Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии

План урока

Механическая энергия системы тел. Закон изменения механической энергии
Закон сохранения механической энергии
Примеры решения задач

Цели урока

знать понятие «механическая энергия системы тел»; законы сохранения и изменения механической энергии системы
уметь применять законы сохранения и изменения механической энергии системы при решении задач

Разминка

По какой формуле рассчитывается кинетическая энергия?
По какой формуле рассчитывается потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли?
Какой энергией обладает тело, брошенное вертикально вверх в наивысшей точке траектории?

Механическая энергия системы тел. Закон изменения механической энергии

Тело, брошенное под углом к горизонту, на протяжении своего пути будет обладать и кинетической, и потенциальной энергией взаимодействия с Землёй.

Аналогично пружина, пришедшая в движении в результате деформации, обладает и кинетической, и потенциальной энергией деформированной пружины. Сумма двух видов энергий называется механической энергией системы E_мех:

$E_{мех} = E_{пот} + E_{кин}$ .

E_мех [Дж] — механическая энергия тела;
E_пот [Дж] — потенциальная энергия тела;
E_кин [Дж] — кинетическая энергия тела.

Механическая энергия системы тел (тела) E_мех — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы (тела): $E_{мех} = E_{пот} + E_{кин}$ .

Пусть работа всех сил, действующих на материальную точку, равна А. Тогда в соответствии с теоремой о кинетической энергии справедливо следующее выражение:

$E_{кин 0} + A = E_{кин}$ ,

где работа А всех сил представляет собой сумму работы внутренних потенциальных сил A_п, работы внутренних сил трения A_тр и работы внешних сил A_ex:

$A = A_{п} + A_{тр} + A_{ех}$ .

С учётом выражения выше формула принимает следующий вид:

$E_{кин 0} + A_{п} + A_{тр} + A_{ех} = E_{кин}$ .

Работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии системы, взятой со знаком минус:

$A_{п} = - (E_{пот} - E_{пот 0}) = E_{пот 0} - E_{пот}$ .

Подставим это уравнение в формулу выше:

$E_{кин 0} + E_{пот 0} - E_{пот} + A_{тр} + A_{ех} = E_{кин}$ .

Запишем полученное выражение иначе:

$E_{кин 0} + E_{пот 0} + A_{тр} + A_{ех} = E_{кин} + E_{пот}$ .

Механическая энергия системы — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы, начальная и конечная механические энергии системы соответственно равны:

$E_{мех 0} = E_{кин 0} + E_{пот 0}$ и $E_{мех} = E_{кин} + E_{пот}$ .

Тогда выражение можно записать в следующем виде:

$E_{мех 0} + A_{тр} + A_{ех} = E_{мех}$ .

Формула выше говорит о том, что механическая энергия системы изменится при совершении работы внутренними силами трения и в случае совершения работы над телами системы внешними силами.

Закон изменения механической энергии системы тел : изменение механической энергии системы тел равно сумме работ внутренних сил трения A_тр и внешних сил над телами системы A_ex: $E_{мех} - E_{мех 0} = A_{тр} + A_{ех}$ .

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения механической энергии является следствием закона изменения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии системы тел : если сумма работ внутренних сил трения A_тр и внешних сил над телами системы A_ex равна нулю, то механическая энергия системы не изменяется: $E_{мех} = E_{мех 0}$ , при $A_{тр} + A_{ех} = 0$ .

Закон сохранения энергии можно записать иначе:

$E_{кин 0} + E_{пот 0} = E_{кин} + E_{пот}$ .

Законы сохранения и изменения энергии позволяют облегчить решение задач кинематики и динамики.

Например, необходимо найти максимальную высоту H, на которую поднимется тело, брошенное под углом к горизонту.

Известно, что начальная скорость тела равна $v_{0}$ , скорость в наивысшей точке траектории — $v$ .

В начальный момент времени тело находится на Земле, следовательно, его потенциальная энергия равна нулю $E_{пот 0} = 0$ , начальная кинетическая энергия тела равна $E_{кин 0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

В наивысшей точке траектории потенциальная энергия тела равна $E_{пот} = m \cdot g \cdot H$ , а кинетическая энергия $E_{кин} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Воспользуемся законом сохранения энергии:

$E_{кин 0} = E_{кин} + E_{пот} \Leftrightarrow \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} = \frac{m \cdot v^{2}}{2} + m \cdot g \cdot H$ .

Сократим обе части этого уравнения на массу и выразим искомую высоту:

$H = \frac{{v_{0}}^{2} - v^{2}}{2 \cdot g}$ .

Примеры решения задач

Пример 1

С крыши многоэтажного дома высотой 100 м бросили камень под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 5 м/с. Найти модуль конечной скорости камня при его приземлении на Землю. Потерями энергии пренебречь.

Решение

1. Будем считать камень материальной точкой. Систему отсчёта свяжем с Землёй.

2. По условию задачи потерями энергии в процессе движения камня можно пренебречь, поэтому можно воспользоваться законом сохранения энергии:

$E_{кин 0} + E_{пот 0} = E_{кин} + E_{пот}$ .

3. Определим значения кинетической и потенциальной энергии камня в начальный и конечный моменты времени.

Камень бросают с высоты h = 100 м, следовательно, его начальная потенциальная энергия равна $E_{пот 0} = m \cdot g \cdot h$ . Начальную скорость обозначим $v_{0}$ , тогда начальная кинетическая энергия равна
$E_{кин 0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

В момент приземления на Землю потенциальная энергия тела равна нулю $E_{пот} = 0$ , а кинетическая энергия равна $E_{кин} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

4. Подставляем выражения, полученные для кинетических и потенциальных энергий, в формулу закона сохранения энергии и выражаем конечную скорость камня:

$\frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} + m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ ;

$v = \sqrt[2]{{v_{0}}^{2} + 2 \cdot g \cdot h} = \sqrt[2]{5^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 100} = 45 м / с$ .

Ответ: $v = 45 м / с$ .

Пример 2

После удара клюшкой шайба массой 200 г въезжает на наклонную ледяную плоскость с начальной скоростью 20 м/с. Угол наклона плоскости составляет 45° с горизонтом, коэффициент трения шайбы о лёд равен 0,4. Найти максимальную высоту, на которую поднимется шайба до полной потери скорости.

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 2

1. Будем считать шайбу материальной точкой. Систему отсчёта свяжем с Землёй, ось ОХ направим вдоль наклонной плоскости в направлении движения шайбы (рис. 1).

Изобразим силы, действующие на шайбу: сила трения, сила тяжести и сила реакции опоры.

2. На шайбу не действуют внешние силы, но есть потери механической энергии на трение. Закон изменения механической энергии будет иметь следующий вид:

$E_{мех 0} + A_{тр} = E_{мех}$

или

$E_{кин 0} + E_{пот 0} + A_{тр} = E_{кин} + E_{пот}$ .

3. Найдём работу силы трения:

$A_{тр} = F_{тр} \cdot ∆ x \cdot \cos (180 °) = - F_{тр} \cdot ∆ x$ .

Перемещение тела вдоль наклонной плоскости Δх можно найти через синус угла $α$ и высоту h, на которую поднимется шайба:

$\sin (α) = \frac{h}{∆ x}$ ;

$∆ x = \frac{h}{\sin (α)}$ .

Силу трения можно найти по следующей формуле:

$F_{тр} = μ \cdot N = μ \cdot \cos (α) \cdot m \cdot g$ ,

тогда с учётом формул выше работа силы трения равна:

$A_{тр} = - μ \cdot \cos (α) \cdot m \cdot g \cdot \frac{h}{\sin (α)} = - μ \cdot m \cdot g \cdot h \cdot ctg (α)$ .

4. Определим значения кинетической и потенциальной энергии шайбы в начальный и конечный моменты времени.

У основания наклонной плоскости потенциальная энергия шайбы равна нулю $E_{пот 0} = 0$ . Начальная кинетическая энергия шайбы равна $E_{кин 0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

В наивысшей точке подъёма скорость шайбы равна нулю $E_{кин} = 0$ , потенциальная энергия равна $E_{пот} = m \cdot g \cdot h$ .

5. Подставляем выражения, полученные для кинетических и потенциальных энергий, а также соотношение выше в формулу и выражаем искомую высоту:

$\frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} - μ \cdot m \cdot g \cdot h \cdot ctg (α) = m \cdot g \cdot h$ ;

$h = \frac{{v_{0}}^{2}}{2 \cdot g \cdot (μ \cdot ctg (α) + 1)} = \frac{20^{2}}{2 \cdot 10 \cdot (0, 4 \cdot ctg (45 °) + 1)} \approx 14, 3 м$ .

Ответ: $h = 14, 3 м$ .

Итоги

Механическая энергия системы тел $E_{м е х}$ — это сумма кинетической и потенциальной энергии системы (тела): $E_{м е х} = E_{п о т} + E_{к и н}$ .
Закон изменения механической энергии системы тел : изменение механической энергии системы тел равно сумме работ внутренних сил трения $A_{т р}$ и внешних сил над телами системы $A_{e x}$ : $E_{м е х} - E_{м е х 0} = A_{т р} + A_{е х}$ .
Закон сохранения механической энергии системы тел : если сумма работ внутренних сил трения $A_{т р}$ и внешних сил над телами системы A_ex равна нулю, то механическая энергия системы не изменяется: $E_{м е х} = E_{м е х 0}$ , при $A_{т р} + A_{е х} = 0$ .

Упражнение 1

1. Тело массой 5 кг свободно падает с высоты 10 м. Найти потенциальную и кинетическую энергию тела на высоте 4 м от поверхности Земли. Потерями энергии в процессе движения пренебречь.

2. При подготовке пружинного пистолета к выстрелу пружину жёсткостью 2 кН/м сжали на 2 см. Какую скорость приобретёт пуля массой 200 г в момент выстрела? Потерями энергии пренебречь.

3. Санки с человеком общей массой 70 кг скатываются с горы высотой
10 м и длиной 80 м. Найти силу трения, действующую на санки, если в конце спуска они развили скорость 5 м/с, а на вершине горы их скорость была равна нулю.

Контрольные вопросы

1. Что такое механическая энергия системы тел?
2. Сформулируйте закон изменения механической энергии.
3. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

Ответы

Упражнение 1

1. E_пот = 200 Дж; E_кин = 300 Дж

2. $v$ = 2 м/с

3. F_тр = 76,6 Н

Конспект урока: Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии

Механическая работа и энергия

Механическая энергия системы тел. Закон изменения механической энергии

Закон сохранения механической энергии

Примеры решения задач