Конспект урока: Статика. Равновесие тела. Момент силы. Условия равновесия твёрдого тела. Применение условий равновесия при решении задач статики

Применение условий равновесия при решении задач статики

План урока

Примеры решения задач

Цели урока

знать условия равновесия твёрдого тела
уметь применять условия равновесия твёрдого тела при решении практических задач

Разминка

Сформулируйте условия равновесия твёрдого тела
Как находится плечо силы?
В каком случае момент силы положителен, а в каком отрицателен?

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

На лёгком тросе над проезжей частью висит дорожный знак массой 2,5 кг (рис. 1).

Найти силу натяжения троса, если угол между частями троса в месте крепления знака составляет $α = 120 °$ .

Решение

Рис. 2. Силы, действующие на дорожный знак

1. Дорожный знак можно принять за материальную точку. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Пусть ось ОХ направлена вправо, ось OY перпендикулярно оси ОХ. Изобразим силы, действующие на знак: сила тяжести $m \cdot \vec{g}$ и две силы натяжения ${\vec{T}}_{1}$ и ${\vec{T}}_{2}$ , приложенные в месте крепления знака (рис. 2).

2. Найдём проекции сил, действующих на тело. Проекция силы тяжести на ось ординат равна $m \cdot g_{y} = - m \cdot g$ , на ось абсцисс $m \cdot g_{x} = 0$ .

Угол между каждой из сил натяжения и вертикальной осью составляет $\frac{α}{2} = 60 °$ , поэтому проекции сил натяжения на ос OY равны:

$T_{1 y} = \cos (60 °) \cdot T_{1}$ и $T_{2 y} = \cos (60 °) \cdot T_{2}$ .

Сумма этих сил равна:

$T = \cos (60 °) \cdot (T_{1} + T_{2})$ .

Проекция силы ${\vec{T}}_{1}$ на ось ОХ равна $T_{1 x} = \sin (60 °) \cdot T_{1}$ .

Проекция силы ${\vec{T}}_{2}$ на ось ОХ отрицательна $T_{2 x} = - \sin (60 °) \cdot T_{2}$ .

3. Если тело находится в равновесии, сумма проекций сил, действующих на него, равна нулю:

$\cos (60 °) \cdot (T_{1} + T_{2}) - m \cdot g = 0$ ;

$\sin (60 °) \cdot T_{1} - \sin (60 °) \cdot T_{2} = 0$ .

Из этого соотношения получаем, что силы натяжения равны друг другу:

$T_{1} = T_{2}$ .

Заменим в формуле силы T₁ и T₂ на Т и выразим искомую величину:

$\cos (60 °) \cdot (T + T) - m \cdot g = 0$ ;

$T = \frac{m \cdot g}{2 \cdot \cos (60 °)} = \frac{2, 5 \cdot 10}{2 \cdot \cos (60 °)} = 25 Н$ .

Ответ: $T = 25 Н$ .

Пример 2

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

Люк АО закрыт крышкой, которая может поворачиваться без трения на шарнире О (рис. 3). Крышка удерживается верёвкой, перекинутой через неподвижный блок. Верёвка образует угол $α = 30 °$ с крышкой люка. Найти силу натяжения верёвки, если масса крышки 20 кг.

Решение

Рис. 4. Силы, действующие на крышку люка

1. Центр масс крышки люка находится в её центре. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Пусть ось ОХ направлена влево, ось OY перпендикулярно оси ОХ. Изобразим силы, действующие на крышку: сила тяжести $m \cdot \vec{g}$ , приложенная к центру масс, сила натяжения верёвки $\vec{T}$ и сила реакции опоры со стороны шарнира $\vec{N}$ (рис. 4).

Обратим внимание на направление силы реакции опоры. Тело находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил, действующих на крышку, равна нулю. Сила тяжести $m \cdot \vec{g}$ должна быть уравновешена суммой сил $\vec{T}$ и $\vec{N}$ , следовательно, сила реакции опоры направлена под некоторым углом к горизонту.

2. Воспользуемся вторым условием равновесия твёрдого тела, согласно которому алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, равна нулю:

$M_{1} + M_{2} + M_{3} = 0$ ,

где М₁, М₂ и М₃ — моменты сил $m \cdot \vec{g}$ , $\vec{T}$ и $\vec{N}$ относительно оси вращения, проходящей через точку О.

Обозначим длину крышки люка $l$ .

Сила тяжести приложена к центру люка, поэтому плечо этой силы равно $\frac{l}{2}$ . В результате действия данной силы тело стремится повернуться против часовой стрелки, поэтому момент этой силы положителен:

$M_{1} = m \cdot g \cdot \frac{l}{2}$ .

Кратчайшее расстояние между осью вращения, проходящей через шарнир О, и линией действия силы $\vec{T}$ — это перпендикуляр ОВ, опущенный на линию действия силы. Отрезок ОВ можно найти через синус угла $α$ : $O B = \sin (α) \cdot l$ .

Под действием силы натяжения нити крышка стремится повернуться по часовой стрелке — момент силы $\vec{T}$ отрицателен:

$M_{2} = - T \cdot \sin (α) \cdot l$ .

Сила реакции опоры приложена в месте крепления шарнира — плечо этой силы равно нулю, следовательно, момент силы $\vec{N}$ также равен нулю: $M_{3} = 0$ .

3. Объединим уравнения выше, сократим полученное уравнение на длину крышки и выразим силу натяжения нити:

$m \cdot g \cdot \frac{l}{2} - T \cdot \sin (α) \cdot l = 0$ ;

$T = \frac{m \cdot g}{2 \cdot \sin (α)} = \frac{20 \cdot 10}{2 \cdot \sin (30 °)} = 200 Н$ .

Ответ: $T = 200 Н$ .

Пример 3

К шероховатой стене прислонена лестница массой 7 кг. Известно, что коэффициенты трения между лестницей и полом и между лестницей и стеной равны 0,4 и 0,2 соответственно. Найти минимальный угол $α$ наклона лестницы, при котором она будет сохранять равновесие.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 3

1. Центр масс крышки находится в её середине. В качестве тела отсчёта выберем поверхность Земли. Пусть ось ОХ направлена вправо, ось OY перпендикулярно оси ОХ. Изобразим силы, действующие на крышку: сила тяжести $m \cdot \vec{g}$ , приложенная к центру масс, две силы реакции опоры со стороны пола и со стороны стены ${\vec{N}}_{1}$ и ${\vec{N}}_{2}$ , две силы трения со стороны пола и со стороны стены ${\vec{F}}_{тр 1}$ и ${\vec{F}}_{тр 2}$ (рис. 5).

2. Запишем первое условие равновесия в проекциях на координатные оси:

$O X : N_{2} - F_{тр 1} = 0$ ;

$OY : F_{тр 2} - m \cdot g + N_{1} = 0$ .

По условию задачи нам сказано, что лестница покоится, тогда силы трения определяются неравенствами: ${\vec{F}}_{т р} \leq μ_{1} N_{1}$ и ${\vec{F}}_{т р 2} \leq μ_{2} N_{2}$ . Но поскольку нас просят найти минимальный угол , то поставим в формулах для сил трения знак равно.

$N_{2} - μ_{1} \cdot N_{1} = 0$ ;

$μ_{2} \cdot N_{2} - m \cdot g + N_{1} = 0$ .

3. Воспользуемся вторым условием равновесия твёрдого тела. Найдём моменты всех сил, действующих на крышку, относительно оси вращения, проходящей через точку А. Обозначим длину двери $l$ .

Прежде всего, моменты сил ${\vec{F}}_{тр 1}$ и $\vec{N}$ равны нулю, так как длины их плеч равны нулю.

Плечо силы тяжести $m \cdot \vec{g}$ равно отрезку АD, который равен $A D = \cos (α) \cdot \frac{l}{2}$ . Под действием силы тяжести тело стремится повернуться против часовой стрелки — момент силы $m \cdot \vec{g}$ положителен:

$M_{1} = m \cdot g \cdot \cos (α) \cdot \frac{l}{2}$ .

Кратчайшее расстояние между линией действия ${\vec{F}}_{тр 2}$ и точкой А — это отрезок $A B = \cos (α) \cdot l$ . Под действием данной силы тело стремится повернуться по часовой стрелке — момент силы ${\vec{F}}_{тр 2}$ отрицателен:

$M_{2} = - F_{тр 2} \cdot \cos (α) \cdot l = - μ_{2} \cdot N_{2} \cdot \cos (α) \cdot l$ .

Кратчайшее расстояние между линией действия ${\vec{N}}_{2}$ и точкой А — это отрезок $A C = \sin (α) \cdot l$ . Под действием данной силы тело стремится повернуться по часовой стрелке — момент силы ${\vec{N}}_{2}$ отрицателен:

$M_{3} = - N_{2} \cdot \sin (α) \cdot l$ .

Запишем правило моментов, используя соотношения выше:

$m \cdot g \cdot \cos (α) \cdot \frac{l}{2} - μ_{2} \cdot N_{2} \cdot \cos (α) \cdot l - N_{2} \cdot \sin (α) \cdot l = 0$ .

4. Из выражений получаем следующую систему уравнений:

$\{\begin{cases} N_{2} - μ_{1} \cdot N_{1} = 0, \\ μ_{2} \cdot N_{2} - m \cdot g + N_{1} = 0, \\ m \cdot g \cdot \cos (α) \cdot \frac{l}{2} - μ_{2} \cdot N_{2} \cdot \cos (α) \cdot l - N_{2} \cdot \sin (α) \cdot l = 0 . \end{cases}$

Из первых двух уравнений находим $N_{2}$ :

$N_{2} = \frac{μ_{1} \cdot m \cdot g}{μ_{1} \cdot μ_{2} + 1} = \frac{0, 4 \cdot 0, 7 \cdot 10}{0, 4 \cdot 0, 2 + 1} \approx 26 Н$ .

Из последнего уравнения находим угол $α$ :

$tg (α) = \frac{m \cdot g - 2 \cdot μ_{2} \cdot N_{2}}{2 \cdot N_{2}} = \frac{7 \cdot 10 - 2 \cdot 0, 2 \cdot 26}{2 \cdot 26} \approx 1, 15$ .

Ответ: $tg (α) = 1, 15$ .

Упражнение 1

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

1. Груз массой 50 кг висит на двух нитях (рис. 6). Угол между нитями составляет $α = 120 °$ . Определить силы натяжения тросов.

2. К гладкой стене прислонена лестница массой 10 кг и длиной 5 м. Лестница составляет угол $α = 60 °$ с горизонтом. Найдите минимальный коэффициент трения между лестницей и полом, при котором лестница находится в состоянии равновесия.

Ответы

Упражнение 1

1. T₁ = 577 Н; T₂ = 288,5 Н

2. $μ$ = 0,3