Построение треугольников по трем элементам

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Построение треугольника по трём элементам

План урока

Расстояние от точки до прямой;
Расстояние между параллельными прямыми;
Построение треугольника по трём элементам.

Цели урока

Знать, что называют расстоянием от точки до прямой;
Знать, что называют расстоянием между параллельными прямыми;
Уметь находить расстояние от точки до прямой, между параллельными прямыми при решении задач;
Уметь выполнять построение треугольника по трём элементам.

Разминка

Как найти расстояние между двумя точками?
Отметьте точку в любом месте тетрадного листа. С помощью линейки измерьте расстояние до границы тетрадного листа. Объясните, длину какого отрезка вы измерили?
Что называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой?

Расстояние от точки до прямой

Рис. 1. АР - перпендикуляр, АN - наклонная, РN - проекция наклонной

Пусть дана прямая $a$ и точка $A$ , не принадлежащая этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки $A$ к прямой $a$ , точка $P$ - основание перпендикуляра (рис. 1).

На прямой $a$ отметим любую точку $N$ , не совпадающую с точкой $P$ . Проведём отрезок $A N$ - это наклонная. Отрезок $P N$ называется проекцией наклонной $A N$ на прямую $a$ .

Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой .

Расстояние между параллельными прямыми

Теорема (свойство параллельных прямых)

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой

Доказательство

Рис. 2. Теорема (свойство параллельных прямых)

Рассмотрим прямые $a$ и $b$ , известно, что $a ∥ b$ . Пусть $A \in a$ . Проведём $A B$ так, что $A B ⊥ b$ (рис. 2). Надо доказать, что расстояние от любой точки $X$ ( $X \in a$ ) до прямой $b$ равно $A B$ .

Проведём $X P$ , $X P ⊥ b$ (рис. 3). Если $X P ⊥ b$ , $a ∥ b$ , значит, $X P ⊥ a$ .

Рис. 3. Точка Х - любая

Рассмотрим треугольники $A B P$ и $A X P$ . $A P$ - общая, $∠ 1 = ∠ 2$ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $A P$ . Тогда $∆ A B P = ∆ A X P$ по гипотенузе и острому углу. $A B = X P$ как соответствующие элементы в равных треугольниках.

Получили, что любая точка $X$ , лежащая на прямой $a$ , находится на расстоянии $A B$ от прямой $b$ .

Очевидно, что все точки прямой $a$ находятся на таком же расстоянии от прямой $b .$

Теорема доказана.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими (параллельными) прямыми .

Расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание (утверждение, обратное теореме):

Рис. 4. Рейсмус

Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой а и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.

Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая параллельная данной.

Рейсмус - инструмент, принцип работы которого основан на применении этого свойства. Если передвигать рейсмус вдоль края бруска, то металлическая игла прочертит отрезок прямой, параллельной краю бруска.

Пример 1

Рис. 5. Пример 1

В прямоугольном треугольнике $A B C$ катет $A C$ равен $3 с м$ , катет $B C$ равен $7 с м$ (рис. 5). Найдите расстояние:

от точки $A$ до прямой $B C$ ;
от точки $B$ до прямой $A C$ ;
может ли расстояние от точки $C$ до гипотенузы быть равным $5 с м$ ?

Решение

Расстояние от точки $A$ до прямой $B C$ - это длина отрезка $A C$ , $A C ⊥ B C$ , $A C = 3 с м$ .
Расстояние от точки $B$ до прямой $A C$ - это длина отрезка $B C$ , $B C ⊥ A C$ , $B C = 7 с м$ .
Расстояние от точки $C$ до прямой $A B$ - это длина отрезка $C M$ , $C M ⊥ A B$ . Рассмотрим треугольник $A C M$ , он прямоугольный, $A C$ - гипотенуза, $C M$ - катет. Гипотенуза всегда больше катета. $A C = 3 с м$ , тогда $C M$ не может быть равным $5 с м$ .

Ответ:

$3 с м$ ;
$7 с м$ ;
нет.

Упражнение 1

Рис. 6. Упражнение 1

1. Расстояние от точки $A$ до прямой $p$ равно $4 с м$ , расстояние от точки $B$ до прямой $p$ равно $5 с м$ (точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $p$ ). Может ли расстояние между точками $A$ и $B$ быть равным $8 с м$ ?

2. На рисунке 6 изображены параллельные прямые $m$ и $n$ , $M K = 10 с м$ , $∠ K M N = 60 °$ . Найдите расстояние между прямыми $m$ и $n$ .

Построение треугольника по трём элементам

Все построения выполняются с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабной шкалы, т. е. без делений.

Для решения задач на построение треугольника необходимо вспомнить пять простейших задач на построение:

построение отрезка, равного данному;
построение угла, равного данному;
построение биссектрисы угла;
построение перпендикулярных прямых;
построение середины отрезка.

Рис. 7. Задача 1

Задача 1

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение

По условию даны два отрезка и угол (рис. 7). Надо построить треугольник $A B C$ такой, что $A C = b$ , $B C = a$ , $∠ C = ∠ h k$ .

Рис. 8. Задача 1

Построим $∠ P C K = ∠ h k$ .
На луче $C K$ отложим отрезок $C B$ , равный $a$ .
На луче $C P$ отложим отрезок $C A$ , равный $b$ .
Проведём отрезок $A B$ .

$∆ A B C$ - искомый (рис. 8).

Рис. 9. Задача 2

Задача 2

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение

Рис. 10. Задача 2

По условию даны отрезок и два угла (рис. 9). Надо построить треугольник $A B C$ такой, что $B C = a$ , $∠ B = ∠ h k$ , $∠ C = ∠ m n$ .

Проведём прямую $n$ , на ней отложим отрезок $B C$ , равный $a$ .
Построим $∠ M B C$ , равный $∠ h k$ .
Построим $∠ B C K$ , равный $∠ m n$ .
Точка $A$ - точка пересечения лучей $B M$ и $C K$ .

$∆ A B C$ - искомый (рис. 10).

Рис. 11. Задача 3

Задача 3

Построить треугольник по трем его сторонам.

Решение

По условию даны три отрезка (рис. 11). Надо построить треугольник $A B C$ такой, что $A B = c$ , $B C = a$ , $A C = b$ .

Рис. 12. Задача 3

Проведём прямую $n$ , на ней отложим отрезок $A C = b$ .
Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$ .
Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$ .
Точка $B$ - одна из точек пересечения окружностей.

$∆ A B C$ - искомый (рис. 12).

Задача 3 не всегда имеет решение, т. к. должно выполняться неравенство треугольника.

Упражнение 2

Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при основании.

Контрольные вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до прямой?

2. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми?

3. Запомните алгоритмы решения трёх основных задач на построение треугольника.

Ответы

Упражнение 1

Рис. 13. Упражнение 1. Ответ

1. Нет (рис. 13)

$A B = A C + B C$ ,

$A C$ - гипотенуза в треугольнике $A C M$ ,

$A C$ больше катета, значит, $A C > 4 с м$ ;

$B C$ - гипотенуза в треугольнике $B C K$ , $B C$ больше катета, значит, $B C > 5 с м$ . Получили, что $A C > 8 с м$ .

2. $5 с м$ .

Упражнение 2

1. Построение:

Рис. 14. Упражнение 2. Ответ

построить прямой угол (построение перпендикулярных прямых);
на одной стороне прямого угла от вершины отложить отрезок, равный катету;
построить окружность, центром которой будет другой конец катета, радиус равен гипотенузе;
точка пересечения окружности и второй стороны прямого угла будет третьей вершиной искомого треугольника.

Рис. 15. Упражнение 2. Ответ

2. Решение задачи начнём с анализа. Допустим, что такой треугольник построен (рис. 14).

Построение сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам или к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними, но сначала надо построить угол, лежащий против основания, применяя теорему о сумме углов треугольника (рис. 15).

Конспект урока: Построение треугольников по трем элементам

Геометрические построения

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по трём элементам