- Компланарные векторы;
- Правило параллелепипеда;
- Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
- Знать определение компланарных векторов;
- Знать и уметь доказывать признак компланарности трёх векторов;
- Знать и уметь применять правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов;
- Знать и уметь доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам;
- Уметь находить разложение вектора по трём данным некомпланарным векторам.
- Какие векторы называются коллинеарными?
- Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?
- Две стороны треугольника параллельны плоскости . Параллельна ли третья сторона плоскости ?
Компланарные векторы
Определение 1
Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 1).
Можно также сказать, что векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости (другими словами, имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости).
Из определения следует, что любые два векторы компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
На рисунке 2 изображён параллелепипед.
Векторы , , компланарны, так как если отложить от точки вектор, равный , то получится , а векторы , , лежат в одной плоскости .
Векторы , , не компланарны, так вектор не лежит в плоскости .
Теорема 1 (признак компланарности трёх векторов)
Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде , где и – некоторые числа, то векторы , и компланарны.
Доказательство
Если векторы и коллинеарны, то компланарность векторов , и очевидна.
Рассмотрим случай когда векторы и не коллинеарны.
Отложим от произвольной точки векторы и (рис. 3).
Векторы и лежат в плоскости . В этой же плоскости лежат векторы и , а значит и их сумма лежит в этой плоскости:
.
Таким образом векторы , и лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.
Теорема доказана.
Из теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам (эта теорема доказывалась в курсе планиметрии) следует и обратное утверждение.
Теорема 2 (обратная признаку компланарности)
Если векторы , и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде , причём коэффициенты разложения и определяются единственным образом.
Упражнение 1
Дан куб . Определите, являются ли компланарными векторы:
а) , и ; б) , и ;
в) , и ; г) , и .
Правило параллелепипеда
Опишем так называемое правило параллелепипеда, которым можно пользоваться при сложении трёх некомпланарных векторов.
Пусть даны некомпланарные векторы , и . От произвольной точки отложим векторы , , . Построим параллелепипед так, чтобы отрезки , были его рёбрами (рис. 4). Тогда вектор является суммой данных векторов , и , т.е. .
Упражнение 2
В кубе найдите вектор, начало и конец которого являются вершины куба, равный сумме векторов:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам
Представление вектора в виде , где , и – некоторые числа, называют разложением вектора по векторам , и . Числа , и называются коэффициентами разложения.
Сформулируем и докажем теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам.
Теорема 3
Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство
Даны некомпланарные векторы , и . Отложим от произвольной точки векторы , , , (рис. 5).
Проведём через точку прямую, параллельную прямой .
Пусть – точка пересечения этой прямой с плоскостью . Через точку проведём прямую, параллельную прямой .
Пусть – точка пересечения этой прямой с прямой . Согласно правилу многоугольника
,
, , . Следовательно, существуют числа , и такие, что , , .
Таким образом,
.
Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Предположим, что некоторый вектор можно разложить по некомпланарным векторам , и двумя разными способами, т.е. и .
Вычитая из первого равенства второе, получим
.
Так как векторы , и не компланарны, то это равенство возможно только в случае, если , , , , .
Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Теорема доказана.
Упражнение 3
В параллелепипеде разложите:
а) вектор по векторам , и ;
б) вектор по векторам , и ;
в) вектор по векторам , и ;
г) вектор по векторам , и .
Контрольные вопросы
- Какие векторы называются компланарными?
- Сформулируйте признак компланарности трёх векторов.
- В чем заключается правило параллелепипеда, используемое при сложении трёх некомпланарных векторов?
- Сформулируйте теорему о разложении вектора по трём неколлинеарным векторам.
Упражнение 1
а) да; б) да; в) нет; г) нет.
Упражнение 2
а) ; б) ; в) ; г).
Упражнение 3
а) ;
б) ;
в) ;
г) .