Конспект урока: Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами. Построение изображений, создаваемых тонкими рассеивающими линзами

Построение изображений, создаваемых тонкими собирающими линзами. Формула собирающей линзы. Линейное увеличение линзы

Рассмотрим пример построения изображения точечного источника света в тонкой собирающей линзе.
 

Обозначим расстояние от точечного источника света S до оптического центра собирающей линзы $a$, поместим источник S на расстояние $a$ = АО > F (рис. 1, а). Пусть расстояние от точечного источника до главной оптической оси равно h.
 

Проведём два луча: SC и SO. Луч SC параллелен главной оптической оси, следовательно, выходящий из линзы луч пройдёт через фокус F₂.

Рис. 1. Построение изображения точечного источника света в собирающей линзе

Луч SO проходит через оптический центр линзы, поэтому его направление не изменяется.

 

Как видно из рисунка, лучи SC и SO пересекутся в точке S₂, находящейся на расстоянии ${\mathrm{b}}_1$ = OB₁ от главной плоскости линзы и на расстоянии H₁ от главной оптической оси линзы.
 

Треугольники OAS и OB₁S₁ подобны по двум углам, тогда справедливо следующее отношение:
 

$\frac{h}{H_1}=\frac{a}{b_1}$.
 

Аналогично треугольники ОСF₂ и F₂B₁S₁ подобны по двум углам, тогда можно записать:

 

$\frac{h}{H_1}=\frac{F}{B_1{F}_2}\iff \frac{h}{H_1}=\frac{F}{b_1-F}$.
 

Приравняем формулы выше и преобразуем полученное выражение:

$\frac{a}{b_1}=\frac{F}{b_1-F}\iff a·b_1-a·F=F·b_1$.

Теперь поделим обе части равенства на выражение $\left(a·b_1·F\right)$ и получим
 

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b_1}$.

Найдём точку пересечения другой пары лучей, идущих от того же точечного источника света S (рис. 1, б).
 

Проведём луч SD через первый главный фокус линзы F. Такой луч при прохождении через собирающую линзу пойдёт параллельно её главной оптической оси. Выходящие из линзы лучи пересекутся в некоторой точке S₂, находящейся на расстоянии ${\mathrm{b}}_2$ = OB₂ от главной плоскости линзы и на расстоянии H₂ от главной оси линзы.

Треугольники OAS и OB₂S₂ подобны по двум углам, тогда справедливо следующее отношение:

$\frac{h}{H_2}=\frac{a}{b_2}$.
 

Аналогично треугольники FAS и FOD подобны по двум углам, тогда можно записать:

$\frac{h}{H_2}=\frac{AF}{OF}\iff \frac{h}{H_2}=\frac{a-F}{F}$.
 

Приравняем формулы выше и преобразуем полученное выражение:
 

$\frac{a}{b_2}=\frac{a-F}{F}\iff a·b_2-b_2·F=F·a\overline{):(a·b_2·F)}$;
 

$\frac{1}{F}=\frac{1}{b_2}+\frac{1}{a}$.

Сравним формулы: очевидно, что расстояния от главной оптической плоскости до точек S₁ и S₂ одинаковы: ${\mathrm{b}}_1={\mathrm{b}}_2$. Следовательно, равны и расстояния от точек S₁ и S₂ до главной оптической оси линзы H₁ = H₂.
 

Таким образом, положения точек S₁ и S₂ совпадают.
 

Любой другой луч, идущий от точечного источника S, будет проходить через точку S₁. Точку S₁, которая является точкой пересечения всех выходящих из линзы лучей от источника S, называют действительным изображением точечного источника S.
Перечислим свойства полученного изображения.

Из утверждения (4) следует, что изображения каждой точки стрелки, перпендикулярной главной оптической линзы, будут находиться на одинаковом расстоянии от главной оптической оси линзы.

Рис. 2. Построение изображения стрелки в собирающей линзе

Получается, что изображение стрелки будет также перпендикулярно главной оптической оси линзы. Изображение такой стрелки показано на рисунке 2. АВ — предмет в виде стрелки, находящийся на расстоянии $\mathrm{a}$, 
А₁В₁ — изображение данного предмета. В случае, если расстояние от предмета до главной плоскости линзы больше фокусного расстояния $\mathrm{a}$ > F, изображение предмета является перевёрнутым (обратным).

Длина H изображения будет больше размера предмета h во столько же раз, во сколько расстояние $\mathrm{b}$ больше $\mathrm{a}$: $\frac{H}{h}=\frac{b}{a}$ — это отношение называется линейным увеличением линзы Г.

Используя формулу $\frac{1}{F}=\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$ можно доказать, что при $F<a\le 2F$ расстояние от главной плоскости линзы до изображения больше удвоенного фокусного расстояния $b\ge 2F$, полученное изображение будет увеличенным $\mathrm{Г}\ge 1$.
 

В случае, если $a\ge 2F$, тогда $F<b\le 2F$, полученное изображение будет уменьшенным $0<\mathrm{Г}\le 1$.

Рис. 3. Построение изображения светящейся точки, находящейся между фокусом и главной плоскостью

 

Совсем иначе будет выглядеть изображение точечного источника света, расположенного на расстоянии от главной плоскости линзы, меньшем фокусного расстояния $a<F$. Построим такое изображение.
 

Пусть светящаяся точка находится на расстоянии $\mathrm{a}$ = АО от главной плоскости линзы и на расстоянии h от главной оптической оси (рис. 3).

Проведём луч SO, проходящий через оптический центр линзы, как известно, такой луч не отклонится от первоначального направления. Второй луч SC является продолжением прямой, соединяющей фокус линзы F с источником света S, такой луч после прохождения линзы пойдёт параллельно главной оптической оси. Понятно, что эти лучи никогда не пересекутся, тем не менее в точке S₁ пересекаются продолжения этих лучей — эта точка является мнимым изображением светящейся точки S. Получается, что, если предмет расположен на расстоянии, меньшем фокусного расстояния, от главной плоскости линзы, его изображение будет расположено с той же стороны, что и сам предмет.

Расстояние от светящейся точки до главной плоскости линзы составляет а = АО, расстояние от изображения светящейся точки до главной плоскости b = OB. Треугольники ASO и BS₁O подобны по двум углам, тогда справедливо равенство:
 

$\frac{h}{H}=\frac{a}{b}$
 

Аналогично треугольники FAS и FOС подобны по двум углам, тогда можно записать:
 

$\frac{h}{H}=\frac{AF}{OF}\iff \frac{h}{H}=\frac{F-a}{F}$.
 

Приравняем формулы выше и преобразуем полученное выражение:
 

$\frac{a}{b}=\frac{F-a}{F}\iff b·F-a·b=F·a\overline{):(a·b·F)}$;
 

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$.

В общем виде эти формулы можно записать в следующем виде:
 

$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}\pm \frac{1}{b}$,

где $\mathrm{b}$ > 0, если изображение является действительным;
$\mathrm{b}$ < 0, если изображение является мнимым.

Так, если бы между собирающей линзой и её первым фокусом был расположен предмет AS, его изображение соответствовало бы отрезку BS₁.

Итоги

• Если предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси собирающей линзы на таком расстоянии $\mathrm{a}$, что
  а) $F<a\le 2F$, то изображение предмета будет действительным, перевёрнутым и увеличенным;
  б) $a\ge 2F$, то изображение предмета будет действительным, перевёрнутым и уменьшенным;
  в) $a<F$, то изображение предмета будет мнимым, прямым и увеличенным.
• Формула тонкой собирающей линзы имеет следующий вид: $\frac{1}{F}=\frac{1}{a}\pm \frac{1}{b}$, где $\mathrm{b}$ > 0, если изображение является действительным;
  $\mathrm{b}$ < 0, если изображение является мнимым.
• Линейным увеличением линзы Г называется отношение линейных размеров изображения H к размерам предмета h: $\mathrm{Г}=\frac{H}{h}=\frac{b}{a}$.

Пример 1

 

Постройте изображение предмета АВ, расположенного перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы между вторым и третьим фокусом (рис. 4). Укажите свойства полученного изображения.

Рис. 4. К примеру 1

Решение
 

1. Для построения изображения точки А необходимо провести два луча: один из лучей двигается параллельно главной оптической оси и после прохождения линзы пересекает фокус справа от линзы; другой луч проведём через оптический центр линзы. Точка пересечения двух 
лучей — искомое изображение А’ точки А.

 

2. Выше было сказано, что изображения каждой точки стрелки, перпендикулярной главной оптической линзы, будут находиться на одинаковом расстоянии от главной оптической оси линзы.

 

3. Окончательно получим изображение А’В’ — рисунок 5.

Рис. 5. К решению примера 1

 

4. Перечислим свойства полученного изображения: действительное, перевёрнутое, уменьшенное.

 

Ответ: см. рис. 5; действительное, перевёрнутое, уменьшенное.