Конспект урока: Общее определение механической работы. Мощность

Механическая работа

Рис. 1. Направление векторов F и Δx

В курсе 7 класса вы уже знакомились с понятием механической работы A. При этом было рассмотрено только два частных случая: когда направление вектора силы $\overrightarrow{F}$, приложенной к телу, совпадает с направлением вектора перемещения $∆\overrightarrow{x}$ и когда данные вектора направлены в противоположные стороны (рис. 1).

 

В первом случае, когда угол между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$, сила F совершает положительную работу:

$A=F·∆x$.

Во втором случае угол между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$ равен 180°. Сила F совершает отрицательную работу:
 

$A=-F·∆x$.
 

Единица измерения механической работы в СИ — джоуль (Дж). Один джоуль — это работа постоянной по модулю силы в 1 Н при перемещении тела на 1 м в направлении действия силы.

В чём заключается физический смысл работы?
 

Рассмотрим выражение выше, случай, когда сила совершает положительную работу. Пусть тело является материальной точкой. Если сумма остальных сил, действующих на данную материальную точку, равна нулю, то под действием силы $\overrightarrow{F}$ тело будет разгоняться.
 

В противном случае, когда сила $\overrightarrow{F}$ совершает отрицательную работу, а сумма других сил, действующих на данное тело, равна нулю, тело приобретёт отрицательное ускорение — оно будет тормозить.

Из формул выше также следует вывод, что чем больше величина силы F, тем большая работа будет совершена над телом, тем большее ускорение приобретёт материальная точка в инерциальной системе отсчёта.
 

Понятно, что сила, приложенная к телу, может быть направлена под углом к горизонту (рис. 2). В этом случае работа, совершённая над телом, прямо пропорциональна косинусу угла между вектором силы $\overrightarrow{F}$ и вектором перемещения $∆\overrightarrow{x}$:

$A=F·∆x·\cos \left(\alpha \right)$,
 

где $A \left[Дж\right]$ — работа, совершённая над телом;
$F \left[Н\right]$ — модуль силы, приложенной к телу;
$\Delta x \left[м\right]$ — модуль перемещения;
$\alpha$ — угол между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$.

Рис. 2. Вычисление работы в случае, когда сила направлена под углом α к горизонту

 

На рисунке 2, а угол $\alpha$ острый, следовательно, косинус данного угла положителен $\cos \left(\alpha \right)>0$, работа силы $\overrightarrow{F}$ также положительна:
 

$A=F·∆x·\cos \left(\alpha \right)>0$.
 

Под действием силы $\overrightarrow{F}$ скорость тела увеличивается.
 

На рисунке 2, б угол $\alpha$ тупой, следовательно, его косинус отрицателен $\cos \left(\alpha \right)<0$, работа силы $\overrightarrow{F}$ также будет иметь отрицательное значение:
 

$A=F·∆x·\cos \left(\alpha \right)<0$.
 

В данном случае под действием силы $\overrightarrow{F}$ скорость тела уменьшается.

Заметим, что произведение $F·\cos \left(\alpha \right)$ — это проекция силы $\overrightarrow{F}$ на направление перемещения $∆\overrightarrow{x}$. Можно сказать, что работа силы $\overrightarrow{F}$ равна произведению модуля перемещения на проекцию данной силы $F·\cos \left(\alpha \right)$ на направление перемещения.

Очевидно, что если вектор силы $\overrightarrow{F}$ перпендикулярен вектору перемещения $∆\overrightarrow{x}$, то косинус угла между ними будет равен нулю $\cos (90°)=0$, в этом случае сила $\overrightarrow{F}$ не совершает работу $A=0$.
 

Например, на тело, изображённое на рисунке 2, помимо силы $\overrightarrow{F}$ действует сила тяжести $m·\overrightarrow{g}$, направленная под углом 90° к вектору перемещения $∆\overrightarrow{x}$. Работа силы тяжести при перемещении $∆\overrightarrow{x}$ будет равна нулю.

Пусть на тело действуют две силы ${\overrightarrow{F}}_1$ и ${\overrightarrow{F}}_2$. Вектор перемещения сонаправлен с положительным направлением оси ОХ. Тогда проекции сил ${\overrightarrow{F}}_1$ и ${\overrightarrow{F}}_2$ на вектор перемещения будут равны $F_{1x}=F_1·\cos \left({\alpha }_1\right)$ и $F_{2x}=F_2·\cos \left({\alpha }_2\right)$ соответственно.
 

Тогда работа силы ${\overrightarrow{F}}_1$ равна $A_1=F_{1x}·∆x$, работа силы ${\overrightarrow{F}}_2$ вычисляется аналогично $A_2=F_{2x}·∆x$.
 

Известно, что проекция равнодействующей на координатную ось равна сумме проекций всех сил, действующих на тело, на данную ось. Пусть $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+{\overrightarrow{F}}_2$.
 

Тогда проекция данной силы на ось ОХ равна:
 

$F_x=F_{1x}+F_{2x}$.
 

Умножим левую и правую часть уравнения на модуль перемещения Δx:
 

$F_x·∆x=F_{1x}·∆x+F_{2x}·∆x$.
 

Получается, что работа результирующей силы равна сумме работ всех сил, действующих на тело:

$A=A_1+A_2$.

Все полученные закономерности справедливы при расчёте работы постоянной силы $\overrightarrow{F}$ и постоянного угла $\alpha$ между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$.

Рис. 3. Вычисление работы в случае, когда тело было брошено под углом к горизонту

Рассмотрим случай, когда направление вектора перемещения $∆\overrightarrow{x}$, соответственно, и значение угла между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$ меняется с течением времени.
 

Например, тело брошено под углом к горизонту (рис. 3). Требуется найти работу силы тяжести $m·\overrightarrow{g}$ по перемещению тела из точки А в точку В.

В данном случае для того, чтобы вычислить работу, необходимо разбить перемещение материальной точки $∆\overrightarrow{x}$ на достаточно малые перемещения ${∆\overrightarrow{x}}_1$, ${∆\overrightarrow{x}}_2$, ${∆\overrightarrow{x}}_3$ … ${∆\overrightarrow{x}}_n$, такие, чтобы на протяжении каждого из данных перемещений модуль силы, совершающей работу, и угол между вектором перемещения и вектором силы можно было считать постоянными.

При выполнении этих условий работу на каждом из участков можно считать по формуле:
 

$A_1=m·g_1·∆x_1·\cos \left({\alpha }_1\right)$;
 

$A_2=m·g_2·∆x_2·\cos \left({\alpha }_2\right)$;

…
 

$A_n=m·g_n·∆x_n·\cos \left({\alpha }_n\right)$.
 

Полученные значения работ складываются:
 

$A=A_1+A_2+...+A_n$.

Мощность силы

Мощность силы характеризует скорость совершения работы. Например, необходимо поднять холодильник на третий этаж дома. Данную работу можно совершить вручную, используя силу мышц человека, поднявшись по ступеням лестницы. А можно загрузить холодильник в лифт, тогда работу по перемещению холодильника совершит подъёмный механизм лифта, а время совершения работы сократится на несколько минут. Понятно, что разница во времени совершения работы объясняется тем, что подъёмный механизм имеет большую мощность, нежели человек.

Мощность силы рассчитывается как отношение работы силы к промежутку времени Δt, за который была совершена данная работа:
 

$N=\frac{A}{∆t}$, где
 

$N \left[Вт\right]$ — мощность силы;
$A \left[Дж\right]$ — работа;
$\Delta t \left[с\right]$ — время совершения работы.

Единица измерения мощности в СИ — ватт (Вт).
 

$1 \mathrm{Вт}=\frac{1 \mathrm{Дж}}{1 \mathrm{с}}$
 

Пусть работу А совершает постоянная сила $\overrightarrow{F}$, угол $\alpha$ между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$ равен 0°, тогда мощность данной силы будет равна

$N=\frac{F·∆x·\cos (0°)}{∆t}=\frac{F·∆x}{∆t}$.

Если тело движется с постоянной скоростью, то отношение перемещения Δx к промежутку времени Δt представляет собой скорость данного тела.

Тогда мощность силы F, под действием которой тело движется со скоростью $v$, равна

$N=F·v$.

Итоги

• Работа постоянной силы $\overrightarrow{F}$ — это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы F и перемещения тела Δx, умноженному на косинус угла $\alpha$ между векторами $\overrightarrow{F}$ и $∆\overrightarrow{x}$: $A=F·∆x·\cos \left(\alpha \right)$.
• Сумма работ всех действующих на материальную точку сил равна работе равнодействующей силы: $A=A_1+A_2+...+A_n$.
• Мощность силы — это скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы: $N=\frac{A}{∆t}$.