Конспект урока: Элементы статистики

Сбор и группировка статистических данных

Для изучения общественных, социальных, экономических и некоторых природных явлений проводят статистические исследования. 

Когда сложно или невозможно провести сплошное исследование, его заменяют выборочным . При выборочном исследовании из всей исследуемой совокупности данных, которая называется генеральной совокупностью , выделяется выборочная совокупность (выборка) , которая и подвергается исследованию. При этом выборка должна быть представительной или репрезентативной , т.е. достаточной по объему и отражающей характерные особенности исследуемой генеральной совокупности.

Для обобщения и систематизации данных, полученных в ходе статистического исследования, их по какому-либо признаку разбивают на группы и результаты, характеризующие каждую группу, сводят в таблицы.

Пусть 50 восьмиклассников выполнили контрольную работу по алгебре, содержащую 5 заданий. Учитель составил таблицу, в которой каждому числу верно выполненных заданий соответствует количество учащихся, выполнивших столько заданий, т.е.   частота появления этого числа в общем ряду данных.

Такую таблицу называют таблицей частот .

Если подсчитать сумму частот, то она равна 50, т.е. общему количеству учащихся. Вообще, сумма частот равна общему числу данных в ряду.

После сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, размах, мода, медиана. С ними мы знакомились ещё в курсе 7 класса. Вспомним определения основных статистических характеристик. 

Вернёмся к примеру. В данном случае среднее арифметическое – это отношение общего числа верно выполненных заданий на число учащихся,  т.е. на 50. Получаем

$\frac{1\cdot 1+2\cdot 1+3\cdot 17+4\cdot 20+5\cdot 11}{50}=\frac{189}{50}=3,78$.

Т.е. учащиеся в среднем выполняли примерно по 4 задания.

Наибольшее число выполненных заданий равно 5, наименьшее равно 1. Таким образом, размах рассматриваемого ряда равен $5-1=4$. 

Чаще всего встречаются работы, в которых верно выполнены четыре задания, т.е. мода ряда равна 4. 

Медина ряда равна среднему арифметическому двадцать пятого и двадцать шестого члена. Выясним, в какой группе они находятся. Сумма частот первых трех групп равна $1+1+17=19$. Тогда двадцать пятый и двадцать шестой члены располагаются в группе учащихся, выполнивших четыре задания, т.е. медиана ряда равна 4.

Часто в таблице для каждого данного указывают отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это число, выраженное в процентах, называют относительной частотой , а таблицу — таблицей относительных частот .

Сумма относительных частот в таблице 100%. Вообще. сумма относительных частот, полученных в результате любого исследования, равна 100%.

Если в ряду встречается большое число данных и одинаковые значения встречаются редко, то таблицы частот или относительных частот становятся ненаглядными и громоздкими. В этих случаях строят интервальный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим значениями делят на несколько равных частей и, округляя полученный результат, определяют длину интервала. Для каждого интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал или выраженное в процентах отношение этого числа к общей численности данных. При этом граничное число обычно считают относящимся к последующему интервалу. 

Пусть токари цеха затратили на обработку одной детали:

Для того, чтобы найти среднее время обработки детали составляют новую таблицу, в которой каждый интервал заменяют числом, которое является его серединой.

Для этого ряда найдем среднее арифметическое:

$\frac{19\cdot 6+21\cdot 8+23\cdot 6+25\cdot 2}{22}=\frac{470}{22}\approx 21$.

Подсчитывая число семян сорных растений в 15 одинаковых пакетах, получили такие данные:

3, 1, 0, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 0, 2.

Представьте эти данные в виде таблицы частот. 

В таблице показано, сколько деталей за смену обработали токари цеха:

Составьте таблицу относительных частот. Определите среднее арифметическое (округлите до ближайшего целого), размах, моду и медиану данного ряда данных.

Наглядное представление статистической информации

Статистическую информацию можно представлять различным образом. 

Столбчатые диаграммы используют, когда хотят показать изменение величины в динамике. 

Пусть 50 работников некоторого предприятия попросили оценить время, которое они в среднем тратят на проезд от дома до работы (с точностью до 10 минут).

Рис 1. Столбчатая диаграмма

Столбчатая диаграмма представлена на рисунке 1. Ширина прямоугольников произвольная. Высота равна числу работников, затративших определенное время проезда.

 

Давайте разобьем ряд на четыре группы: 10 – 30 минут, 40 – 60 минут, 70 – 90 минут, 100 – 120 минут. И посчитаем для каждой группы относительную частоту. Получим следующую таблицу.

Рис 2. Круговая диаграмма

По этой таблице можно построить круговую диаграмму . Одному проценту будет соответствовать 360°:100=3,6°. Для каждой группы данных определим соответствующий центральный угол:
 

3,6°∙34 =122,4°, 3,6°∙50 = 180°, 
3,6°∙10 = 36°, 3,6°∙6 = 21,6°.
 

Разбив круг на сектора получим круговую диаграмму, изображенную на рисунке 2.

 

Так же используют способ представления данных в виде ломаной, которую называют полигоном . 

Рис 3. Полигон

Для этого мы воспользуемся исходной таблицей данных. В координатной плоскости отметим точки, абсциссы которых это время проезда, а ординаты — число работников. Соединив точки, получим полигон (рис. 3). Так же вместо частот по оси ординат откладывают и относительные частоты.

 

Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм . Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников, т.е. основания строго определены длиной интервала. 

Рис 4. Гистограмма

Построим гистограмму для рассматриваемого ряда данных. Для этого воспользуемся таблицей частот нашего ряда данных. 
 

Время проезда, мин	10-30	40-60	70-90	100-120
Число работников	17	25	5	3

 

Гистограмма состоит из четырех прямоугольников, сумма высот которых равна числу работников, т.е. равна 50 (рис. 4).

В фермерском хозяйстве площади, отведенные под зерновые, распределены следующим образом: под пшеницу — 50%, под овес — 17%, а остальное — под просо и гречиху, причем под просо вдвое больше, чем под гречиху. Постройте круговую диаграмму, характеризующую распределение площадей, отведенных под посевы зерновых в этом хозяйстве.

Имеются данные о распределении участников похода по возрасту:

Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.

1. В каких случаях генеральная совокупность при исследовании заменяется выборочной? Каким условиям должна удовлетворять выборка?

2. Что называется гистограммой? Как изображается на гистограмме общий объем выборки?

Ответы

Упражнение 1

 

Число семян	0	1	2	3
Число пакетов	4	4	4	3

 

Упражнение 2

 

Число обработанных деталей	16	17	18	19	20
Относительная частота, %	18	22	20	24	16

 

18; 4; 19; 18

 

Упражнение 3