Конспект урока: Пирамида. Правильная пирамида

Пирамида

План урока

Пирамида;
Правильная пирамида.

Цели урока

Знать, что такое пирамида, правильная пирамида;
Знать и уметь доказывать теорему о боковой поверхности правильной пирамиды;
Уметь вычислять площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Разминка

Что такое многогранник?
Какую геометрическую фигуру называют призмой?
Что такое перпендикуляр к плоскости?
Какой многоугольник называется правильным?

Пирамида

Рис. 1. Пирамида

Пусть многоугольник $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ лежит в плоскости $α$ , а точка $S$ не лежит в этой плоскости. Соединим отрезками точку S с вершинами многоугольника $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ . В результате мы получим многогранник, составленный из многоугольника $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ и $n$ треугольников $S A_{1} A_{2}$ , $S A_{2} A_{3}$ , …, $S A_{n} A_{1}$ .

Такой многогранник называется пирамидой.

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Общей вершиной этих треугольников является вершина пирамида. Сторона каждого из этих треугольников, противолежащая вершине пирамиды, является стороной основания пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами.

Пирамиду с основанием $A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ и вершиной $S$ обозначают $S A_{1} A_{2} . . . A_{n}$ и называют $n$ -угольной пирамидой.

Рис. 2. Треугольная пирамида

На рисунке 2 показана треугольная пирамида (тетраэдр), а на рисунке 3 – четырёхугольная пирамида и перпендикуляр $S H$ , проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания пирамиды. Этот перпендикуляр называется высотой пирамиды.

Рис. 3. Четырёхугольная пирамида (SH - высота)

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пример 1

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

Решение

Рис. 4. К примеру 1

Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей основания пирамиды (рис. 4).

$A B = 8 с м$ , $B C = 6 с м$ .

Так как по условию боковые рёбра равны, то треугольники $S A C$ и $S B D$ – равнобедренные. При этом основание пирамиды ABCD является прямоугольником. По свойству параллелограмма $O$ – середина диагоналей $A C$ и $B D$ . Значит $S O$ – медиана равнобедренных треугольников $S A C$ и $S B D$ , проведённая к их основаниям. Значит, является и высотой этих треугольников.

Таким образом, $S O ⊥ A C$ и $S O ⊥ B D$ . Отсюда следует, что отрезок $S O$ – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, т. е. $S O$ – высота пирамиды.

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 с м$ ,

$C O = \frac{A C}{2} = \frac{10}{2} = 5 с м$ ,

$S O = \sqrt{S C^{2} - C O^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 с м$ .

Ответ: 12 см.

Пример 2

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60^o. Найдите высоту пирамиды.

Решение

Рис. 5. К примеру 2

На рисунке 5 показана пирамида $S A B C$ в основании которой лежит прямоугольный треугольник $A B C$ с прямым углом $C$ . Проведём высоты боковых граней $S H_{1}$ , $S H_{2}$ , $S H_{3}$ и высоту пирамиды $S O$ . По условию задачи $∠ S H_{1} O = ∠ S H_{2} O = ∠ S H_{3} O = 60 °$ , $S O$ – общий катет треугольников $S O H_{1}$ , $S O H_{2}$ и $S O H_{3}$ . Значит, по признаку равенства прямоугольных треугольников эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что $O H_{1} = O H_{2} = O H_{3}$ . При этом $O H_{1}$ , $O H_{2}$ и $O H_{3}$ являются проекциями высот боковых граней на плоскость $A B C$ . Значит, $O H_{1} ⊥ A C$ , $O H_{2} ⊥ B C$ и $O H_{3} ⊥ A B$ . Это означает, что $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $A B C$ .

$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 с м$ ,

$S_{Δ A B C} = \frac{A C \cdot B C}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 с м^{2}$ ,

$p = \frac{A C + B C + A B}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 с м$ ,

$O H_{1} = r = \frac{S_{Δ A B C}}{p} = \frac{24}{12} = 2 с м$ .

Так как треугольник $S O H_{1}$ – прямоугольный и $∠ S H_{1} O = 60 °$ , то $h = S O = O H_{1} \cdot t g ∠ S H_{1} O = 2 \sqrt{3} с м$ .

Ответ: $2 \sqrt{3} с м$ .

Правильная пирамида

Перейдём к описанию правильной пирамиды.

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.

У правильной пирамиды боковые рёбра равны. Следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.

Сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

$S_{б о к .} = \frac{P \cdot l}{2}$ ,

где $P -$ периметр основания, $l -$ апофема.

Доказательство

Рис. 6. К доказательству теоремы 1

Пусть $a$ – сторона основания правильной пирамиды;

$n$ – число сторон основания (рис. 6). Тогда боковая поверхность пирамиды равна

$S_{б о к} = \frac{a l}{2} \cdot n = \frac{a n l}{2} = \frac{P l}{2}$ ,

где $l$ – апофема, $P$ – периметр основания пирамиды.

Теорема доказана.

Пример 3

Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна $144 с м^{2}$ .

Решение

Рис. 7. К примеру 3

Сторону основания правильной пирамиды $S A B C$ обозначим буквой $x$ (рис. 7). Апофема $S H$ делит сторону основания $B C$ на отрезки $B H$ и $C H$ , равные $\frac{x}{2}$ . Выразим апофему через $x$ .

$l = S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{10^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} =$ $\sqrt{\frac{400 - x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{400 - x^{2}}}{2}$ .

Выразим площадь боковой поверхности пирамиды

$S_{б о к} = \frac{P \cdot l}{2} = \frac{3 \cdot x}{2} \cdot \frac{\sqrt{400 - x^{2}}}{2} = \frac{3 \cdot x \cdot \sqrt{400 - x^{2}}}{4}$ .

Учитывая, что по условию $S_{б о к} = 144 с м^{2}$ , получим уравнение

$\frac{3 \cdot x \cdot \sqrt{400 - x^{2}}}{4} = 144$ ,

$x \cdot \sqrt{400 - x^{2}} = 192$ ,

$x^{2} \cdot (400 - x^{2}) = 192^{2}$ ,

$x^{4} - 400 x^{2} + 192^{2} = 0$ .

Решив данное биквадратное уравнение, получим $x_{1} = 16$ и $x_{2} = 12$ .

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 16 см или 12 см.

При стороне основания 16 см, апофема равна

$l = S H = \sqrt{100^{2} - 8^{2}} = 6 с м$ .

При стороне основания 12 см, апофема равна

$l = S H = \sqrt{100^{2} - 6^{2}} = 8 с м$ .

Ответ: 16 см и 6 см или 12 см и 8 см.

Упражнение 1

1. В правильной четырёхугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а площадь полной поверхности равна $16 с м^{2}$ .

2. Найдите двугранные углы тетраэдра, все грани которого являются равносторонними треугольниками.

Контрольные вопросы

Какой многогранник называется пирамидой?
Какая пирамида называется правильной?
Что такое апофема?
Сформулируйте теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Ответы

Упражнение 1

$\sqrt{2} с м$ .
$a r c \cos \frac{1}{3}$ .