Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Физика
Расчёт количеств теплоты при теплообмене. Примеры решения задач

Физика 8 класс Физика 8 класс

Конспект урока: Расчёт количеств теплоты при теплообмене. Примеры решения задач

Молекулярная физика и термодинамика

17.01.2025

3515

Расчёт количеств теплоты при теплообмене. Примеры решения задач

План урока

Уравнение теплового баланса
Общая схема решения задач (на примере взаимодействия двух тел)
Примеры решения задач

Цели урока

знать, что такое уравнение теплового баланса; общую схему решения задач
уметь составлять уравнение теплового баланса; выражать неизвестную величину из уравнения

Разминка

Что такое удельная теплоёмкость вещества?
Как изменяется внутренняя энергия тела, если его температура растёт?
Как найти объём вещества, если дана его масса?

Уравнение теплового баланса

Вы уже познакомились с законом сохранения энергии в тепловых процессах, согласно которому энергия не может появиться из ниоткуда и исчезнуть бесследно.

На практике это означает, что, если система изолирована, при теплообмене двух тел количество энергии, отданное одним телом Q₁, будет равно количеству энергии, полученному вторым телом Q₂. То есть сколько тепла потеряло одно тело, ровно столько же тепла получит второе: |Q₁| = |Q₂|.

Вспомним, что в соответствии с правилом знаков, если тело получает тепло, то Q > 0, в противном случае Q < 0. Учитывая, что Q₁ и Q₂ равны по модулю, но имеют противоположные знаки, справедливо будет следующее равенство:

$Q_{1} + Q_{2} = 0$ .

Данное уравнение представляет собой уравнение теплового баланса для двух тел.

Так как взаимодействовать могут более двух тел, уравнение теплового баланса запишем в общем виде:

$Q_{1} + Q_{2} + . . . + Q_{n} = 0$ .

Если тела образуют замкнутую систему и между ними происходит только теплообмен, то алгебраическая сумма полученных и отданных количеств теплоты равна нулю.

Учитывая физический смысл уравнения теплового баланса, выражение можно записать в ином виде:

$\sum Q_{получ .} + \sum Q_{отд .} = 0$ .

Уравнение теплового баланса необходимо для решения любых задач, где осуществляется взаимодействие двух и более тел.

Общая схема решения задач (на примере взаимодействия двух тел)

1. Определить, является ли рассматриваемая система теплоизолированной. Чаще всего взаимодействием с окружающей средой — воздухом — можно будет пренебречь. Определить, какие тела обмениваются энергией.

2. Записать выражения для теплоёмкостей каждого из тел: $C_{1} = m_{1} \cdot c_{1}$ и $C_{2} = m_{2} \cdot c_{2}$ .

3. Записать выражения для разностей температур для каждого тела. Напомним, что теплоизолированная система обязательно придёт в состояние теплового равновесия: конечные температуры всех взаимодействующих тел будут равны. Отсюда, если t₃ — конечная температура первого тела, то конечная температура второго тела также t₃.

Пусть начальные температуры первого и второго тел t₁ и t₂, соответственно, первое тело менее нагрето t₁ < t₂, в этом случае первое тело получает тепло от второго и нагревается: t₃ – t₁ > 0; второе, напротив, отдаёт тепло и остывает: t₃ – t₂ < 0.

4. Записать выражения для количеств теплоты, полученных одними телами, и количеств теплоты, отданных другими телами. Количество теплоты, которое получает тело 1:

$Q_{1} = C_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) = m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})$ .

Количество теплоты, которое отдаёт тело 2:

$Q_{2} = C_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})$ .

5. Составить уравнение теплового баланса: $Q_{1} + Q_{2} = 0$ .

При этом тело 1 получает тепло, поэтому Q₁ > 0, а тело 2 отдаёт тепло, поэтому Q₂ < 0.

Подставим выражения выше, тогда уравнение теплового баланса принимает следующий вид:

$m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = 0$ или
$m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) = - m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})$ .

6. Решаем данное уравнение относительно неизвестной. Например, если нужно найти удельную теплоёмкость второго тела:

$c_{2} = - \frac{m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})}{m_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})}$ .

Примеры решения задач

Пример 1

Необходимо наполнить ванну водой, имеющей температуру 40 °С, используя горячую и холодную воду с температурами 70 °С и 15 °С соответственно. Какое количество холодной воды необходимо добавить к горячей воде массой 150 кг для достижения необходимой температуры?

Решение

1. В данном случае потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь, тогда в теплообмене участвуют горячая вода массой m₁ и холодная вода массой m₂.

2. Запишем выражения для теплоёмкостей каждого из веществ: $C_{1} = m_{1} \cdot c_{1}$ и $C_{2} = m_{2} \cdot c_{2}$ .

Удельная теплоёмкость горячей и холодной воды одинакова и равна $c_{1} = c_{2} = 4 200 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ .

3. Запишем выражения для разности температур каждого из веществ. Начальная температура горячей воды t₁; начальная температура холодной воды t₂. Температура получившейся смеси — t₃.

Так как в результате теплообмена горячая вода остывает, то t₃ – t₁ < 0.

При этом холодная вода нагревается, следовательно, t₃ – t₂ > 0.

4. Количество теплоты, которое отдаёт горячая вода:

$Q_{1} = C_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) = m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})$ .

Количество теплоты, которое получает холодная вода:

$Q_{2} = C_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})$ .

5. Составим уравнение теплового баланса: $Q_{1} + Q_{2} = 0$ .

В нашем случае горячая вода отдаёт тепло, поэтому Q₁ < 0; холодная вода получает тепло, поэтому Q₂ > 0.

Запишем уравнение теплового баланса с учётом формул, полученных в пункте 4:

$m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = 0$ .

6. Решаем уравнение, полученное в предыдущем пункте, относительно неизвестной. В данной задаче необходимо найти массу холодной воды m₂:

$m_{2} = - \frac{m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})}{c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})} = - \frac{150 \cdot 4 200 \cdot (40 - 70)}{4 200 \cdot (40 - 15)} = 180 кг$ .

Ответ: $180 кг$ .

Пример 2

В алюминиевую канистру массой 2 000 г налили 5 л тёплой воды. Найти температуру сосуда после установления теплового равновесия, если известно, что начальная температура воды 40 °С, алюминиевой канистры — 20 °С.

Решение

Прежде всего, найдём массу воды m₁ и переведём в СИ массу алюминия m₂:

$m_{1} = V \cdot ρ$ ,

где V — объём воды, ρ — плотность воды.

m₂ = 2 000 г = 2 кг; V = 5 л = 0,005 м³; ρ = 1 000 кг/м³.

$m_{1} = 0, 005 \cdot 1 000 = 5 кг$ .

1. В данном случае потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь, тогда в теплообмене участвуют вода массой m₁ и алюминий массой m₂.

2. Запишем выражения для теплоёмкостей каждого из веществ: $C_{1} = m_{1} \cdot c_{1}$ и $C_{2} = m_{2} \cdot c_{2}$ .

Из справочных таблиц находим удельные теплоёмкости воды и алюминия: $c_{1} = 4 200 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ ; $c_{2} = 900 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ .

3. Запишем выражения для разности температур каждого из веществ. Начальная температура воды t₁; начальная температура алюминия t₂. Температура термодинамической системы после установления теплового равновесия — t₃.

Так как в результате теплообмена вода остывает, то t₃ – t₁ < 0.

При этом алюминиевая канистра нагревается, следовательно, t₃ – t₂ > 0.

4. Количество теплоты, которое отдаёт теплая вода:

$Q_{1} = C_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) = m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})$ .

Количество теплоты, которое получает алюминий:

$Q_{2} = C_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2})$ .

5. Составим уравнение теплового баланса: $Q_{1} + Q_{2} = 0$ .

В нашем случае горячая вода отдаёт тепло, поэтому Q₁ < 0; алюминий получает тепло, поэтому Q₂ > 0.

Запишем уравнение теплового баланса с учётом формул, полученных в пункте 4:

$m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{2}) = 0$ .

6. Решаем уравнение, полученное в предыдущем пункте, относительно неизвестной. В данной задаче необходимо найти конечную температуру системы t₃:

$t_{3} = \frac{m_{1} \cdot c_{1} \cdot t_{1} + m_{2} \cdot c_{2} \cdot t_{2}}{m_{1} \cdot c_{1} + m_{2} \cdot c_{2}} = \frac{5 \cdot 4 200 \cdot 40 + 2 \cdot 900 \cdot 20}{5 \cdot 4 200 + 2 \cdot 900} \approx 38, 4 ° C$ .

Ответ: $38, 4 ° C$ .

Пример 3

В железном сосуде массой 1,5 кг находится 2 кг воды. Начальная температура сосуда и воды одинакова и равна 25 °С. В сосуд бросают горячий брусок массой 2,8 кг неизвестной теплоёмкости. Какова теплоёмкость неизвестного материала, если известно, что он остыл от
175 °С до 35 °С?

Решение

1. В данном случае потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь, тогда в теплообмене участвуют железный сосуд массой m₁, вода массой m₂ и неизвестное вещество массой m₃.

2. Запишем выражения для теплоёмкостей каждого из веществ: $C_{1} = m_{1} \cdot c_{1}$ ; $C_{2} = m_{2} \cdot c_{2}$ ; $C_{3} = m_{3} \cdot c_{3}$ .

Удельная теплоёмкость железа и воды равны $c_{1} = 450 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ и $c_{2} = 4 200 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ соответственно.

3. Запишем выражения для разности температур каждого из веществ. Начальная температура железа и воды одинакова и равна t₁; начальная температура горячего бруска t₂. Температура веществ после установления теплового равновесия — t₃.

В результате теплопередачи и железный сосуд, и вода нагреваются, тогда t₃ – t₁ > 0.

Горячий брусок остывает, поэтому t₃ – t₂ < 0.

4. Количество теплоты, которое получает железный сосуд:

$Q_{1} = C_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) = m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1})$ .

Количество теплоты, которое получает вода:

$Q_{2} = C_{2} \cdot (t_{3} - t_{1}) = m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{1})$ .

Количество теплоты, которое отдаёт брусок:

$Q_{3} = C_{3} \cdot (t_{3} - t_{2}) = m_{3} \cdot c_{3} \cdot (t_{3} - t_{2})$ .

5. Составим уравнение теплового баланса: $Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} = 0$ .

В нашем случае железный сосуд с водой получает тепло, поэтому Q₁ > 0 и Q₂ > 0; брусок неизвестной теплоёмкости отдает тепло, следовательно
Q₃ < 0.

Запишем уравнение теплового баланса с учётом формул, полученных в пункте 4:

$m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{3} \cdot c_{3} \cdot (t_{3} - t_{2}) = 0$ .

6. Решаем уравнение, полученное в предыдущем пункте, относительно неизвестной. В данной задаче необходимо найти теплоёмкость неизвестного вещества с₃:

$c_{3} = - \frac{m_{1} \cdot c_{1} \cdot (t_{3} - t_{1}) + m_{2} \cdot c_{2} \cdot (t_{3} - t_{1})}{m_{3} \cdot (t_{3} - t_{2})} = \frac{1, 5 \cdot 450 \cdot (35 - 25) + 2 \cdot 4 200 \cdot (35 - 25)}{2, 8 \cdot (175 - 35)} \approx 231, 5 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ .

По данным таблицы удельных теплоёмкостей можно определить, что неизвестное вещество — олово.

Ответ: $231, 5 \frac{Дж}{кг \cdot ° C}$ .

Упражнение 1

1. Необходимо наполнить ванну водой, имеющей температуру 30 °С, используя горячую и холодную воду с температурами 80 °С и 25 °С соответственно. Какое количество холодной воды необходимо добавить к горячей воде массой 60 кг для достижения необходимой температуры?

2. В медном калориметре массой 300 г находится 0,5 кг воды. Начальная температура сосуда и воды одинакова и равна 28 °С. В сосуд бросают горячий свинцовый брусок. Какова масса бруска, если известно, что он остыл от 200 °С до 40 °С?

3. Стальную деталь массой 0,5 кг опустили в керосин массой 2 кг. Найдите начальную температуру стали, если известно, что начальная температура керосина 80 °С, а после установления теплового равновесия температура стали составляет 200 °С.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается физический смысл уравнения теплового баланса?
2. Как связаны между собой теплоёмкость и удельная теплоёмкость?
3. Расскажите алгоритм решения задач на расчёт количеств теплоты при теплообмене.

Ответы

Упражнение 1

1. 600 кг

2. 1,2 кг

3. 2 216 °С

Предыдущий урок

Изменение внутренней энергии в общем случае. Закон сохранения внутренней энергии при тепловых процессах

Молекулярная физика и термодинамика

Следующий урок

Виды теплообмена

Молекулярная физика и термодинамика

Урок подготовил(а)

Андрей Михайлович

Учитель физики

Опыт работы: 12 лет

Вводные слова и вставные конструкции

Русский язык
Вынесение множителя за знак корня и внесение его под знак корня

Алгебра
Электромагнитные явления. Магниты и их свойства. Магнитное поле. Единица силы тока

Физика

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке