Конспект урока: Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса. Применение закона сохранения импульса при решении задач

[header]Импульс. Изменение импульса материальной точки. Система тел. Закон сохранения импульса[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Импульс. Изменение импульса материальной точки
• Система тел. Импульс системы тел
• Закон сохранения импульса

[/row][row title='Цели урока']

• знать понятия и формулы импульса материальной точки и импульса силы; понятие системы тел; формулировку закона изменения импульса материальной точки; закон сохранения импульса
• уметь отличать внутренние и внешние силы; находить импульс системы тел

[/row][row title='Разминка' final]

• По какой формуле рассчитывается ускорение тела?
• Как определить характер движения тел, если неизвестны силы, действующие на тело?
• Как изменяется скорость тела, если на него начинает действовать постоянная сила?

[/row][/flex]

Импульс. Изменение импульса материальной точки

Законы Ньютона позволяют определить характер движения тела, если известны силы, действующие на материальную точку. В случае, если действующие силы неизвестны, применяются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Любое тело, обладающее массой и скоростью, имеет импульс $\overrightarrow{p}$, модуль которого равен:

$p=m·v$,

где $m \left[кг\right]$ — масса тела;
$v \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — скорость тела;
$p \left[кг·\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — импульс тела.

[line][/line]

[section icon='note']

Импульс тела — это физическая величина, равная произведению массы на скорость: $p=m·v$.

[/section]

[line][/line]

Импульс — векторная физическая величина, направление вектора $\overrightarrow{p}$ совпадает с направлением вектора скорости $\overrightarrow{v}$:
 

$\overrightarrow{p}=m·\overrightarrow{v}$.
 

В СИ единицей измерения импульса является килограмм-метр в секунду (кг ∙ м/с).
 

Понятно, что изменение импульса материальной точки $∆p$ напрямую связано с изменением скорости $∆v$, следовательно, и с ускорением тела $a$.
 

По определению ускорение находится по следующей формуле:
 

$a=\frac{v-v_0}{∆t}$.
 

Согласно второму закону Ньютона ускорение тела есть отношение силы, действующей на тело, к массе этого тела:
 

$a=\frac{F}{m}$.
 

Объединим эти формулы и выразим силу F:

$F=m·a=m·\frac{v-v_0}{∆t}=\frac{m·v-m·v_0}{∆t}=\frac{p-p_0}{∆t}=\frac{∆p}{∆t}$.

Таким образом, изменение импульса равно:
 

$∆p=F·∆t$ или $∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$.

Данное выражение называется законом изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчёта или вторым законом Ньютона в импульсной форме.

[line][/line]

[section icon='note']

В инерциальной системе отсчёта изменение импульса Δp материальной точки за промежуток времени Δt равно произведению суммы всех сил F, действующих на тело за данный промежуток времени: $∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$.

[/section]

[section icon='note']

Произведение $\overrightarrow{F}·∆t$ представляет собой импульс суммы всех сил, действующих на материальную точку, и называется импульсом силы.

[/section]

[line][/line]

Формула изменения импульса предполагает, что сумма всех сил F в течение времени Δt не изменяется. В противном случае промежуток времени Δt разбивают на такое количество промежутков, чтобы значение силы F можно было считать постоянным. Для каждого такого промежутка времени рассчитывается изменение импульса. Суммарное изменение импульса тела рассчитывается как сумма всех импульсов сил за рассматриваемые промежутки времени:

$∆\overrightarrow{p}=∆{\overrightarrow{p}}_1+∆{\overrightarrow{p}}_2+...+∆{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}$.

Система тел. Импульс системы тел

Использование второго закона Ньютона в импульсной форме позволяет упростить решение задач на движение нескольких взаимодействующих тел.
 

Пусть необходимо выяснить, как будут двигаться два бильярдных шара после столкновения. Силы, с которыми шары подействовали друг на друга в момент удара, неизвестны. Несмотря на это, выражение изменения импульса даёт возможность описать движение данных тел.
 

Прежде всего, рассматриваемые тела следует объединить в систему тел. При объединении нескольких тел в систему все силы, приложенные к телам, разделяются на внутренние и внешние.

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/k4Sns1r8CBTa_90.png' name='Рис. 1. Система, состоящая из двух тел' float='right' width='40']

Например, на рисунке 1 изображены два бильярдных шара перед столкновением. В момент удара шар массой m₁ подействует на шар массой m₂ с силой ${\overrightarrow{F}}_{12}$, шар массой m₂, в свою очередь, подействует на шар массой m₁ с силой ${\overrightarrow{F}}_{21}$. Силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$являются внутренними. В то же время на тела будут действовать силы тяжести $m_1·\overrightarrow{g}$и $m_2·\overrightarrow{g}$, силы реакции опоры ${\overrightarrow{N}}_1$ и ${\overrightarrow{N}}_2$, а также силы трения ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}1}$ и ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}2}$ о поверхность — это внешние силы, так как поверхность стола и Земля не входят в выбранную систему тел.

[/img]

[line][/line]

[section icon='note']

Силы взаимодействия между телами, принадлежащими системе, называются внутренними силами.
 

Силы, действующие на тела системы со стороны тел, не входящих в систему, называются внешними силами.

[/section]

[line][/line]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/o3bx1FPXCJF6_91.png' name='Рис. 2. Внешние и внутренние силы, действующие на систему тел' float='right' width='50']

Внешние силы обозначают индексом «ex». Пусть сума всех внешних сил, действующих на шар массой m₁, равна ${\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}$, на шар массой m₂ — ${\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}$ (рис. 2).

[/img]

Тогда на первый шар действуют силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}$, на второй шар — силы ${\overrightarrow{F}}_{21}$ и ${\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}$.
 

В соответствии с введёнными обозначениями изменения импульсов шаров за время Δt равны:

$∆{\overrightarrow{p}}_1=\left({\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}\right)·∆t$;

$∆{\overrightarrow{p}}_2=\left({\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.

[line][/line]

[section icon='note']

Импульсом системы тел $\overrightarrow{p}$ называется сумма импульсов всех тел, входящих в рассматриваемую систему: $\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}$.

[/section]

[line][/line]

В нашем случае в систему входят только два тела, следовательно, суммарный импульс системы равен
 

$\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2$.
 

Изменение импульса системы тел равно сумме изменений импульсов каждого тела, входящего в систему:
 

$∆\overrightarrow{p}=∆{\overrightarrow{p}}_1+∆{\overrightarrow{p}}_2$.
 

Подставим в формулу изменения импульса выражения:
 

$∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{12}+{\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{21}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.
 

Так как силы ${\overrightarrow{F}}_{12}$ и ${\overrightarrow{F}}_{21}$, с которыми взаимодействуют между собой бильярдные шары, по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма будет равна нулю ${\overrightarrow{ F}}_{12}+{\overrightarrow{ F}}_{21}= 0$. Тогда выражение выше принимает следующий вид:

$∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.

[line][/line]

[section icon='note']

Закон изменения импульса системы тел: изменение импульса системы тел $∆\overrightarrow{p}$ в инерциальной системе отсчёта равно произведению постоянной суммы всех внешних сил на время их действия: $∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.

[/section]

[line][/line]

Закон сохранения импульса

Если сумма внешних сил равна нулю ${\overrightarrow{ F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{ F}}_{2\mathrm{ex}}= 0$, изменение импульса данной системы также равно нулю $∆\overrightarrow{p}$.

Данное утверждение называется законом сохранения импульса.

[line][/line]

[section icon='note']

Закон сохранения импульса: если сумма всех внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю, то импульс системы тел в инерциальной системе отсчёта остаётся постоянным с течением времени.

[/section]

[line][/line]

При решении задач удобно использовать следующую формулировку закона сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то начальный импульс $\overrightarrow{p}$системы равен конечному импульсу $\overrightarrow{p}\text{'}$ данной системы:
 

$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}\text{'}$.
 

Для системы из n тел закон сохранения импульса будет иметь следующий вид:
 

${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_1+\overrightarrow{p}{\text{'}}_2+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}}$.
 

При решении задач выражение выше записывают в проекциях на координатные оси:

$p_{1x}+p_{2x}+...+p_{\mathrm{n}x}=p{\text{'}}_{1x}+p{\text{'}}_{2x}+...+p{\text{'}}_{\mathrm{n}x}$;
$p_{1y}+p_{2y}+...+p_{\mathrm{n}y}=p{\text{'}}_{1y}+p{\text{'}}_{2y}+...+p{\text{'}}_{\mathrm{n}y}$.
 

В некоторых случаях сохраняется проекция импульса системы тел на одну из координатных осей, а проекция на другую ось изменяется.

Запишем уравнение в проекциях на координатные оси:
 

$∆p_x=\left(F_{1{\mathrm{ex}}_x}+F_{2{\mathrm{ex}}_x}\right)·∆t$.
 

В случае, если $F_{1{\mathrm{ex}}_x}+ F_{2{\mathrm{ex}}_x}= 0$, проекция изменения импульса системы также равна нулю $∆p_x=0$. При этом проекция изменения импульса системы на ось ординат, а значит и вектор $∆\overrightarrow{p}$, могут оказаться отличными от нуля.

[line][/line]

[section icon='note']

Закон сохранения проекции импульса на координатную ось: если проекция на координатную ось суммы всех внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то проекция импульса системы тел на данную ось остаётся постоянной с течением времени.

[/section]

[line][/line]

Итоги

• Импульс тела  $\overrightarrow{p}$ — это физическая величина, равная произведению массы на скорость: $\overrightarrow{p}=m·\overrightarrow{v}$.
• В инерциальной системе отсчёта изменение импульса Δp материальной точки за промежуток времени Δt равно произведению суммы всех сил F, действующих на тело, на данный промежуток времени: $∆\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}·∆t$. Произведение $\overrightarrow{F}·∆t$ называется импульсом силы.
• Импульсом системы тел $\overrightarrow{p}$ называется сумма импульсов всех тел, входящих в рассматриваемую систему: $\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}$.
• Закон изменения импульса системы тел: изменение импульса системы тел $∆\overrightarrow{p}$ в инерциальной системе отсчёта равно произведению постоянной суммы всех внешних сил на время их действия: $∆\overrightarrow{p}=\left({\overrightarrow{F}}_{1\mathrm{ex}}+{\overrightarrow{F}}_{2\mathrm{ex}}\right)·∆t$.
• Закон сохранения импульса: если сумма всех внешних сил, действующих на тела, входящие в систему, равна нулю, то импульс системы тел в инерциальной системе отсчёта остаётся постоянным с течением времени: ${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2+...+{\overrightarrow{p}}_{\mathrm{n}}=\overrightarrow{p}{\text{'}}_1+\overrightarrow{p}{\text{'}}_2+...+\overrightarrow{p}{\text{'}}_{\mathrm{n}}$.

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Дайте определение импульса материальной точки.
2. Какие силы называются внешними, а какие внутренними? Приведите пример.
3. Сформулируйте закон сохранения импульса.

[/section]

[line][/line]