Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда

Призма

Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда

План урока

  • Параллелепипед;
  • Построение сечений параллелепипеда.

Цели урока

  • Знать, что такое параллелепипед и как называются его элементы;
  • Знать, что понимают под сечением параллелепипеда;
  • Уметь строить сечения параллелепипеда.

Разминка

  • Что такое параллелограмм?
  • Какие плоскости называются параллельными?
  • Что такое тетраэдр?
  • Какие геометрические фигуры могут являться сечением тетраэдра?

Параллелепипед

Рис. 1 Рис. 1

Пусть два равных параллелограмма ABCDи A1B1C1D1 лежат в параллельных плоскостях и расположены так, что отрезки AA1, BB1, CC1, DD1 параллельны (рис. 1.).

 

Как известно, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны (свойство параллельных плоскостей). Отсюда следует, что параллельными будут следующие пары отрезков: AB и A1B1CD и C1D1BC и B1C1AD и A1D1.

 

Тогда каждый из четырёхугольников ABB1A1BCC1B1CDD1C1DAA1D1 имеет попарно параллельные противоположные стороны, т.е. является параллелограммом. Пространственная фигура, составленная из параллелограммов ABCDA1B1C1D1ABB1A1BCC1B1CDC1D1DAA1D1 называется параллелепипедом и обозначается ABCDA1B1C1D1.

 

Параллелепипед, как и тетраэдр, является разновидностью многогранников, которым будет посвящена одна из глав курса стереометрии.


Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.

 

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями параллелепипеда.

 

Параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом .


Стороны этих параллелограммов называются рёбрами параллелепипеда.

 

Вершины этих параллелограммов называются вершинами параллелепипеда.

 

Две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани, называются противоположными.

 

Отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется диагональю.

 

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер - противоположными.

 

На рисунке 1 противоположными являются грани ABCD и A1B1C1D1AA1D1D и BB1C1CABB1A1 и DCC1D1. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 можно провести диагонали AC1, A1C, DB1, D1B.

 

Две какие-нибудь противоположные грани параллелепипеда можно рассматривать как основания. Тогда все другие грани называют боковыми.

 

Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основанию, также называют боковыми.

 

Сформулируем и докажем два свойства параллелепипеда.


Свойство 1

 

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.


Рис. 2. Рис. 2.

Две грани параллелепипеда называются параллельными , если их плоскости параллельны. 

 

Докажем параллельность и равенство граней ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 2).

 

Из определения параллелепипеда следует, что все его грани – параллелограммы. Из того, что ABCD и ADD1A1 – параллелограммы, следует, что ABDC и AA1DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые (AB и AA1) одной грани соответственно параллельны двум прямым (CD и DD1) другой грани. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

 

Стороны углов A1AB и D1DC сонаправлены, а значит эти углы равны.

 

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то AB=DCAA1=DD1.

 

Итак, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB1A1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1. Значит, эти параллелограммы равны.


Свойство 2

 

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.


Рис. 3 Рис. 3

Рассмотрим четырёхугольник A1D1CB (рис. 3). Диагонали этого четырёхугольника (A1C и D1B) являются диагоналями параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 3). 


A1D1BC и A1D1=BC, значит A1D1CB – параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что диагонали пересекаются в некоторой точке O и в этой точке делятся пополам.

Рис. 4 Рис. 4

Рассмотрим теперь четырёхугольник AD1C1B (рис. 4). Он также является параллелограммом (доказывается аналогично). Значит его диагонали AC1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. При этом серединой диагонали D1B является точка O. Значит и серединой диагонали AC1 является точка O.

Рис. 5 Рис. 5

В четырёхугольнике A1B1CD аналогично доказывается, что и диагональ DB1 проходит через точку O и делится в ней пополам (рис. 5).

 

Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.


Упражнение 1

 

Изобразите параллелепипед MNKLM1N1K1L1. Запишите:

а) рёбра параллелепипеда;

б) грани параллелепипеда;

в) диагонали параллелепипеда;

г) пары противоположных граней.


Построение сечений параллелепипеда

 

Дадим определения, аналогичные тем, что рассматривались при изучении тетраэдра и его сечений.


Секущая плоскость параллелепипеда  – это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда.


Секущая плоскость параллелепипеда пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки представляет собой сечение параллелепипеда.


Сечение параллелепипеда - многоугольник, образованный пересечением плоскости с данным параллелепипедом.


Параллелепипед имеет шесть граней, значит сечение параллелепипеда не может иметь более шести сторон. Сечением параллелепипеда могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

 

Рассмотрим примеры построения различных сечений параллелепипеда.


Пример 1

Рис. 6. Рис. 6.

На рёбрах AB, AD, AA1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки MN и K так, как показано на рисунке 6. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNK. 


Решение

Рис. 7. Рис. 7.

На рисунке 6 изображён исходный параллелепипед и точки MN и K. Плоскость MNK пересекает грани параллелепипеда по отрезкам MNNK и MK. В совокупности они представляет собой треугольник MNK, который и является сечением данного параллелепипеда (рис. 7). 


Пример 2

Рис. 8. Рис. 8.

На рёбрах AA1DD1CC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки MN и K так, как показано на рисунке 8. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNK.


Решение

Рис. 9. Рис. 9.

Проведём сначала отрезки MN и NK.

Проведём через точку M прямую, параллельную NK и отметим точку пересечения этой прямой с ребром AB. Обозначим эту точку буквой F.

Через точку K проведём прямую параллельную MN и отметим точку пересечения этой прямой с ребром BC. Обозначим эту точку буквой E. Проведём отрезок EF. Многоугольник MNKEF – искомое сечение. 


Пример 3

 

На рёбрах AA1A1D1D1C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки MN и K так как показано на рисунке 10а. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNK.


Рис. 10 (а, б). Рис. 10 (а, б).

Построим отрезки MNи NK (рис. 10б). 

 

Далее проведём прямые MN и DA.

 

Отметим точку пересечения этих прямых и обозначим её буквой X.

 

Через точку X проведём прямую, параллельную NK.

 

Отметим точки пересечения этой прямой с рёбрами AB и BC.

 

Обозначим их соответственно R и F.

 

Через точку F проведём прямую, параллельную MN.

 

Отметим точку пересечения этой прямой с ребром CC1.

 

Обозначим эту точку буквой E.

 

Многоугольник MNKEFR – искомое сечение.


Упражнение 2

 

1. Может ли сечением параллелепипеда быть:

а) четырёхугольник; 

б) пятиугольник;

в) шестиугольник; 

г) семиугольник.

 

2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Сумма всех его рёбер равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если

ABBC=45BCBB1=56.

3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью ABC1.

4. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку M грани AA1B1B. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости ABCD.


Контрольные вопросы

 

1. Какая геометрическая фигура называется параллелепипедом?

2. Что представляет собой сечение параллелепипеда?

3. Какие геометрические фигуры могут являться сечением параллелепипеда?


Ответы

Упражнение 2

 

  1. а) да; б) да; в) да; г) нет.
  2. 8 см, 10 см, 12 см.
  3. рис. 11.
  4. рис. 12.

Рис. 11. Рис. 11.

Рис. 12. Рис. 12.

Предыдущий урок
Прямоугольный параллелепипед
Призма
Следующий урок
Понятие многогранника. Призма
Призма
  • Простые механизмы. Коэффициент полезного действия

    Физика

  • Частицы. Правописание частиц

    Русский язык

  • География природопользования

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке