Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Пирамида. Правильная пирамида

Пирамида

Пирамида

План урока

  • Пирамида;
  • Правильная пирамида.

Цели урока

  • Знать, что такое пирамида, правильная пирамида;
  • Знать и уметь доказывать теорему о боковой поверхности правильной пирамиды;
  • Уметь вычислять площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Разминка

  • Что такое многогранник?
  • Какую геометрическую фигуру называют призмой?
  • Что такое перпендикуляр к плоскости?
  • Какой многоугольник называется правильным?

Пирамида

Рис. 1. Пирамида Рис. 1. Пирамида

Пусть многоугольник A1A2An лежит в плоскости α, а точка S не лежит в этой плоскости. Соединим отрезками точку S с вершинами многоугольника A1A2An. В результате мы получим многогранник, составленный из многоугольника A1A2An и n треугольников SA1A2SA2A3, …, SAnA1.

Такой многогранник называется пирамидой.


Определение 1

 

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды , точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды  и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.


Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Общей вершиной этих треугольников является вершина пирамида. Сторона каждого из этих треугольников, противолежащая вершине пирамиды, является стороной основания пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами.

 

Пирамиду с основанием A1A2...An и вершиной S обозначают SA1A2...An и называют n-угольной пирамидой.

Рис. 2. Треугольная пирамида Рис. 2. Треугольная пирамида

На рисунке 2 показана треугольная пирамида (тетраэдр), а на рисунке 3 – четырёхугольная пирамида и перпендикуляр SH, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания пирамиды. Этот перпендикуляр называется высотой пирамиды.


Рис. 3. Четырёхугольная пирамида (SH - высота) Рис. 3. Четырёхугольная пирамида (SH - высота)

Определение 2

 

Высотой пирамиды  называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.


Пример 1

 

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.


Решение

Рис. 4. К примеру 1 Рис. 4. К примеру 1

Пусть O – точка пересечения диагоналей основания пирамиды (рис. 4).

AB = 8 смBC = 6 см.

Так как по условию боковые рёбра равны, то треугольники SAC и SBD – равнобедренные. При этом основание пирамиды ABCD является прямоугольником. По свойству параллелограмма O – середина диагоналей AC и BD. Значит SO – медиана равнобедренных треугольников SAC и SBD, проведённая к их основаниям. Значит, является и высотой этих треугольников.

 

Таким образом, SOAC и SOBD. Отсюда следует, что отрезок SO – перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, т.е. SO – высота пирамиды.

 

AC=AB2+BC2=82+62=64+36=100=10 см

CO=AC2=102=5 см

SO=SC2-CO2=132-52=169-25=144=12 см.

 

Ответ: 12 см.


Пример 2

 

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60o. Найдите высоту пирамиды.


Решение

Рис. 5. К примеру 2 Рис. 5. К примеру 2

На рисунке 5 показана пирамида SABC в основании которой лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Проведём высоты боковых граней SH1SH2SH3 и высоту пирамиды SO. По условию задачи SH1O=SH2O=SH3O=60°SO – общий катет треугольников SOH1SOH2 и SOH3. Значит, по признаку равенства прямоугольных треугольников эти треугольники равны.

Из равенства треугольников следует, что OH1=OH2=OH3. При этом OH1OH2 и OH3 являются проекциями высот боковых граней на плоскость ABC. Значит, OH1ACOH2BC и OH3AB. Это означает, что O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

 

AB=AC2+BC2=62+82=36+64=100=10 см

SΔABC=AC·BC2=6·82=24 см2

p=AC+BC+AB2=6+8+102=12 см

OH1=r=SΔABCp=2412=2 см

 

Так как треугольник SOH1 – прямоугольный и SH1O=60°, то h=SO=OH1·tgSH1O=23 см.

 

Ответ: 23 см.


Правильная пирамида

 

Перейдём к описанию правильной пирамиды.


Определение 3

 

Пирамида называется правильной , если её основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника.


У правильной пирамиды боковые рёбра равны. Следовательно, боковые грани – равные равнобедренные треугольники.


Определение 4

 

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой .


Сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.


Теорема 1

 

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

 

Sб.п.=P·l2.


Доказательство

Рис. 6. К доказательству теоремы 1 Рис. 6. К доказательству теоремы 1

Пусть a – сторона основания правильной пирамиды;

n – число сторон основания (рис. 6). Тогда боковая поверхность пирамиды равна

 

Sбок=al2·n=anl2=Pl2

 

где l – апофема, P – периметр основания пирамиды. 

 

Теорема доказана.


Пример 3

 

Найдите сторону основания и апофему правильной треугольной пирамиды, если её боковое ребро равно 10 см, а боковая поверхность равна 144 см2.


Решение

Рис. 7. К примеру 3 Рис. 7. К примеру 3

Сторону основания правильной пирамиды SABC обозначим буквой x (рис. 7). Апофема SH делит сторону основания BC на отрезки BH и CH, равные x2. Выразим апофему через x.

 

l=SH=SB2-BH2=102-x22=400-x24=400-x22.

 

Выразим площадь боковой поверхности пирамиды

 

Sбок=P·l2=3·x2·400-x22=3·x·400-x24.

 

Учитывая, что по условию Sбок=144, получим уравнение

 

3·x·400-x24=144

x·400-x2=192

x2·400-x2=1922

x4-400x2+1922=0

 

Решив данное биквадратное уравнение, получим x1=16 и x2=12.

 

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 16 см или 12 см.

При стороне основания 16 см, апофема равна 

 

l=SH=1002-82=6 см.

 

При стороне основания 12 см, апофема равна 

 

l=SH=1002-62=8 см.

 

Ответ: 16 см и 6 см или 12 см и 8 см.


Упражнение 1

 

1. В правильной четырёхугольной пирамиде найдите сторону основания, если боковое ребро равно 5 см, а полная поверхность равна 16 см2.

2. Найдите двугранные углы тетраэдра все грани которого являются равносторонними треугольниками.


Контрольные вопросы

 

  1. Какой многогранник называется пирамидой?
  2. Какая пирамида называется правильной?
  3. Что такое апофема?
  4. Сформулируйте теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 2 см.
  2. arccos 13.

Предыдущий урок
Усечённая пирамида
Пирамида
  • Современное общество

    Обществознание

  • Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля — Ленца

    Физика

  • Международные отношения в 1930-е гг. Политика «умиротворения» агрессора. Восток в первой половине XX в.

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке