Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Сфера и шар

  • Объем

  • Треугольники

  • Окружность

  • Комбинации тел

  • Конус

  • Цилиндр

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

Конспект урока: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Другие разделы

Компланарные векторы

План урока

  • Компланарные векторы;
  • Правило параллелепипеда;
  • Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Цели урока

  • Знать определение компланарных векторов;
  • Знать и уметь доказывать признак компланарности трёх векторов;
  • Знать и уметь применять правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов;
  • Знать и уметь доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам;
  • Уметь находить разложение вектора по трём данным некомпланарным векторам.

Разминка

  • Какие векторы называются коллинеарными?
  • Сколько плоскостей проходит через три точки, не лежащие на одной прямой?
  • Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Параллельна ли третья сторона плоскости α?

 Компланарные векторы


Определение 1

 

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 1).


Рис. 1. Компланарные вектора Рис. 1. Компланарные вектора

Можно также сказать, что векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости (другими словами, имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости).

 

Из определения следует, что любые два векторы компланарны, а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.

Рис. 2. Рис. 2.

На рисунке 2 изображён параллелепипед.

Векторы D1D2A1C2A1C1  компланарны, так как если отложить от точки A1 вектор, равный D1D2, то получится A1A2,  а векторы A1A2A1C2A1C1 лежат в одной плоскости A2A1C1.

Векторы A1D1A1B1A1A2  не компланарны, так вектор A1A2 не лежит в плоскости D1A1B1.


Теорема 1 (признак компланарности трёх векторов)

 

Если вектор c можно разложить по векторам a и b, т.е. представить в виде с=xa+yb, где x и y – некоторые числа, то векторы ab и c компланарны.


Доказательство

Рис. 3. К теореме 1 Рис. 3. К теореме 1

Если векторы a и b коллинеарны, то компланарность векторов ab и c очевидна.

Рассмотрим случай когда векторы a и b не коллинеарны.

Отложим от произвольной точки O векторы OA=a и OB=b (рис. 3).

 

Векторы OA и OB лежат в плоскости OAB. В этой же плоскости лежат векторы OA1=x·OA  и OB1=y·OB, а значит и их сумма лежит в этой плоскости:

 

c=OC=OA1+OB1=x·OA+y·OB.

 

Таким образом векторы ab и c лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

 

Теорема доказана.

Из теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам (эта теорема доказывалась в курсе планиметрии) следует и обратное утверждение.


Теорема 2 (обратная признаку компланарности)

 

Если векторы ab и c компланарны, а векторы a и b не коллинеарны, то вектор c можно разложить по векторам a и b, т.е. представить в виде с=xa+yb, причём коэффициенты разложения x и y определяются единственным образом.


Упражнение 1

 

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Определите, являются ли компланарными векторы:

 

а) AB1AD и B1D;      б) B1C1C1D и B1D;

в) ABAD и AA1;        г) DADC и DB1.


Правило параллелепипеда

 

Опишем так называемое правило параллелепипеда, которым можно пользоваться при сложении трёх некомпланарных векторов.

Рис. 4. Правило параллелепипеда Рис. 4. Правило параллелепипеда

Пусть даны некомпланарные векторы ab и c. От произвольной точки A1 отложим векторы A1B1=aA1D1=bA1A2=c. Построим параллелепипед A1B1C1D1A2B2C2D2 так, чтобы отрезки A1B1, A1D1A1A2 были его рёбрами (рис. 4). Тогда вектор A1С2 является суммой данных векторов ab и c, т.е. A1С2=a+b+c.


Упражнение 2 

 

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите вектор, начало и конец которого являются вершины куба, равный сумме векторов:

 

а) C1B1+C1D1+C1C;         б) BA+BC+BB1;

в) AB+A1D1+AA1;              г) B1A1+BC+B1B.


Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

 

Представление вектора p в виде p=xa+yb+zc, где xy и z – некоторые числа, называют разложением вектора p по векторам ab и c . Числа xy и z называются коэффициентами разложения .

Сформулируем и докажем теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам.


Теорема 3

 

Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.


Доказательство

Рис. 5. К доказательству теоремы 3 Рис. 5. К доказательству теоремы 3

Даны некомпланарные векторы ab и c. Отложим от произвольной точки O векторы OA=a OB=bOC=c,  OP=p (рис. 5).

Проведём через точку P прямую, параллельную прямой OC.

Пусть P1 – точка пересечения этой прямой с плоскостью AOB. Через точку P1 проведём прямую, параллельную прямой OB

Пусть P2 – точка пересечения этой прямой с прямой OA. Согласно правилу многоугольника

 

 OP=OP2+P2P1+P1P,

 

OP2OAP2P1OBP1POC. Следовательно, существуют числа xy и z такие, что OP2=x·OAP2P1=y·OBP1P=z·OC.

Таким образом, 

 

OP=x·OA+y·OB+z·OC

p=x·a+y·b+z·c.

 

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Предположим, что некоторый вектор p можно разложить по некомпланарным векторам ab и c двумя разными способами, т.е. p=x1·a+y1·b+z1·c и  p=x2·a+y2·b+z2·c.

 

Вычитая из первого равенства второе, получим

 

0=x1-x2·a+y1-y2·b+z1-z2·c.

 

Так как векторы ab и c не компланарны, то это равенство возможно только в случае, если x1-x2=0y1-y2=0z1-z2=0  x1=x2y1=y2z1=z2.

Следовательно, коэффициенты разложения p=x·a+y·b+z·c определяются единственным образом. 

 

Теорема доказана.


Упражнение 3 

 

В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 разложите:

 

а) вектор AC1 по векторам ABAD и AA1;

б) вектор AA1 по векторам D1A1D1C1 и  A1C;

в) вектор D1B по векторам D1A1D1C1 и  D1D;

г) вектор BB1 по векторам CBCD и  B1D.


Контрольные вопросы

 

  1. Какие векторы называются компланарными?
  2. Сформулируйте признак компланарности трёх векторов.
  3. В чем заключается правило параллелепипеда, используемое при сложении трёх некомпланарных векторов?
  4. Сформулируйте теорему о разложении вектора по трём неколлинеарным векторам.


Ответы

Упражнение 1

 

а) да;    б) да;    в) нет;    г) нет.

 

Упражнение 2

 

а) C1A;     б) BD1;     в) AC1;    г)B1D.

 

Упражнение 3

 

а) AC1=AB+AD+AA1;             

б) AA1=D1C1-D1A1-A1C;

в) D1B=D1A1+D1C1+D1D;      

г) BB1=CD-B1D-CB.

Предыдущий урок
Цилиндр
Цилиндр
Следующий урок
Движения
Преобразования на плоскости и в пространстве
  • Элементы теории относительности. Постулаты специальной теории относительности. Относительность одновременности событий. Замедление времени и сокращение длины

    Физика

  • А.А. Ахматова. Любовная лирика. Философская лирика

    Литература

  • Футуризм. В. Хлебников, И. Северянин

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке