Конспект урока: Усечённая пирамида

Усечённая пирамида

На рисунке 1 изображена пирамида $S{A}_1{A}_2{A}_3\dots A_n$, основание которой лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает боковые рёбра пирамиды в точках $B_1, B_2, B_3, \dots , B_n$ и разбивает пирамиду на два многогранника. Один из многогранников заключён между основанием $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$, боковыми гранями исходной пирамиды и многоугольником $B_1{B}_2{B}_3\dots B_n$.

Этот многогранник является усечённой пирамидой и обозначается $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n{B}_1{B}_2{B}_3\dots B_n$.

Рис. 1. Усечённая пирамида A₁A₂A₃…A_nB₁B₂B₃…B_n

Многоугольники $A_1{A}_2{A}_3\dots A_n$ и $B_1{B}_2{B}_3\dots B_n$ называются основаниями усечённой пирамиды.

 

Многоугольники $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$, $A_2{A}_3{B}_3{B}_2$, …, $A_n{A}_1{B}_1{B}_n$ называются боковыми гранями усечённой пирамиды.

 

Отрезки $A_1{B}_1$, $A_2{B}_2$, …, $A_n{B}_n$ называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

 

На рисунке также показана высота $SH$ исходной пирамиды и высота $CH$ усечённой пирамиды.

Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. Докажем, например, что боковая грань $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ – трапеция (рис. 1). Стороны $A_1{A}_2$ и $B_1{B}_2$ параллельны, так как лежат на прямых, по которым плоскость $S{A}_1{A}_2$ пересекается с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Другие две стороны $A_1{B}_1$ и $A_2{B}_2$ этой грани не параллельны, поскольку прямые, которым принадлежат эти стороны, пересекаются в точке S. Таким образом, в четырёхугольнике $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Значит, $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ – трапеция. Аналогично доказывается, что и остальные грани – трапеции.

Введём понятие правильной усечённой пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равные между собой равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами.

Доказательство

Рис. 2. К доказательству теоремы 1

Боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные между собой равнобедренные трапеции с одним и тем же верхним основанием $a$, нижним $b$ и высотой (апофемой) $l$ (рис. 2). Поэтому площадь одной грани равна $\frac{1}{2}·(a+b)·l.$ Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна $\frac{1}{2}·(an+bn)·l$, где 
$n$ – число вершин у оснований пирамиды, $an$ и $bn$ – периметры оснований пирамиды.

 

Теорема доказана. 

Решение

Рис. 3. К примеру 1

Пусть квадраты $A_1{A}_2{A}_3{A}_4$ и $B_1{B}_2{B}_3{B}_4$ являются основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (рис. 3).

По условию $A_1{A}_2=10 см$, $B_1{B}_2=2 см$.

Диагональное сечение этой призмы $A_1{A}_3{B}_3{B}_1$ является равнобедренной трапецией с основаниями $A_1{A}_3$ и $B_1{B}_3$.

Найдём эти основания.

 

$A_1{A}_3=\sqrt{A_2{A_3}^2+A_1{A_2}^2}=$$\sqrt{{10}^2+{10}^2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$,

$B_1{B}_3=\sqrt{B_2{B_3}^2+B_1{B_2}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

 

По условию высота пирамиды равна 7 см.  Значит, в прямоугольном треугольнике $A_1{B}_1{H}_1$ катет $B_1{H}_1$ равен 7 см. Найдём катет $A_1{H}_1$.

 

$A_1{H}_1=\frac{A_1{A}_3-B_1{B}_3}{2}=\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$.

 

Найдём теперь боковое ребро $A_1{B}_1$ усечённой пирамиды, которое является гипотенузой прямоугольного треугольника $A_1{B}_1{H}_1$.

 

$A_1{B}_1=\sqrt{A_1{H_1}^2+B_1{H_1}^2}=\sqrt{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+7^2}=\sqrt{32+49}=\sqrt{81}=9 см$.

 

Ответ: 9 см.

Решение

Рис. 4. К примеру 2

 

Центры оснований $O_1$ и $O_2$ правильной усечённой треугольной пирамиды $A_1{A}_2{A}_3{B}_1{B}_2{B}_3$ (рис. 4) делят медианы оснований $A_{3}M$ и $B_{3}N$ в отношении 2:1 считая от вершин $A_3$ и $B_3$. Отрезок $O_1{O}_2$ является высотой пирамиды. 

 

Найдём сначала медианы равносторонних треугольников $A_1{A}_2{A}_3$ и $B_1{B}_2{B}_3$ (они также являются и высотами этих треугольников).

$A_{3}M=\sqrt{A_2{A_3}^2-A_2{M}^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} дм$;

$B_{3}N=\sqrt{B_2{B_3}^2-B_2{N}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} дм$.

Теперь найдём отрезки $A_3{O}_1$ и $B_3{O}_2$.

$A_3{O}_1=\frac{2}{3}·A_{3}M=\frac{2}{3}·2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3} дм$;

$B_3{O}_2=\frac{2}{3}·B_{3}N=\frac{2}{3}·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3} дм$.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $O_1{A}_3{B}_3{O}_2$. Проведём высоту $B_{3}H$.

$B_{3}H=O_1{O}_2$.

$A_{3}H=A_3{O}_1-B_3{O}_2=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} дм$.

По условию $A_3{B}_3=2 дм$.

Тогда по теореме Пифагора получим

$B_{3}H=\sqrt{A_3{B_3}^2-A_3{H}^2}=\sqrt{2^2-{\sqrt{3}}^2}=\sqrt{4-3}=1 дм$.

Таким образом, мы нашли высоту усечённой пирамиды $O_1{O}_2=1 дм$.

Ответ: 1 дм.