Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра

Пирамида

Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра

План урока

  • Тетраэдр;
  • Построение сечений тетраэдра.

Цели урока

  • Знать, что такое тетраэдр и как называются его элементы;
  • Знать, что понимают под сечением тетраэдра;
  • Уметь строить сечения тетраэдров.

Разминка

  • Какая фигура на плоскости называется многоугольником?
  • Что представляет собой множество всех общих точек двух различных непараллельных плоскостей?
  • Две параллельные плоскости пересечены третьей (секущей) плоскостью. Что можно сказать о взаимном расположении прямых по которым секущая плоскость пересекает данные параллельные плоскости?
  • Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?
  • Прямая a пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная прямой α?

Рис. 1. Тетраэдр Рис. 1. Тетраэдр

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку S, не лежащую в плоскости этого треугольника (рис. 1). Соединим точку S отрезками с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники SABSBCSCA. Пространственная фигура, состоящая из треугольников ABCSABSBCSCA называется тетраэдром и обозначается SABC.

Тетраэдр является разновидностью многогранников, которым будет посвящена одна из глав курса стереометрии.


Определение 1

 

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из треугольника, точки не лежащий в плоскости этого треугольника и трёх отрезков соединяющих данную точку с вершинами данного треугольника.


Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями тетраэдра.

Стороны этих треугольников называются рёбрами тетраэдра.

Вершины этих треугольников называются вершинами тетраэдра.


Определение 2

 

Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным .


Таким образом, тетраэдр SABC (как и любой другой тетраэдр) имеет четыре грани (ABCSABSBCSCA), шесть рёбер (ABBCACSASBSC) и четыре вершины (SABC). Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называют противоположными. На рисунке 1 парами противоположных рёбер являются SA и BCSB и ACSC и AB. Одну из граней можно рассматривать как основание тетраэдра. В этом случае остальные грани называют боковыми.


Упражнение 1

 

Изобразите треугольник MNK и точку E, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соедините отрезками точку E с вершинами треугольника MNK.

а) Запишите обозначение тетраэдра, изображённого на полученном рисунке, а также все грани, рёбра и вершины этого тетраэдра.

б) Запишите пары противоположных рёбер этого тетраэдра.


Построение сечений тетраэдра

 

При решении многих стереометрических задач, связанных с тетраэдром, важно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Разберём что называют сечением тетраэдра.


Определение 3

 

Секущая плоскость тетраэдра – это плоскость по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.


Секущая плоскость тетраэдра пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки представляет собой сечение тетраэдра.


Определение 4

 

Сечение тетраэдра —многоугольник, образованный пересечением плоскости с данным тетраэдром.


Тетраэдр имеет четыре грани, значит сечение тетраэдра не может иметь более четырёх сторон. Следовательно, сечением тетраэдра могут быть только треугольники и четырёхугольники.

Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра.


Рис. 2. К примеру 1 Рис. 2. К примеру 1

Пример 1

 

На рёбрах SASBSC тетраэдра SABC отмечены точки соответственно MN и K

Построить сечение тетраэдра плоскостью MNK


Рис. 3. Решение Рис. 3. Решение

Решение

 

На рисунке 2 изображён исходный тетраэдр.

При построении сечений первым делом соединяем точки, лежащие на одних плоскостях (гранях). В данном случае точки M и N лежат в плоскости ABS, поэтому их соединяем. Аналогично N и KM и K. Тогда плоскость MNK пересекает грани тетраэдра по отрезкам MNNK и MK. В совокупности плоскость представляет собой треугольник MNK, который и является сечением данного тетраэдра. 


Пример 2

 

На рёбрах ABSASC тетраэдра SABC отмечены точки соответственно MN и K. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNK.


Рис. 4. К примеру 2 Рис. 4. К примеру 2

Решение

 

Построим прямую, по которой плоскость MNK пересекает плоскость грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Чтобы построить ещё одну общую точку, продолжим отрезки KN и AC до их пересечения в точке E (рис. 4, б), которая и является второй общей точкой плоскостей MNK и ABC. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро BC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNKQ – искомое сечение.

 

Если точки N и K расположены таким образом, что прямые NK и AC параллельны, то прямая NK параллельна грани ABC и, следовательно, плоскость MNK пересекает грань ABC по некоторой прямой MF, параллельной NK. Вторая общая точка плоскостей ABC и MNK (точка Q) находится на пересечении MF и BC (рис. 4, в).


Пример 3

 

Точка M лежит на боковой грани ABS тетраэдра SABC (рис. 5, а).

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.


Рис. 5. К примеру 3 Рис. 5. К примеру 3

Решение

 

Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым ABBC и CA. Значит, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB и обозначим буквами X и Y точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами SA и SB (рис. 5. б). Теперь через точку X проведём прямую, параллельную отрезку AC. Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром SC буквой Z. Проведем отрезок YZ.

Треугольник XYZ является искомым сечением.


Упражнение 2

 

1. Может ли сечением тетраэдра быть:

а) треугольник; 

б) четырёхугольник; 

в) пятиугольник.

 

2. В тетраэдре SABC точки MNK – середины рёбер SASBSC соответственно. Найдите площадь сечения тетраэдра SABC плоскостью MNK, если площадь треугольника ABC равна 80 см2

3. Изобразите тетраэдр SABC и отметьте точку M на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и SB.


Контрольные вопросы

 

  1. Какая геометрическая фигура называется тетраэдром?
  2. Что представляет собой сечение тетраэдра?
  3. Какие геометрические фигуры могут являться сечением тетраэдра?


Ответы

Упражнение 1 

 

1.(рис. 6)

а) EMNK; грани – EMKEKNEMNMNK; ребра – MKKNMNEMEKEN; вершины – EMNK.

б) MK и EN, MN и EK, KN и EM.

Рис. 6. К упражнению 1 Рис. 6. К упражнению 1

Упражнение 2

 

1.а) да; б) да; в) нет

2. 20 см2

3. Через точку M проведём прямую a, параллельную AC;

обозначим точку пересечения прямых a и BC буквой X;

через точку M проведём прямую b, параллельную SB;

обозначим точку пересечения прямых b и SA буквой Y;

через точку Y проведём прямую c, параллельную AC;

обозначим точку пересечения прямых c и SC буквой Z;

Четырёхугольник MYZX – искомое сечение.

Рис. 7. К упражнению 2 Рис. 7. К упражнению 2

Предыдущий урок
Усечённая пирамида
Пирамида
Следующий урок
Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом
Общие сведения из стереометрии
  • Уравнение tg x = a

    Алгебра

  • Алкадиены. Каучуки

    Химия

  • Усечённая пирамида

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке