Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда

План урока

Параллелепипед;
Построение сечений параллелепипеда.

Цели урока

Знать, что такое параллелепипед и как называются его элементы;
Знать, что понимают под сечением параллелепипеда;
Уметь строить сечения параллелепипеда.

Разминка

Что такое параллелограмм?
Какие плоскости называются параллельными?
Что такое тетраэдр?
Какие геометрические фигуры могут являться сечением тетраэдра?

Параллелепипед

Рис. 1

Пусть два равных параллелограмма $A B C D$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежат в параллельных плоскостях и расположены так, что отрезки $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ параллельны (рис. 1.).

Как известно, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей). Отсюда следует, что параллельными будут следующие пары отрезков: $A B$ и $A_{1} B_{1}$ , $C D$ и $C_{1} D_{1}$ , $B C$ и $B_{1} C_{1}$ , $A D$ и $A_{1} D_{1}$ .

Тогда каждый из четырёхугольников $A B B_{1} A_{1}$ , $B C C_{1} B_{1}$ , $C D D_{1} C_{1}$ , $D A A_{1} D_{1}$ имеет попарно параллельные противоположные стороны, т.е. является параллелограммом. Пространственная фигура, составленная из параллелограммов $A B C D$ , $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A B B_{1} A_{1}$ , $B C C_{1} B_{1}$ , $C D C_{1} D_{1}$ , $D A A_{1} D_{1}$ называется параллелепипедом и обозначается $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .

Параллелепипед, как и тетраэдр, является разновидностью многогранников, которым будет посвящена одна из глав курса стереометрии.

Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями параллелепипеда.

Параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом .

Стороны этих параллелограммов называются рёбрами параллелепипеда.

Вершины этих параллелограммов называются вершинами параллелепипеда.

Две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются противоположными.

Отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер - противоположными.

На рисунке 1 противоположными являются грани $A B C D$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ , $A A_{1} D_{1} D$ и $B B_{1} C_{1} C$ , $A B B_{1} A_{1}$ и $D C C_{1} D_{1}$ . В параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ можно провести диагонали $A C_{1}, A_{1} C, D B_{1}, D_{1} B$ .

Две какие-нибудь противоположные грани параллелепипеда можно рассматривать как основания. Тогда все другие грани называют боковыми.

Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основанию, также называют боковыми.

Сформулируем и докажем два свойства параллелепипеда.

Свойство 1

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рис. 2.

Две грани параллелепипеда называются параллельными , если их плоскости параллельны.

Докажем параллельность и равенство граней $A B B_{1} A_{1}$ и $D C C_{1} D_{1}$ параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (рис. 2).

Из определения параллелепипеда следует, что все его грани – параллелограммы. Из того, что $A B C D$ и $A D D_{1} A_{1}$ – параллелограммы, следует, что $A B ∥ D C$ и $A A_{1} ∥ D D_{1}$ . Таким образом, две пересекающиеся прямые ( $A B$ и $A A_{1}$ ) одной грани соответственно параллельны двум прямым ( $C D$ и $D D_{1}$ ) другой грани. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, грани $A B B_{1} A_{1}$ и $D C C_{1} D_{1}$ параллельны.

Стороны углов $A_{1} A B$ и $D_{1} D C$ сонаправлены, а значит эти углы равны.

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $A B = D C$ , $A A_{1} = D D_{1}$ .

Итак, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма $A B B_{1} A_{1}$ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма $D C C_{1} D_{1}$ . Значит, эти параллелограммы равны.

Свойство 2

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рис. 3

Рассмотрим четырёхугольник $A_{1} D_{1} C B$ (рис. 3). Диагонали этого четырёхугольника ( $A_{1} C$ и $D_{1} B$ ) являются диагоналями параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ (рис. 3).

$A_{1} D_{1} ∥ B C$ и $A_{1} D_{1} = B C$ , значит $A_{1} D_{1} C B$ – параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что диагонали пересекаются в некоторой точке $O$ и в этой точке делятся пополам.

Рис. 4

Рассмотрим теперь четырёхугольник $A D_{1} C_{1} B$ (рис. 4). Он также является параллелограммом (доказывается аналогично). Значит его диагонали $A C_{1}$ и $D_{1} B$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. При этом серединой диагонали $D_{1} B$ является точка $O$ . Значит и серединой диагонали $A C_{1}$ является точка $O$ .

Рис. 5

В четырёхугольнике $A_{1} B_{1} C D$ аналогично доказывается, что и диагональ $D B_{1}$ проходит через точку $O$ и делится в ней пополам (рис. 5).

Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Упражнение 1

Изобразите параллелепипед $M N K L M_{1} N_{1} K_{1} L_{1}$ . Запишите:

а) рёбра параллелепипеда;

б) грани параллелепипеда;

в) диагонали параллелепипеда;

г) пары противоположных граней.

Построение сечений параллелепипеда

Дадим определения, аналогичные тем, что рассматривались при изучении тетраэдра и его сечений.

Секущая плоскость параллелепипеда – это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.

Секущая плоскость параллелепипеда пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки представляет собой сечение параллелепипеда.

Сечение параллелепипеда - многоугольник, образованный пересечением плоскости с данным параллелепипедом.

Параллелепипед имеет шесть граней, значит сечение параллелепипеда не может иметь более шести сторон. Сечением параллелепипеда могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

Рассмотрим примеры построения различных сечений параллелепипеда.

Пример 1

Рис. 6.

На рёбрах $A B, A D, A A_{1}$ параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены точки $M$ , $N$ и $K$ так, как показано на рисунке 6. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $M N K$ .

Решение

Рис. 7.

На рисунке 6 изображён исходный параллелепипед и точки $M$ , $N$ и $K$ . Плоскость $M N K$ пересекает грани параллелепипеда по отрезкам $M N$ , $N K$ и $M K$ . В совокупности они представляет собой треугольник $M N K$ , который и является сечением данного параллелепипеда (рис. 7).

Пример 2

Рис. 8.

На рёбрах $A A_{1}$ , $D D_{1}$ , $C C_{1}$ параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены точки $M$ , $N$ и $K$ так, как показано на рисунке 8. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $M N K$ .

Решение

Рис. 9.

Проведём сначала отрезки $M N$ и $N K$ .

Проведём через точку $M$ прямую, параллельную $N K$ и отметим точку пересечения этой прямой с ребром $A B$ . Обозначим эту точку буквой $F$ .

Через точку $K$ проведём прямую параллельную $M N$ и отметим точку пересечения этой прямой с ребром $B C$ . Обозначим эту точку буквой $E$ . Проведём отрезок $E F$ . Многоугольник $M N K E F$ – искомое сечение.

Пример 3

На рёбрах $A A_{1}$ , $A_{1} D_{1}$ , $D_{1} C_{1}$ параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены точки $M$ , $N$ и $K$ так как показано на рисунке 10а. Построить сечение параллелепипеда плоскостью $M N K$ .

Рис. 10 (а, б).

Построим отрезки $M N$ и $N K$ (рис. 10б).

Далее проведём прямые $M N$ и $D A$ .

Отметим точку пересечения этих прямых и обозначим её буквой $X$ .

Через точку $X$ проведём прямую, параллельную $N K$ .

Отметим точки пересечения этой прямой с рёбрами $A B$ и $B C$ .

Обозначим их соответственно $R$ и $F$ .

Через точку $F$ проведём прямую, параллельную $M N$ .

Отметим точку пересечения этой прямой с ребром $C C_{1}$ .

Обозначим эту точку буквой $E$ .

Многоугольник $M N K E F R$ – искомое сечение.

Упражнение 2

1. Может ли сечением параллелепипеда быть:

а) четырёхугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) семиугольник.

2. Дан параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Сумма всех его рёбер равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если

$\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ , $\frac{B C}{B B_{1}} = \frac{5}{6}$ .

3. Изобразите параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и постройте его сечение плоскостью $A B C_{1}$ .

4. Изобразите параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ и отметьте внутреннюю точку $M$ грани $A A_{1} B_{1} B$ . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $A B C D$ .

Контрольные вопросы

1. Какая геометрическая фигура называется параллелепипедом?

2. Что представляет собой сечение параллелепипеда?

3. Какие геометрические фигуры могут являться сечением параллелепипеда?

Ответы

Упражнение 2

а) да; б) да; в) да; г) нет.
8 см, 10 см, 12 см.
рис. 11.
рис. 12.

Рис. 11.

Рис. 12.

Конспект урока: Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда

Призма