Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Задачи на построение

Геометрические построения

Окружность. Построения циркулем и линейкой. Задачи на построение

План урока

  • Окружность;
  • Построения циркулем и линейкой;
  • Задачи на построение.

Цели урока

  • Знать определение окружности;
  • Знать элементы окружности;
  • Уметь применять знания при решении задач;
  • Уметь решать простейшие задачи на построение.

Разминка

  • Назовите простейшие геометрические фигуры.
  • Что такое отрезок?
  • Что такое луч?
  • Что такое угол?
  • Что такое треугольник?

Окружность


Рис. 1. Окружность с центром в точке О Рис. 1. Окружность с центром в точке О

Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

 

Данная точка называется центром окружности. 

 

Элементами окружности также являются радиус, хорда, диаметр.

Рис. 2. ОА - радиус окружности Рис. 2. ОА - радиус окружности

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности (рис. 2).

Рис. 3. ВС – хорда Рис. 3. ВС – хорда

Хорда  - отрезок, соединяющий две точки окружности (рис. 3).                  

Рис. 4. DF - диаметр Рис. 4. DF - диаметр

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности (рис. 4).                  


Все радиусы одной окружности равны.

Диаметр окружности в два раза больше радиуса.

Центр окружности является серединой диаметра.


Рис. 5. Дуги MTK и MBK Рис. 5. Дуги MTK и MBK

Дуга окружности - это часть окружности, ограниченная точками.

 

На рисунке 5 MTK и MBK – дуги, ограниченные точками M и K.

Рис. 6. Круг Рис. 6. Круг

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью (рис. 6).


На чертеже окружность изображают с помощью циркуля .

 

На местности окружность можно провести с помощью верёвки. Один конец верёвки закрепляют (это центр окружности). При движении человека вокруг центра, второй конец верёвки описывает окружность, радиус которой равен длине верёвки. 


Пример 1

Рис. 7. Пример 1 Рис. 7. Пример 1

Дана окружность с центром в точке O, отрезок KT=DM. Доказать, что KOT=DOM (рис. 7).


Решение

 

Рассмотрим KOT и DOM:

OK=OT=OD=OM - радиусы окружности,

KT=DM - по условию.

KOT=DOM  - по трём сторонам. 

 

Что и требовалось доказать.


Упражнение 1

Рис. 8. Упражнение 1 Рис. 8. Упражнение 1

1. На рисунке 8 дана окружность с центром в точке O и проведены отрезки. Назовите среди них радиусы, хорды, диаметры этой окружности.

Рис. 9. Упражнение 1 Рис. 9. Упражнение 1

2. На рисунке 9 дана окружность с центром в точке O. Сравните периметры COK и AOK, если AK больше CK на 8 см.

3. Дана окружность с центром в точке OKF и MH - диаметры. Докажите, что хорды KM и HF равны.


Построения циркулем и линейкой

 

С помощью только двух инструментов: циркуля и линейки (без масштабных делений) можно выполнить многие геометрические построения. 

 

С помощью линейки (без делений): провести произвольную прямую, построить прямую, проходящую через две точки.

 

С помощью циркуля: провести окружность произвольного радиуса, построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным некоторому отрезку.

 

В геометрии отдельно рассматривают задачи на построение, которые можно решить с помощью циркуля и линейки.

 

Задачи на построение


Задача 1

 

На данном луче от его начала построить отрезок, равный данному.


Решение

Рис. 10. Рис. 10.

Пусть AB - данный отрезок (рис. 10), OM - данный луч (рис. 10-1).

Рис. 10-1. Рис. 10-1.

Построим окружность с центром в точке O, радиус которой равен отрезку AB (рис. 10-2).

Рис. 10-2. Рис. 10-2.

Точка K - точка пересечения луча OM и окружности (рис. 10-2).

 

Отрезок OK – искомый.


Задача 2

 

Отложить от данного луча угол, равный данному.


Решение

Рис. 11. Рис. 11.

Пусть A - данный угол (рис. 11), OM – данный луч (рис. 11-1).

Рис. 11-1. Рис. 11-1.

1) Построим окружность с центром в вершине А данного угла, радиус - произвольный.

Рис. 11-2. Рис. 11-2.

2) Точки В и С - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 11-2).

Рис. 11-3. Рис. 11-3.

3) Построим окружность с центром в начале данного луча ОM и таким же радиусом. 

Точка Р - точка пересечения окружности и луча ОМ (рис. 11-3).

Рис. 11-4. Рис. 11-4.

4) Построим окружность с центром в точке P и радиусом, равным BC

Точка K - точка пересечения окружностей с центрами в точках O и P (рис. 11-4).

KOP - искомый.


Доказательство

Рис. 11-5. Рис. 11-5.

AC и AB - радиусы окружности с центром в точке AOP и OK – радиусы окружности с центром в точке O. По построение эти окружности имеют одинаковые радиусы, значит, AB=OK, AC=OP. По построению из пункта 3 CB=KP тогда ABC=OKP по трем сторонам 
(рис. 11-5). Треугольники равны, соответствующие элементы равны, т.е. KOP=BAC.

 

KOP - искомый.

 

Что и требовалось доказать.


Задача 3

 

Построить биссектрису данного угла.


Решение

Рис. 12 Рис. 12

Пусть A - данный угол (рис. 12). 

Рис. 12-1. Рис. 12-1.

1) Построим окружность с центром в точке A, радиус произвольный. Точки Bи C - точки пересечения окружности со сторонами данного угла (рис. 12-1).

Рис. 12-2. Рис. 12-2.

2) Построим окружность с центром в точке B радиуса BC и окружность с центром в точке C радиуса BC.

 

Точка E - точка пересечения этих двух окружностей.

Рис. 12-3. Рис. 12-3.

Луч AE - биссектриса данного угла (рис. 12-3).


Доказательство

 

Рассмотрим ABE и ACE, у них AE – общая сторона, AB=AC как радиусы окружности с центром в точке ABE=CE по построению, тогда ABE=ACE по трем сторонам. Из этого следует, что BAE=CAE, т.е. 
AE – биссектриса BAC.

 

Что и требовалось доказать


Задача 4

 

Построение перпендикулярных прямых

 

Дана прямая и лежащая на ней точка. Построить прямую, перпендикулярную к данной прямой и проходящую через данную точку.


Решение

Рис. 13. Рис. 13.

Пусть a - данная прямая, Ca  (рис. 13).

Рис. 13-1. Рис. 13-1.

1) Построим окружность с центром в точке C произвольного радиуса. Точки A и B - точки пересечения окружности с прямой a (рис. 13-1).

Рис. 13-2. Рис. 13-2.

2) Построим окружность с центром в точке A радиуса AB и окружность с центром в точке B радиуса AB.

Точки P и K - точки пересечения этих двух окружностей.

Прямая PC перпендикулярна прямой a.


Доказательство

Рис. 13-3. Рис. 13-3.

В APB AP=BP по построению, значит, APB – равнобедренный. AC=BC как радиусы окружности с центром в точке C, т.е. PC – медиана треугольника APB, а, значит, и высота по свойству равнобедренного треугольника, т.е. PCa.

 

Что и требовалось доказать.


Задача 5

 

Построение середины отрезка


Решение

Рис. 14. Рис. 14.

Пусть AB - данный отрезок (рис. 14).

Рис. 14-1. Рис. 14-1.

Построим окружность с центром в точке A радиуса AB и окружность с центром в точке B радиуса AB.

 

Точки P и K - точки пересечения этих двух окружностей 
(рис. 14-1).

Рис. 14-2. Рис. 14-2.

Прямая PK пересекает отрезок AB в точке C (рис. 14-2).

 

C - середина отрезка AB.


Доказательство

Рис. 14-3. Рис. 14-3.
APK=BPK - по трём сторонам, значит, 1=2 как соответствующие элементы в равных треугольниках.

APB - равнобедренный, PC - биссектриса, проведённая к основанию AB, значит, PC – медиана треугольника APB, т.е. AC=CB.


Упражнение 2

 

  1. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок PT, равный данному отрезку MH и постройте середину отрезка PT.
  2. Постройте угол AOK - острый. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису угла, смежного с углом AOK.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое окружность? 

2. Назовите элементы окружности.

3. Что такое центр, радиус, хорда, диаметр окружности.


Ответы

Упражнение 1

 

  1. Радиусы: OA, OC, OM, OP, OK. Хорды: AC, KM, PT, CP. Диаметры: CP, KM.
  2. Периметр треугольника AOK на 8 см больше.
  3. Указание: докажите, что KOM=HOF.

Предыдущий урок
Построение треугольников по трем элементам
Геометрические построения
Следующий урок
Признаки параллельности двух прямых
Параллельные прямые
  • Сила давления и давление. Атмосферное давление. Закон Паскаля

    Физика

  • Н и НН в причастиях

    Русский язык

  • Климат. Внутренние воды. Природные зоны

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке