Конспект урока: Законы сохранения в механике. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса

Импульс тела. Импульс силы. Изменение импульса

Любое тело, обладающее массой и скоростью, имеет импульс $\overrightarrow{p}$, который рассчитывается по следующей формуле:
 

$\overrightarrow{p}=m·\overrightarrow{v}$,
 

где m [кг] — масса тела;
$v$ [м/с] — скорость тела;
p [кг ∙ м/с] — импульс тела.

Импульс — векторная физическая величина, направление вектора $\overrightarrow{p}$ совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow{v}$.

В СИ единицей измерения импульса тела является килограмм-метр в секунду (кг ∙ м/с).

Понятно, что изменение импульса материальной точки $∆p$ напрямую связано с изменением скорости $∆v$, следовательно, и с ускорением тела $a$.

По определению ускорение находится по следующей формуле:

$a=\frac{v-v_0}{∆t}$.

Согласно второму закону Ньютона ускорение тела есть отношение силы, действующей на тело, к массе этого тела:

$a=\frac{F}{m}$.

Объединим формулы и выразим силу F:

$F=m·a=m·\frac{v-v_0}{∆t}=\frac{m·v-m·v_0}{∆t}=\frac{p-p_0}{∆t}=\frac{∆p}{∆t}$.

Таким образом, изменение импульса равно:
 

$∆p=F·∆t$.

или в векторной форме 

$∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$.
 

Данное выражение называется законом изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта или вторым законом Ньютона в импульсной форме.

В СИ единицей измерения импульса силы является ньютон-секунда (Н ∙ с).

Формула $∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$ предполагает, что сумма всех сил F в течение времени Δt не изменяется. Суммарное изменение импульса тела рассчитывается как сумма всех импульсов сил за рассматриваемые промежутки времени.

В случае, если сумма всех сил $\overrightarrow{F}$, действующих на тело, изменяется с течением времени, промежуток времени Δt разбивают на такое количество достаточно малых промежутков, чтобы значение силы F можно было считать постоянным. Для каждого такого промежутка времени рассчитывается изменение импульса. Полученные изменения импульсов материальной точки суммируются.

Пусть известен график зависимости модуля суммы сил, действующих на материальную точку, от времени (рис. 1).

Рис. 1. График зависимости модуля изменяющейся с течением времени суммы сил от времени

Разобьём весь промежуток времени на достаточно малые отрезки, такие, чтобы модуль F на каждом из них можно было считать постоянным. Тогда модуль изменения импульса материальной точки на каждом таком промежутке равен площади прямоугольника со сторонами F(t) и Δt. Модуль суммарного изменения импульса равен сумме площадей полученных прямоугольников. Сумма площадей приближённо равно площади под графиком функции F(t). Таким образом, модуль изменения импульса материальной точки в этом случае численно равен пощади под графиком F(t).

Приведём ещё один пример. 

Рис. 2. График зависимости силы, приложенной к телу, от времени воздействия

Пусть скорость точечного тела массой m увеличивается от нуля до некоторого значения под действием некоторой силы F. Модуль силы возрастает прямо пропорционально времени: $F=k·t$, где k — постоянный коэффициент. График F(t) показан на рисунке 2. Найдём скорость автомобиля в момент времени t₁, для этого необходимо вычислить площадь под графиком функции F(t) на данном промежутке времени, равную модулю изменения импульса:

$∆p=\frac{k·t_1^2}{2}$.

Начальная скорость тела равна нулю, тогда модуль изменения импульса можно найти по следующей формуле:
 

$∆p=m·v-m·v_0=m·v-0=\frac{k·t_1^2}{2}$.
 

Выразим из уравнения выше искомую скорость:
 

$v=\frac{k·t_1^2}{2m}$.

Итоги

• Импульс тела — это векторная физическая величина, равная произведению массы на скорость: $\overrightarrow{p}=m·\overrightarrow{v}$.
• Закон изменения импульса материальной точки : в инерциальной системе отсчёта изменение импульса $∆p$ материальной точки за промежуток времени $∆t$ равно произведению суммы всех сил $F$, действующих на тело, на данный промежуток времени: $∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$.
• Произведение $\overrightarrow{F}·∆t$ представляет собой импульс суммы всех сил, действующих на материальную точку, и называется импульсом силы .
• Модуль изменения импульса материальной точки численно равен площади под графиком $F\left(t\right)$.