}=\frac{a}{b}=\frac{F}{F-b}$.

Следовательно,

$-\frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$;

$H=h·\frac{b}{a}=h·\frac{F}{a+F}=h·\frac{F-b}{F}$.

Сопоставление формул $\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ и $-\frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ с учётом правила выбора знаков для фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз приводит к выводу, что они могут быть записаны в виде одной формулы тонкой линзы.

Для тонких линз справедлив принцип обратимости хода световых лучей.