Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии

План урока

Основные формулы
Примеры решения задач

Цели урока

знать основные формулы для законов сохранения импульса и механической энергии
уметь применять закон сохранения импульса
уметь применять закон сохранения энергии

Разминка

Какие тела обладают кинетической энергией?
Что называют импульсом тела?
Какие удары называются упругими, а какие абсолютно неупругими?

Основные формулы

Перечислим основные формулы и законы, которые нам понадобятся для решения задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии.

Импульс тела:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$ .

Закон сохранения импульса при абсолютно упругом ударе двух тел:

$m_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{v}}_{2} = m_{1} \cdot {\vec{u}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{u}}_{2}$ .

Закон сохранения импульса при неупругом ударе двух тел:

$m_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{v}}_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot \vec{u}$ .

Кинетическая энергия тела, двигающегося со скоростью $v$ :

$E_{к} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту $h$ :

$E_{п} = m \cdot g \cdot h$ .

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины, растянутой или сжатой на расстояние $∆ x$ от положения равновесия:

$E_{п} = \frac{k \cdot ∆ x^{2}}{2}$ .

Закон изменения полной механической энергии системы тел:

$A = ∆ E_{мех} = E_{мех}^{кон} - E_{мех}^{нач}$ ,

где $A = A_{т р} + A_{е х}$ — сумма работ внутренних сил трения $A_{т р}$ и внешних сил $A_{е х}$ над телами системы; $E_{мех}^{кон}$ и $E_{мех}^{нач}$ — конечная и начальная механические энергии системы тел соответственно.

В случае когда суммарная работа внутренних сил трения $A_{т р}$ и внешних сил $A_{е х}$ над телами системы равна нулю, механическая энергия сохраняется:

$E_{мех} = E_{1 п} + E_{1 к} = E_{2 п}^{} + E_{2 к}^{}$ ;

$m \cdot g \cdot h_{1} + \frac{m \cdot v_{1}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot v_{2}^{2}}{2}$ .

Примеры решения задач

Пример 1

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули $m_{1}$ = 8 г, масса шара $m_{2}$ = 0,9 кг. Скорость пули $v$ = 400 м/с. При каком предельном расстоянии $l$ от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?

Решение

1. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} m_{1} = 8 г = 8 \cdot 10^{- 3} кг \\ m_{2} = 0, 9 кг \\ v = 400 \frac{м}{с} \\ l - ? \end{cases}$ .

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

2. Примем рассматриваемые тела за материальные точки, а инерциальную систему отсчёта свяжем с Землёй. Рассмотрим, как будет происходить физический процесс (см. рис. 1). Пуля летит, попадает в шар, происходит неупругий удар. Теперь приходит в движение система «шар + пуля», траектория движения которой представляет собой дугу окружности.

3. Зададимся вопросом, какие физические законы следует применить для решения задачи. Чтобы понять, с какой скоростью начнёт двигаться система «шар + пуля» сразу после столкновения, применим закон сохранения импульса для неупругого удара:

$m_{1} \cdot \vec{v} = (m_{1} + m_{2}) \cdot \vec{u}$ .

Направим ось OX горизонтально вправо и спроецируем скорости:

$m_{1} \cdot v = (m_{1} + m_{2}) \cdot u$ .

Выразим скорость системы «шар + пуля»:

$u = \frac{m_{1} \cdot v}{m_{1} + m_{2}}$ .

4. В результате столкновения пули с шаром система приобретает кинетическую энергию, которая в наивысшей точке движения перейдёт полностью в потенциальную. На рисунке отмечен нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда в наивысшей точке система «шар + пуля» будет иметь потенциальную энергию

$E_{п} = (m_{1} + m_{2}) \cdot g \cdot 2 l = 2 \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot g \cdot l$ .

Воспользуемся законом сохранения энергии для системы «шар + пуля»:

$\frac{(m_{1} + m_{2}) \cdot u^{2}}{2} = 2 \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot g \cdot l$ .

Подставим формулу в выражение выше и выразим оттуда $l$ :

$\frac{(m_{1} + m_{2})}{2} \cdot {(\frac{m_{1} \cdot v}{m_{1} + m_{2}})}^{2} = 2 \cdot (m_{1} + m_{2}) \cdot g \cdot l$ ;

$l = \frac{m_{1}^{2} \cdot v^{2}}{4 g \cdot {(m_{1} + m_{2})}^{2}}$

5. Найдём численное значение:

$l = \frac{{(8 \cdot 10^{- 3})}^{2} \cdot 400^{2}}{4 \cdot 10 \cdot {(8 \cdot 10^{- 3} + 0, 9)}^{2}} = 0, 31 м$ .

Ответ: $l = 0, 31 м$ .

Пример 2

Разберём качественную задачу, решение которой будет полезно при решении задач на законы сохранения. Два шара массами $m_{1}$ , $m_{2}$ двигаются навстречу друг другу со скоростями $v_{1}$ , $v_{2}$ в горизонтальном направлении. Определить скорости шаров в результате центрального абсолютно упругого удара.

Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

1. Первым делом разберёмся с терминологией. Абсолютно упругий удар — это такой удар, в результате которого механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, то есть энергия сохраняется. А центральный удар — это удар, при котором тела двигаются вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел. Рассмотрим случай, в котором шары после удара разлетелись в противоположные стороны.

2. Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему. Тогда для центрального абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса (ЗСИ) и закон сохранения энергии (ЗСЭ).

Начнём с ЗСИ:

$m_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{v}}_{2} = m_{1} \cdot {\vec{u}}_{1} + m_{2} \cdot {\vec{u}}_{2}$ .

Спроецируем скорости на ось ОХ:

$OX : m_{1} \cdot v_{1} - m_{2} \cdot v_{2} = - m_{1} \cdot u_{1} + m_{2} \cdot u_{2}$ .

Запишем ЗСЭ:

$\frac{m_{1} \cdot v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot u_{2}^{2}}{2}$ .

3. Наша задача — решить систему уравнений относительно величин $u_{1}$ и $u_{2}$ .

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot v_{1} - m_{2} \cdot v_{2} = - m_{1} \cdot u_{1} + m_{2} \cdot u_{2} \\ \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{2}}{2} = \frac{m_{1} \cdot u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot u_{2}^{2}}{2} \end{cases}$ .

Преобразуем систему:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot (v_{1} + u_{1}) = m_{2} \cdot (v_{2} + u_{2}) \\ m_{1} \cdot (v_{1}^{2} - u_{1}^{2}) = m_{2} \cdot (u_{2}^{2} - v_{2}^{2}) \end{cases}$ ,

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot (v_{1} + u_{1}) = m_{2} \cdot (v_{2} + u_{2}) \\ m_{1} \cdot (v_{1} + u_{1}) \cdot (v_{1} - u_{1}) = m_{2} \cdot (v_{2} + u_{2}) \cdot (u_{2} - v_{2}) \end{cases}$ .

Поделим второе уравнение системы на первое:

$v_{1} - u_{1} = u_{2} - v_{2} \to u_{1} = v_{1} - u_{2} + v_{2}$ .

Теперь рассмотрим новую систему, которая легко решается:

$\{\begin{cases} m_{1} \cdot (v_{1} + u_{1}) = m_{2} \cdot (v_{2} + u_{2}) \\ u_{1} = v_{1} - u_{2} + v_{2} \end{cases}$ .

4. После небольших преобразований получаем выражения для скоростей:

$\{\begin{cases} u_{1} = \frac{v_{1} \cdot (m_{2} - m_{1}) + 2 m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ u_{2} = \frac{v_{2} \cdot (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{1} \cdot v_{1}}{m_{1} + m_{2}} \end{cases}$ .

5. Из анализов конечного результата можно заметить, что если массы шаров одинаковы, то тела просто обмениваются скоростями:

$u_{1} = v_{2}$ ;

$u_{2} = v_{1}$ .

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

6. Возможна ситуация, когда шары после удара двигаются в одном направлении.

Решение такой задачи аналогично предыдущей, но с учётом новых проекций скоростей.

$\{\begin{cases} u_{1} = \frac{v_{1} \cdot (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ u_{2} = \frac{v_{2} \cdot (m_{1} - m_{2}) + 2 m_{1} \cdot v_{1}}{m_{1} + m_{2}} \end{cases}$

При абсолютно неупругом ударе закон сохранения импульса выполняется, а закон сохранения энергии — нет. Энергия может выделиться в виде теплоты или пойти на изменение внутренней энергии тел.

В случае абсолютно упругого удара выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии.

Пример 3

На столе лежит невесомая пружина жёсткостью 1 кН/м, прикреплённая одним концом к грузу массой 0,2 кг, а другим к стене. Груз сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. Найдите длину, на которую сжали пружину, если после отпускания груза его скорость достигла величины 3 м/с. Трением пренебречь.

Решение

1. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} m = 0, 2 кг \\ k = 1 \frac{кН}{м} = 10^{3} \frac{Н}{м} \\ v = 3 \frac{м}{с} \\ ∆ x - ? \end{cases}$ .

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

2. Как только мы сожмём пружину, так сразу же в ней возникнет сила упругости, которая захочет вернуть пружину в исходное положение. По условию трением следует пренебречь, тогда система начнёт совершать гармонические колебания, во время которых энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую. Момент, когда пружина сжата, изображён на рисунке 4.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Как только мы отпустим груз, так сразу пружина придёт в движение, и проходя положение равновесия, груз достигнет максимальной скорости (рис. 5).

3. Сила тяжести и сила реакции опоры направлены перпендикулярно направлению движения. Рассмотрим замкнутую систему «груз + пружина», для которой в отсутствие сил трения будет выполняться закон сохранения энергия:

$\frac{k \cdot ∆ x^{2}}{2} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Выразим отсюда $∆ x$ :

$∆ x = \sqrt{\frac{m \cdot v^{2}}{k}} = \sqrt{\frac{0, 2 \cdot 9}{10^{3}}} = 0, 04 м = 4 см$ .

Ответ: $∆ x = 4 см$ .

Упражнение 1

1. Груз массой 0,4 кг падает с некоторой высоты на подложку массой 2 кг, закреплённую на пружине. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент удара скорость груза равнялась 8 м/с. Жёсткость пружины $k$ = 1 кН/м.

2. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 800 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра 2 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 7°.

Контрольные вопросы

1. Как выглядит закон сохранения импульса при неупругом ударе?
2. Что такое центральный удар?
3. Что называют полной механической энергией?

Ответы

Упражнение 1

1. ≈ 9,3 см

2. ≈ 437 м/с

Конспект урока: Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии

Законы сохранения в механике

Основные формулы

Примеры решения задач