Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Прямоугольный параллелепипед

Призма

29.03.2024
2342
0

Прямоугольный параллелепипед

План урока

  • Прямоугольный параллелепипед

Цели урока

  • Знать свойства прямоугольного параллелепипеда
  • Уметь вычислять диагональ прямоугольного параллелепипеда по его измерениям

Разминка

  • Что такое параллелепипед?
  • Какие плоскости называются перпендикулярными?
  • Как вычислить диагональ прямоугольника по его измерениям?

Прямоугольный параллелепипед

Рис. 1.

В жизни мы часто сталкиваемся с предметами, имеющими форму прямоугольного параллелепипеда. Наглядными примерами таких предметов являются кирпич, коробка, холодильник, системный блок компьютера и т. д.


Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.


Рис. 2. Прямоугольный параллелепипед

Основаниями прямоугольного параллелепипеда A1B1C1D1A2B2C2D2 на рисунке 2 служат прямоугольники A1B1C1D1 и A2B2C2D2. Согласно определению, боковые рёбра A1A2B1B2C1C2D1D2 перпендикулярны к основаниям. Из этого следует, что боковые грани являются прямоугольниками. Таким образом, прямоугольный параллелепипед обладает следующими свойствами:


Свойства прямоугольного параллелепипеда

 

  1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники .
  2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые .


Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения. Часто эти измерения называют «длина», «ширина» и «высота». Например, на рисунке 2 в качестве измерений можно взять ребра A1A2A1B1A1D1.


Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом .

Все грани куба – равные квадраты .


Сформулируем и докажем свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.


Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда

 

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.


Доказательство

 

Рис. 3. К доказательству теоремы 1

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед A1B1C1D1A2B2C2D2 (рис. 3) и докажем, что

 

A1C22=A1B12+A1D12+

+A1A22

 

Так как ребро C1C2 перпендикулярно к основанию A1B1C1D1, то угол A1C1C2 прямой.

Из прямоугольного треугольника A1C1C2 по теореме Пифагора получаем

 

A1C22=A1C12+C1C22.

 

A1C1 – диагональ прямоугольника A1B1C1D1. Значит, 

 

A1C12=A1B12+A1D12.

 

При этом C1C2=A1A2. Следовательно, 

 

A1C22=A1B12+A1D12+A1A22.

 

 

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.


Пример 1

 

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его измерения относятся как 2:3:6, а диагональ параллелепипеда равна 28 см. 


Решение

 

Измерения прямоугольного параллелепипеда A1B1C1D1A2B2C2D2 (рис. 3) относятся как 2:3:6, тогда можно принять, что

 

A1B1=2xA1D1=3xA1A2=6x.

 

Так как A1C22=A1B12+A1D12+A1A22, то получим уравнение

 

 4x2+9x2+36x2=282,

49x2=282,

x2=28249,

x2=16,

x=4.

 

A1B1=8 смA1D1=12 смA1A2=24 см.

 

Ответ: 8 см, 12 см, 24 см.


Пример 2

 

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а диагональ одной из его граней – 8 см. Найдите длину ребра, перпендикулярного к данной грани. 


Решение

 

По условию задачи A1C2=10 см.

Пусть диагональ грани A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда A1B1C1D1A2B2C2D2 равна 8 см. Значит, A1C1=8 см. В таком случае требуется найти ребро С1С2 (рис. 3). Треугольник C1C2A1 – прямоугольный с прямым углом C1. По теореме Пифагора:

 

C1C22=A1C22-A1C12=102-82=100-64=36,

 C1C2=6 см.

 

Ответ: 6 см.


Пример 3

 

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда A1B1C1D1A2B2C2D2, если A1C2=24 см и диагональ B1D2 составляет с плоскостью грани A1A2D2D1 угол в 30o, а с ребром D1D2 – угол в 45o


Решение

 

Рис. 4.

Так как диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, то B1D2= A1C2=24 см.

В прямоугольном треугольнике B1D1D2 D1D2B1=45°D1B1D2=45°.

 

Следовательно, прямоугольный треугольник D1D2B1 является равнобедренным, в котором B1D1=D1D2 и B1D2=24 см.

Обозначим B1D1=D1D2 за x.

По теореме Пифагора:

 

x2+x2=242,

2x2=576,

x2=288,

x=122.

 

Таким образом, B1D1=D1D2=122 см.

Отрезок A1D2 является проекцией диагонали B1D2 на плоскость грани A1A2D2D1.

Значит, углом между диагональю B1D2 и гранью A1A2D2D1 является угол A1D2B1, т.е. A1D2B1=30°.

 

Треугольник A1D2B1 – прямоугольный с прямым углом A1. Гипотенуза B1D2 этого треугольника равна 24 см.

Следовательно, катет A1B1, лежащий против угла A1D2B1, равного 30o, равен 12 см.

В прямоугольном треугольнике A1B1D1 известна гипотенуза B1D1=122 см и катет A1B1=12 см.

Тогда A1D1=B1D12-A1B12=288-144=144=12 см.

 

Таким образом A1B1=A1D1=12 смD1D2=122 см.

 

Ответ:  12 см12 см122 см.


Упражнение 1

 

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 16 см, 18 см и 24 см.

2. Ребро куба равно 2 м. Найдите его диагональ.

3. Найдите косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.


Контрольные вопросы

 

  1. Какой параллелепипед называется прямоугольным?
  2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного параллелепипеда.
  3. Сформулируйте теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
  4. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.
  5. Какую фигуру называют кубом?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 34 см.
  2. 23 м.
  3. 23.

Предыдущий урок
Параллелепипед. Построение сечений параллелепипеда
Призма
Следующий урок
Понятие многогранника. Призма
Призма
Поделиться:
  • Решение задач о движении тела под действием нескольких сил

    Физика

  • Природный газ

    Химия

  • Электрический ток в полупроводниках. P-n переход. Полупроводниковый диод

    Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке