Конспект урока: Законы сохранения в механике. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса

Система тел. Импульс системы тел

Пусть необходимо выяснить, как будут двигаться два бильярдных шара после столкновения. Силы, с которыми шары подействовали друг на друга в момент удара, неизвестны. Несмотря на это, движение данных тел можно описать, используя понятие импульса.

Рис. 1. Система, состоящая из двух тел

 

Прежде всего, рассматриваемые тела следует объединить в систему тел. При объединении нескольких тел в систему все силы, приложенные к телам, разделяются на внутренние и внешние.

Например, на рисунке 1 изображены два бильярдных шара перед столкновением. В момент удара шар массой m₁ подействует на шар массой m₂ с силой ${\overrightarrow{F}}_{12}$, шар массой m₂, в свою очередь, подействует на шар массой m₁ с силой ${\overrightarrow{F}}_{21}$. Силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$являются внутренними. В то же время на тела будут действовать силы тяжести $m_1·\overrightarrow{g}$и $m_2·\overrightarrow{g}$, силы реакции опоры ${\overrightarrow{N}}_1$ и ${\overrightarrow{N}}_2$, а также силы трения ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}1}$ и ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}2}$ о поверхность — это внешние силы, так как поверхность стола и Земля не входят в выбранную систему тел.

Внешние силы обозначают индексом «ex». Пусть сумма всех внешних сил, действующих на шар массой m₁, равна ${\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}$, на шар массой m₂ — ${\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}$ (рис. 2).

Рис. 2. Внешние и внутренние силы, действующие на систему тел

Тогда на первый шар действуют силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}$, на второй шар — силы ${\overrightarrow{F}}_{21}$ и ${\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}$.

В соответствии с введёнными обозначениями изменения импульсов шаров за время Δt равны

$∆{\overrightarrow{p}}_1=\left({\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}\right)·∆t$;

$∆{\overrightarrow{p}}_2=\left({\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.

В нашем случае в систему входят только два тела, следовательно, суммарный импульс системы равен:

$\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2$.
 

Изменение импульса системы тел равно сумме изменений импульсов каждого тела, входящего в систему:

$∆\overrightarrow{p}=∆{\overrightarrow{p}}_1+∆{\overrightarrow{p}}_2$.
 

Подставим в формулу выше выражения:
 

$∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.
 

Так как силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$, с которыми взаимодействуют между собой бильярдные шары, по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма будет равна нулю ${\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{21}=0$. Тогда выражение выше принимает следующий вид:
 

$∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.

Закон сохранения импульса

Если сумма внешних сил равна нулю ${\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}=0$, изменение импульса данной системы также равно нулю $∆\overrightarrow{p}$.
 

Данное утверждение называется законом сохранения импульса.

При решении задач удобно использовать следующую формулировку закона сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то начальный импульс $\overrightarrow{p}$системы равен конечному импульсу $\overrightarrow{p}\text{'}$ данной системы:
 

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}\text{'}$.
 

Для системы из n тел закон сохранения импульса будет иметь следующий вид:
 

${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_1+\overrightarrow{p}{\text{'}}_2+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}}$.
 

При решении задач выражение выше записывают в проекциях на координатные оси:

${\overrightarrow{p}}_{1x}+{\overrightarrow{p}}_{2x}+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}x}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_{1x}+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{2x}+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}x}$;
${\overrightarrow{p}}_{1y}+{\overrightarrow{p}}_{2y}+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}y}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_{1y}+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{2y}+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}y}$.
 

В некоторых случаях сохраняется проекция импульса системы тел на одну из координатных осей, а проекция на другую ось изменяется.

Запишем уравнение в проекциях на координатные оси:
 

$∆p_x=\left(F_{1{\mathrm{ex}}_x}+F_{2{\mathrm{ex}}_x}\right)·∆t$.
 

В случае, если $F_{1{\mathrm{ex}}_x}+F_{2{\mathrm{ex}}_x}=0$, проекция изменения импульса системы также равна нулю $∆p_x=0$. При этом проекция изменения импульса системы на ось ординат, а значит, и вектор $∆\overrightarrow{p}$ могут оказаться отличными от нуля.

Рис. 3. Схема устройства ракеты

Закон сохранения импульса позволяет объяснить принцип реактивного движения. На рисунке 3 представлена схема устройства ракеты. Топливо и окислитель, необходимый для процесса горения, поступают в камеру сгорания, где быстро сгорают и выбрасываются из сопла с огромной скоростью.

 

Таким образом, ракета в процессе движения в космическом пространстве отбрасывает от себя часть своего вещества в виде сгоревшего топлива. Сумма внешних сил равна нулю, следовательно, суммарный импульс системы тел «ракета – отброшенное сгоревшее топливо» остаётся постоянным. В соответствии с законом сохранения импульса, увеличение импульса ракеты по модулю равно модулю импульса отброшенного топлива. Чем быстрее сбрасывается сгоревшее топливо и чем больше его масса, тем больше изменение импульса ракеты.

Алгоритм решения задач на применение закона сохранения импульса:

1. Определить, из каких тел состоит система. Выбрать инерциальную систему отсчёта и направить координатные оси. Сделать чертёж с указанием направлений движения тел, входящих в систему, до их взаимодействия и после.
 

2. Записать закон сохранения импульса в векторном виде.

3. Записать закон сохранения импульса в проекциях на координатные оси.
 

При решении задач необходимо знать понятие абсолютно неупругого удара.

Пример решения задачи

Решение
 

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

1. Система состоит из двух тел: пули массой m₁ = 0,02 кг и мешка массой m₂ = 10 кг. Свяжем систему отсчёта с Землёй, ось ОХ направим в сторону движения мешка после попадания в него пули (рис. 4). Сделаем два чертежа: на первом изобразим движение тел до взаимодействия, на втором — после. Начальные скорости тел обозначим как ${\overrightarrow{v}}_1$ и ${\overrightarrow{v}}_2$, скорости после столкновения $\overrightarrow{v}{\text{'}}_1$ и $\overrightarrow{v}{\text{'}}_2$.

2. Запишем закон сохранения импульса в общем виде в векторной форме:

$m_1·{\overrightarrow{v}}_1+m_2·{\overrightarrow{v}}_2=m_1·\overrightarrow{v}{\text{'}}_1+m_2·\overrightarrow{v}{\text{'}}_2$.

 

Импульс мешка до попадания в него пули был равен нулю:
 

$m_2·{\overrightarrow{v}}_2=0$.
 

Тогда справедлива следующая запись:

 

$m_1·{\overrightarrow{v}}_1=m_1·\overrightarrow{v}{\text{'}}_1+m_2·\overrightarrow{v}{\text{'}}_2$.

 

3. Запишем закон сохранения импульса в проекциях на координатные оси:

$\mathrm{OX}: m_1·v_1·\cos \left(\alpha \right)=m_1·v{\text{'}}_{1x}+m_2·v{\text{'}}_{2x}$;

$\mathrm{OY}: -m_1·v_1·\sin \left(\alpha \right)=0$.

 

Заметим, что по условию задачи после взаимодействия тела движутся вместе как единое целое, следовательно, их скорости будут равны $\overrightarrow{v}{\text{'}}_1=\overrightarrow{v}{\text{'}}_2$, поэтому справедлива будет следующая запись:
 

$v{\text{'}}_1=v{\text{'}}_2=v$.
 

Искомую скорость $v$ можно найти через её проекции на координатные оси:

$v=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.
 

Учтём, что проекция скорости $v$ на ось ординат равна нулю, тогда, согласно выражению выше, конечная скорость равна её проекции на ось ОХ:

$v=v_x=v{\text{'}}_{1x}=v{\text{'}}_{2x}$.
 

Запишем уравнение $m_1·v_1·\cos \left(\alpha \right)=m_1·v{\text{'}}_{1x}+m_2·v{\text{'}}_{2x}$ с учётом соотношения выше:
 

$m_1·v_1·\cos \left(\alpha \right)=m_1·v+m_2·v$.
 

Из этого соотношения выражаем искомую скорость:
 

$v=\frac{m_1·v_1·\cos \left(\alpha \right)}{m_1+m_2}=\frac{0,02·800·\cos (60°)}{0,02+10}\approx 0,8 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

 

Ответ: $v=0,8 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Итоги

• Закон изменения импульса системы тел: изменение импульса системы тел $∆\overrightarrow{p}$ в инерциальной системе отсчёта равно произведению постоянной суммы всех внешних сил на время их действия: $∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.
• Закон сохранения импульса: если сумма всех внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю, то импульс системы тел в инерциальной системе отсчёта остаётся постоянным с течением времени: ${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_1+\overrightarrow{p}{\text{'}}_2+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}}$.
• Реактивное движение — это движение тела, возникающее за счёт отталкивания от этого тела его вещества.