Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом

Общие сведения из стереометрии

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом

План урока

  • Предмет стереометрии;
  • Аксиомы стереометрии;
  • Некоторые следствия из аксиом.

Цели урока

  • Знать, что изучает стереометрия;
  • Уметь изображать и обозначать основные геометрические фигуры, понимать рисунки с изображениями геометрических фигур в пространстве;
  • Знать формулировки трёх основных аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве;
  • Уметь доказывать прямые следствия из аксиом стереометрии.

Введение

Современная геометрия включает в себя множество различных разделов. Вот названия некоторых из них: сферическая геометрия, геометрия Лобачевского, Риманова геометрия, геометрия многообразий, топология.

Перечисленные разделы геометрии изучаются в курсе высшей математики. Однако для их изучения необходима база, которой является евклидова геометрия. Именно этот базовый раздел геометрии изучается в школе и необходимость в нём ощущается не только математиками-теоретиками, изучающими и развивающими фундаментальную науку, но и представителями других профессий. 

Архитектор, строитель, инженер, конструктор, летчик, штурман, водитель, разработчик компьютерных игр, дизайнер, модельер, декоратор, астроном – это неполный список профессий, представители которых так или иначе применяют евклидову геометрию в своей деятельности. Поэтому, зародившись в глубокой древности, евклидова геометрия остаётся актуальной и в современном мире.

Евклидова геометрия подразделяется на планиметрию и стереометрию

Планиметрию вы изучали в 7-9 классах. Сейчас вы приступаете к изучению стереометрии.

 

Разминка

  • Что изучает геометрия?
  • Что изучает планиметрия?
  • Какие фигуры в планиметрии считаются простейшими?
  • Что такое аксиома?
  • Что такое теорема?

Предмет стереометрии

Рис. 1. Примеры геометрических тел Рис. 1. Примеры геометрических тел

Слово «стереометрия» происходит от древнегреческого στερεός «объёмный, пространственный» и μετρέω «измеряю».

 

Если в планиметрии простейшими (основными) фигурами являются точка и прямая, то в стереометрии сюда добавляется ещё и плоскость. Плоскость можно представить себе как ровную поверхность стола или стены, но простирающуюся неограниченно во все стороны.

Кроме простейших фигур, мы будем рассматривать и более сложные фигуры, например, фигуры, которые являются частью пространства, ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Такие фигуры называются геометрическими телами (рис.1). 

 

Обратите внимание, что любая геометрическая фигура является воображаемым объектом, но при этом может являться образом какого-то реального предмета. Например, мы можем сказать, что кирпич имеет форму параллелепипеда, воображая, что все грани кирпича идеально гладкие. В данном случае кирпич – это реальный предмет, а параллелепипед – воображаемый, идеальный объект, изучая который, мы узнаём о геометрических свойствах данного реального предмета. То есть геометрическая фигура – это всегда некоторая абстракция, которая допустима или даже необходима при рассмотрении какой-либо ситуации.

Изучая абстрактные геометрические фигуры, мы узнаём геометрические свойства реальных предметов.


Стереометрия – это раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.


Как вы знаете из планиметрии, при изучении геометрических фигур, пользуются их изображениями на чертеже. При изучении стереометрии также пользуются чертежами. Но теперь необходимо изображать и пространственные фигуры. Поэтому важным этапом в изучении стереометрии является отработка навыков создания правильного изображения пространственных фигур на плоскости. Как правило одна и та же фигура может быть изображена по-разному, так как её можно рассматривать с разных сторон и под разными углами. В этом случае выбирается то из возможных изображений, которое наиболее удобно для решения данной конкретной задачи.

Рис. 2. Изображение плоскости Рис. 2. Изображение плоскости

В первую очередь рассмотрим, как принято в геометрии изображать и обозначать плоскость. На рисунках плоскость изображают в виде параллелограмма или другой замкнутой области (рис. 2). Таким образом изображают только часть всей плоскости, так как всю безграничную плоскость изобразить невозможно. (Точно также поступают и в планиметрии, когда прямую изображают в виде ограниченной линии, хотя сама прямая не имеет границ.)

Обозначают плоскости греческими буквами αβγ и т.д.


Упражнение 1

 

1. Какие фигуры считаются в стереометрии простейшими?

2. Как принято изображать и обозначать плоскость на рисунке?


Аксиомы стереометрии

 

В каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. Если точки A и B лежат в плоскости α (или плоскость α проходит через эти точки), то пишут AαBα. Если точка M не лежит в плоскости β (β не проходит через точку M), то пишут Mβ.

 

При переходе от планиметрии к стереометрии появляется такой геометрический образ, как плоскость. Это заставляет расширить систему аксиом. В данном случае появляется целая группа новых аксиом, но сейчас мы рассмотрим только три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.


А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.


Рис. 3. Плоскость ABC Рис. 3. Плоскость ABC

Сформулированная аксиома даёт возможность обозначать плоскость тремя любыми точками, принадлежащими данной плоскости, но не лежащими на одной прямой. Например, плоскость, проходящую через точки AB и C (рис. 3), не лежащие на одной прямой, можно назвать плоскостью ABC.

 

Если взять четыре точки, а не три, то через них может не проходить ни одна плоскость, т.е. четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Например, стол с четырьмя ножками неодинаковой длины опирается на три из них, а четвертая висит в воздухе, не лежит в плоскости пола.


А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой, лежат в этой плоскости.


В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через эту прямую.

Рис. 4. Рис. 4.

На рисунке 4 показано, что точки A и B лежат в плоскости α. В соответствии с рассмотренной аксиомой прямая AB полностью лежит в этой плоскости.

Рис. 5. Рис. 5.

Из аксиомы можно сделать вывод, что если прямая a не лежит в плоскости α, то прямая a и плоскость α имеют не более одной общей точки (рис. 5).

 

Если прямая a и плоскость α имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются (рис. 5).


А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.


В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Рис. 6. Пересечение плоскостей по прямой Рис. 6. Пересечение плоскостей по прямой

Из данной аксиомы следует, что если две различные плоскости α и β имеют общую точку, то существует прямая a, принадлежащая каждой из этих плоскостей (рис. 6). Наглядной иллюстрацией А3 является пересечение двух смежных стен, например, пересечение боковой стены и потолка комнаты.


Упражнение 2

 

1. Сколько различных плоскостей проходит через три точки, не лежащих на одной прямой?

2. Точка M лежит на отрезке AB. Точки A и B лежат в плоскости α.

Лежит ли точка M в плоскости α?

3. Точки ABC и D принадлежат как плоскости  α, так и плоскости β (α и β – различные плоскости). Что можно сказать про точки ABC и D?


Некоторые следствия из аксиом

 

Рассмотрим две теоремы, которые являются прямым следствием из рассмотренных аксиом.


Теорема 1

 

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.


Рис. 7. Рис. 7.

Дано:

Прямая a

точка  Ma

 

Доказать:

1) Существует плоскость α, в которой лежат данная прямая a и данная точка M.

2) Такая плоскость α – единственная.

Доказательство:

  1. Отметим на прямой a две точки E и F (рис. 7). Точки ME и F не лежат на одной прямой. Из аксиомы А1 следует, что через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как две точки прямой a принадлежат плоскости  (E,Fα ), то по аксиоме А2 вся прямая a лежит в плоскости α. Таким образом, мы доказали, что существует плоскость α, в которой лежат данная прямая a и данная точка M.
  2. По аксиоме А1 через точки ME и F проходит только одна плоскость. Следовательно и плоскость, проходящая через данные прямую a и точку 
    M – единственная.

Теорема доказана.


Теорема 2

 

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.


Рис. 8. Рис. 8.

Дано:

Прямые a и b

ab в точке M

 

Доказать:

1) Существует плоскость α, в которой лежат данные прямые a и b.

2) Такая плоскость α – единственная.

Доказательство:

  1. Отметим на прямой b какую-нибудь точку K, отличную от точки M (рис. 8) и рассмотрим плоскость α, проходящую через точку K и прямую a (по теореме 1 такая плоскость существует). Так как две точки прямой b принадлежат плоскости α (M,Kα), то по аксиоме А2 вся прямая b лежит в плоскости α. Таким образом,  существует плоскость α, в которой лежат данные пересекающиеся прямые a и b.
  2. По теореме 1 через точку K и прямую a проходит только одна плоскость. Следовательно и плоскость, проходящая через данные пересекающиеся прямые a и b  – единственная.

Теорема доказана.


Упражнение 3

 

1. Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что прямые ABBC и AC лежат в одной плоскости.

2. Точки MN и K не лежат на одной прямой. AMNBMKEAB. Докажите, что точка E лежит в плоскости MNK.


Контрольные вопросы

 

1. Что изучает стереометрия?

2. Сформулируйте основные аксиомы стереометрии о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.

3. Сформулируйте два следствия из аксиом стереометрии.


Ответы

Упражнение 2

 

  1. Одна плоскость (аксиома А1).
  2. Точка M лежит в плоскости α, так как если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в данной плоскости (аксиома А2).
  3. Точки ABC и D лежат на одной прямой, так как согласно аксиоме А3 прямые пересекаются по прямой.

Предыдущий урок
Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда
Призма
Следующий урок
Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников
Общие сведения из стереометрии
  • И.А. Гончаров «Обломов». Финал романа. Авторская оценка жизненного пути героя. Историко-философский смысл произведения. Н.А. Добролюбов. «Что такое обломовщина?»

    Литература

  • Великая российская революция. Октябрь 1917 г.

    История

  • Экономика НЭПа

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке