Конспект урока: Кинетическая энергия. Потенциальная энергия

Потенциальные силы

Из предыдущего параграфа мы узнали, как связаны работа силы и кинетическая энергия тела. Оказывается, тело, поднятое над поверхностью Земли на некоторую высоту, тоже может совершать работу. Известно, что между Землёй и любым телом на поверхности планеты существуют силы взаимного притяжения, благодаря этому при изменении взаимного расположения взаимодействующих тел эти силы могут совершать работу.
 

Рассмотрим пример. Пусть тело массой $m$, которое можно принять за материальную точку, движется из точки А в точку В по криволинейной траектории (рис. 1).

Рис. 1. Расчёт работы силы тяжести при перемещении тела по криволинейной траектории

 

В начальный момент времени тело находится на высоте $h_0$, в конце рассматриваемого промежутка времени — на высоте $h$. Найдём работу силы тяжести при перемещении материальной точки из точки А в точку В.

Угол между вектором перемещения и вектором силы тяжести постоянно меняется, поэтому, чтобы найти работу силы тяжести, в данном случае необходимо разбить траекторию движения на достаточно малые промежутки, такие, что движение на них можно будет считать прямолинейным.

Рис. 2. Вычисление работы за достаточно малый промежуток времени

Рассчитаем элементарную работу $A_1$ на одном из таких участков. Пусть материальная точка прямолинейно перемещается из точки 0 в точку 1 (рис. 2). Обозначим вектор перемещения $∆{\overrightarrow{r}}_{01}$. Угол между вектором перемещения и силой тяжести равен $\alpha$. Тогда работа силы тяжести на рассматриваемом участке вычисляется по формуле
 

$A_1=m·g·∆r_{01}·\cos \left(\alpha \right)$.
 

Заметим, что произведение $∆r_{01}·\cos \left(\alpha \right)$ соответствует разности $h_0-h_1$. Тогда элементарная работа на рассматриваемом участке равна:
 

$A_1=m·g·\left(h_0-h_1\right)$.

Работа силы тяжести по перемещению тела из точки А в точку В будет равна сумме элементарных работ на достаточно малых участках траектории:

$A=A_1+A_2+...+A_n=m·g·\left(h_0-h_1\right)+m·g·\left(h_1-h_2\right)+m·g·\left(h_2-h_3\right)+...+m·g·\left(h_n-h\right)$.

Если раскрыть скобки и привести подобные, работа силы тяжести окажется равна

$A=m·g·\left(h_0-h\right)$.

Из приведённого определения следует, что работа потенциальной силы по замкнутой траектории равна нулю.

Вам уже известно, что пружина, растянутая (или сжатая) на величину $∆l$, способна совершить работу
 

$A=\frac{k·∆l^2}{2}$.
 

Тогда при растяжении (или сжатии) пружины от $∆l_1$ до $∆l_2$ сила упругости совершает работу
 

$A=\frac{k·∆l_1^2}{2}-\frac{k·∆l_2^2}{2}$.
 

Выражение выше показывает, что работа силы упругости также зависит только от начального и конечного состояния системы. Таким образом, силы упругости являются потенциальными.

Потенциальная энергия

Результатом работы, которую совершают потенциальные силы, является изменение потенциальной энергии системы взаимодействующих тел.

В СИ единицей измерения потенциальной энергии является джоуль (Дж).

Рассмотрим систему тел «Земля – материальная точка массой 𝑚». На поверхности Земли, где $h$ = 0, принято, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю $E_{\mathrm{пот}}$ = 0. Тогда при падении тела с высоты $h$ на Землю силой тяжести будет совершена работа $A=m·g·(h-0)=m·g·h$. Тогда в соответствии с определением потенциальная энергия материальной точки на высоте $h$ равна

$E_{\mathrm{пот}}=A=m·g·h$.

Из соотношений $A=m·g·\left(h_0-h\right)$ и $E_{\mathrm{пот}}=A=m·g·h$ можно сделать вывод, что работа силы тяжести при перемещении материальной точки массой $m$ по произвольной траектории из точки, находящейся на высоте $h_0$, в точку, находящуюся на высоте $h$, равна разности начальной и конечной потенциальных энергий точки:

$A=m·g·\left(h_0-h\right)=m·g·h_0-m·g·h=E_{\mathrm{пот}0}-E_{\mathrm{пот}}$.

Заметим, что, согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа равна разности конечной и начальной кинетической энергии: 

$A=E_{\mathrm{кин}}-E_{\mathrm{кин}0}=∆E_{\mathrm{кин}}$.
 

В случае изменения потенциальной энергии работа равна разности начальной и конечной потенциальной энергии тела:
 

$A=E_{\mathrm{пот}0}-E_{\mathrm{пот}}$ или $A=-(E_{\mathrm{пот}}-E_{\mathrm{пот}0})=-∆E_{\mathrm{пот}}$.

Итоги

• Если работа силы не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положением материальной точки, такую силу называют потенциальной.
• К потенциальным силам относятся сила тяжести и сила упругости.
• Потенциальная энергия системы тел $E_{\mathrm{пот}}$  — это физическая величина, равная работе, которую совершают потенциальные силы взаимодействия её тел при переходе системы из данного состояния в состояние, потенциальная энергия которого равна нулю.
• Потенциальная энергия материальной точки в поле тяжести Земли вычисляется по формуле $E_{\mathrm{пот}}=m·g·h$.
• Работа внутренних сил системы равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус «−»: $A=E_{\mathrm{пот}0}-E_{\mathrm{пот}}=-∆E_{\mathrm{пот}}$.