Дыхательная и кровеносная системы, их роль в организме.

Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии

План урока

Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии
Задачи на закон сохранения механической энергии

Цели урока

узнать, что такое механическая энергия
знать формулировку закона сохранения механической энергии
научиться использовать закон сохранения механической энергии при решении задач

Разминка

Приведите примеры, где одни виды энергии превращаются в другие.
Автомобиль при торможении уменьшил свою скорость от некоторой начальной до нуля. Нулевой стала и его кинетическая энергия. Куда исчезла его начальная кинетическая энергия?

Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии

В природе есть множество примеров, когда одни виды энергии переходят в другие. Например, энергия электричества вращает электродвигатель, а он поднимает груз на некоторую высоту, сообщая ему потенциальную энергию. Автомобиль при торможении уменьшает свою кинетическую энергию, и она переходит в тепловую энергию деталей тормозов, колёс и асфальта. Молот станка падает вниз, его потенциальная энергия падает, но вместе с тем растут его скорость и его кинетическая энергия.

Очевидно, при анализе природных и технических процессов недостаточно рассматривать только один какой-то вид энергии. Нужно учитывать одновременно разные виды энергии, поскольку происходят взаимные переходы (превращения) одних видов в другие.

Так, в механике рассматривают сразу сумму потенциальной и кинетической энергии тел.

Сумму потенциальной П и кинетической K энергий называют механической энергией M системы тел: $E_{м е х} = П + К$ .

Многочисленные опыты показали, что если нет потери механической энергии системы тел на трение, либо эти потери компенсируются работой внешних сил, то механическая энергия системы тел сохраняется. Этот важный вывод называют законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии : механическая энергия $E_{м е х}$ системы тел в инерциальной системе отсчёта не изменяется, если суммарная работа внутренних сил трения A_тр и внешних сил A_ex равна нулю: П₀ + К₀ = П + К, если A_тр + A_ех = 0.

Здесь сокращение (ex) означает external — внешний.

К примеру, если мы ударим шайбу и она начнёт скользить по льду с некоторой начальной скоростью, то с течением времени из-за трения поверхности шайбы о лёд она остановится. Если же мы будем дуть на шайбу в направлении её движения так, чтобы компенсировать силы трения, то шайба будет двигаться с постоянной скоростью, т. е. её кинетическая энергия будет постоянной. Если поверхность льда горизонтальна, т. е. находится на одинаковой высоте над поверхностью Земли, то потенциальная энергия шайбы тоже будет постоянной. В итоге сумма потенциальной и кинетической энергии шайбы не изменится, т. е. её механическая энергия будет неизменной.

Гораздо чаще примеры движения тел более сложные, чем у шайбы. Например, тело, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли (h = 0) c начальной скоростью $v_{0},$ имеет начальную кинетическую энергию $K_{0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ и нулевую начальную потенциальную энергию П₀ = 0. Его механическая энергия в момент бросания равна начальной кинетической энергии:

$Е_{м е х} = П_{0} + К_{0} = 0 + \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

По мере подъёма тела вверх его скорость и кинетическая энергия уменьшаются, но растут высота и потенциальная энергия, так что сумма текущих потенциальной П и кинетической K энергий равна механической энергии в начальный момент:

$Е_{м е х} = П + К = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Наконец, в момент подъёма до максимальной высоты h_max скорость тела упадёт до нуля, его кинетическая энергия будет равна нулю, а вся механическая энергия перейдёт в потенциальную энергию:

$Е_{м е х} = m \cdot g \cdot h_{\max} + \frac{m \cdot 0^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h_{\max}$ .

Задачи на закон сохранения механической энергии

Чтобы лучше разобраться с превращениями энергии в рамках механической энергии, решим ряд задач на закон сохранения механической энергии.

Пример 1

Капля дождя падает из грозового облака с высоты 2 км. До какой скорости она бы разогналась в момент падения на землю, если бы трением о воздух можно было пренебречь?

Рис. 1. Грозовое облако

Решение

Начальная потенциальная энергия капли массой m на высоте h от поверхности Земли равна

$П_{0} = m \cdot g \cdot h$ ,

где g — ускорение свободного падения.

Кинетическая энергия капли в момент начала падения равна нулю:

K₀ = 0.

В момент падения капли на Землю её высота равна нулю, значит, равна нулю и её потенциальная энергия:

П = 0.

При этом её кинетическая энергия максимальна, т. к. капля набирает максимальную скорость $v$ :

$K = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Поскольку мы пренебрегаем трением о воздух, то выполняется закон сохранения механической энергии, т. е.:

П₀ + К₀ = П + К.

С учётом условий задачи:

$m \cdot g \cdot h + 0 = 0 + \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ ;

$m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Сократим на массу капли:

$g \cdot h = \frac{v^{2}}{2}$ .

Выразим скорость:

$v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2 000} = 200 м / с$ .

В реальности скорость крупной капли не превышает 9–10 м/с, а мелких капель ещё меньше из-за большого трения о воздух.

Ответ: $200 м / с$ .

Пример 2

Ручной пулемёт Калашникова имеет начальную скорость пули $v_{0}$ =
745 м/с. Если не было бы трения о воздух, то до какой максимальной высоты долетали бы его пули при вертикальной стрельбе?

Решение

Начальная кинетическая энергия пули массой m при начальной скорости $v_{0}$ равна:

$K_{0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

Начальная потенциальная энергия пули при нулевой высоте над поверхностью земли (h₀ = 0 ) равна нулю:

$П_{0} = m \cdot g \cdot h_{0} = 0$ .

В момент максимального подъёма пули её скорость нулевая и кинетическая энергия равна нулю:

$K = \frac{m \cdot v^{2}}{2} = \frac{m \cdot 0^{2}}{2} = 0$ .

Зато высота подъёма и потенциальная энергия пули в этот момент максимальны:

$П = m \cdot g \cdot h$ .

Пренебрегая трением о воздух и пользуясь законом сохранения механической энергии, получаем:

П₀ + К₀ = П + К;

$0 + \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h + 0$ ;

$\frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h$ .

Сокращаем массу пули и выражаем высоту её подъёма:

$\frac{{v_{0}}^{2}}{2} = g \cdot h$ ;

$h = \frac{{v_{0}}^{2}}{2 \cdot g} = \frac{745^{2}}{2 \cdot 10} = 27 751 м$ .

В реальности высота поднятия пули будет около 2,5–3 км, т. к. при больших скоростях трение о воздух очень велико.

Ответ: $27 751 м$ .

Пример 3

Мяч подбросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найдите его скорость на высоте 3 м.

Решение

Начальная кинетическая энергия мяча массой m при начальной скорости $v_{0}$ равна

$K_{0} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

Начальная потенциальная энергия мяча при нулевой начальной высоте равна нулю:

$П_{0} = 0$ .

Тогда в начальный момент его механическая энергия равна начальной кинетической энергии:

$М = П_{0} + K_{0} = 0 + \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} = \frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2}$ .

В момент подъёма до высоты h мяч обладает скоростью $v$ , поэтому имеет ненулевые потенциальную и кинетическую энергии. Механическая энергия мяча равна сумме этих энергий:

$М = П + К = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ .

Поскольку выполняется закон сохранения механической энергии, то приравниваем механическую энергию мяча в начальный момент броска и в момент подъёма до заданной высоты:

$\frac{m \cdot {v_{0}}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h + \frac{m \cdot v^{2}}{2}$ ;

Сокращаем на массу мяча и выражаем скорость:

$\frac{{v_{0}}^{2}}{2} = g \cdot h + \frac{v^{2}}{2}$ ;

$\frac{v^{2}}{2} = \frac{{v_{0}}^{2}}{2} - g \cdot h$ ;

$v^{2} = {v_{0}}^{2} - 2 \cdot g \cdot h$ ;

$v = \sqrt{{v_{0}}^{2} - 2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{10^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 3} = 6, 3 м / с$ .

Ответ: $6, 3 м / с$ .

Итоги

Сумму потенциальной П и кинетической K энергий называют механической энергией M системы тел: $Е_{м е х} = П + К$ .
Закон сохранения механической энергии : механическая энергия M системы тел в инерциальной системе отсчёта не изменяется, если суммарная работа внутренних сил трения A_тр и внешних сил A_ex равна нулю: П₀ + К₀ =
П + К, если A_тр + A_ех = 0.
Использование закона сохранения механической энергии существенно сокращает ход решения задач механики.

Упражнение 1

1. Мяч подбросили вертикально вверх от поверхности Земли с начальной скоростью 6 м/с. Определите максимальную высоту подъёма мяча и скорость мяча на высоте в половину меньшей, чем максимальная.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение механической энергии системы тел.
2. Как формулируется закон сохранения механической энергии?
3. Может ли механическая энергия системы тел не сохраняться?
4. Приведите пример, когда механическая энергия системы тел растёт.
5. Приведите пример, когда механическая энергия системы тел уменьшается.

Ответы

Упражнение 1

1. 1,8 м; 4,2 м/с.

Конспект урока: Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии

Законы сохранения в механике

Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической энергии

Задачи на закон сохранения механической энергии