Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Деление с остатком

Числа

Деление с остатком

План урока

  • Деление с остатком;
  • Решение заданий по теме.

Цели урока

  • Знать определение остатка от деления натуральных чисел;
  • Знать теорему о делении с остатком;
  • Уметь делить с остатком;
  • Знать алгоритм нахождения неполного частного и остатка при делении целых чисел; уметь применять его для решения заданий.

Разминка

  • Вспомните, что такое деление?
  • Всегда ли можно одно число разделить на другое?
  • Какие числа называются натуральными, а какие целыми?
  • Приведите примеры противоположных чисел.

Деление с остатком

 

Давайте еще раз вспомним о делении натуральных чисел. Мы говорим, что число a делится на число b, если существует некоторое натуральное число q (называется частным), что а=bq. Например, число 18 делится на 6. В этом случае частное q=3.

Однако чаще всего возникает ситуация, когда одно натуральное число не делится на другое и в результате деления получается остаток. Например, разделим 2538 на 17:

 

В этом случае мы получили неполное частное 149 и остаток, который равен 5. Тогда исходное число можно представить в виде:

 

2538=17·149+5

 

Заметим, что остаток 5 меньше делителя 17.

Если из числа 2538 вычесть остаток 5, то полученная разность будет делиться на 17, т.е. 2538-5=17·149.

Все подобные рассуждения будут верны для всех натуральных чисел. 


Если при делении числа a на число b получается неполное частное q и остаток r, то

 

a=bq+r,

 

при этом 0r<b (остаток меньше делителя).


Если a делится на b без остатка, то считается, что остаток от деления равен нулю, т.е. можно записать:

 

a=bq+0.

 

Если же a<b, то всё равно можно говорить о делении этих чисел с остатком. В этом случае неполное частное q будет равно нулю, а остаток от деления r будет равен a. Например, пусть a=3b=7. Тогда можно записать:

 

3=7·0+3.

 

Сформулируем определение остатка от деления натуральных чисел.


Число r называется остатком от деления натурального числа a на натуральное число b, если разность a-r делится на b (т.е. a-r =bq) и 0r<b.


Определение остатка позволяет разбить множество целых неотрицательных чисел на классы по остаткам от деления на заданное число. Общее количество этих классов равно количеству возможных остатков. Например, при делении числа на 5 возможны остатки 0, 1, 2, 3 и 4. Поэтому, множество всех целых неотрицательных чисел делится на пять классов:

 

числа вида 5q (делятся на 5 без остатка)

числа вида 5q+1 (делятся на 5 с остатком 1)

числа вида 5q+2 (делятся на 5 с остатком 2)

числа вида 5q+3 (делятся на 5 с остатком 3)

числа вида 5q+4 (делятся на 5 с остатком 4), где q=0, 1, 2, 

 

Данное определение остатка будет верно и для случая, когда a – целое число, 

а b – натуральное.

 

Например, пусть a=-8, b=3. Тогда частное равно -3, а остаток 1.

 

-8=3·(-3)+1 (при этом 01<3)

 

Чтобы лучше понять данный пример, представьте себе ситуацию, что три мальчика должны отдать девочкам 8 конфет. Если каждый из них принесёт по три конфеты, то после полного расчёта с девочками, у них останется 1 лишняя конфета.

 

Сформулируем теорему о делении с остатком.


Для любого целого числа a и целого числа b (b0) существует единственная пара чисел q и r, таких, что

 

a=bq+r,

при этом 0r<b.


Деление целых чисел с остатком

 

Рассмотрим алгоритм деления целых чисел с остатком.

 

Деление целого отрицательного числа а на натуральное число b 

(a<0b>0)

Деление натурального числа а на целое отрицательное число b 

(a>0b<0)

Деление целого отрицательного числа а на целое отрицательное число b 

(a<0b<0)

Делим а на b. Получаем неполное частное и остаток.Тогда q будет равно противоположному числу неполного частного минус 1. Остаток от деления находится по формуле r=а-bq.

Делим а на b. Получаем неполное частное и остаток. Тогда q будет равно противоположному числу неполного частного, а r равен остатку от деления.

Делим а на b. Получаем неполное частное и остаток.Тогда q будет равно неполному частному плюс 1. Остаток от деления находится по формуле r=а-bq.

Пусть а=-13b=4.

По алгоритму

-13: 4=3 (ост 1). Противоположное число неполному частному минус 1 будет равно -4. Найдем остаток 

r =-13-4·(-4)=

=-13+16=3

Тогда

-13=4·(-4)+3

Пусть а=13b=-4.

По алгоритму

13:-4=3 (ост 1).

Тогда

13=-4·(-3)+1

Пусть а=-13b=-4.

По алгоритму

-13:-4=3 (ост 1). Неполное частное плюс один будет равно 4. Найдем остаток 

r =-13-(-4)·4=

=-13+16=3

Тогда

-13=-4·4+3


Пример 1

Докажите, что сумма двух нечётных чисел есть чётное число.


Решение

 

Нечётное число – это число, которое не делится на 2. То есть при делении на 2 имеет остаток 1. Значит, любое нечётное число можно представить в виде 2n+1, где n-целое число.

Пусть первое нечётное число будет 2n+1, а второе 2m+1. Найдем их сумму:

 

(2n+1)+( 2m+1)=2(n+m)+2=2(n+m+1).

 

Число 2(n+m+1) будет являться чётным, так как при делении на 2 не имеет остатка.


Пример 2

Найдите частное и остаток от деления:

 

а) 128 на 6

б) – 24 на 5

в) – 5 на 7

г) 34 на – 8


Решение

 

а) Разделим 128 на 6 столбиком:

Неполное частное q=21, остаток r=2.

 

б) Разделим -24 на 5. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай a<0b>0. Разделим -24 на 5:

 

-24:5=4 (ост 4).

 

Тогда q=-4-1=-5, r =-24-5·(-5)=1

Действительно, -24=(-5)·5+1.

 

в) Разделим -5 на 7. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай a<0b>0. Разделим -5 на 7:

 

-5:7=0 (ост 5).

 

Тогда q=0-1=-1r =-5-7·(-1)=2.

Действительно, -5=7·(-1)+2.

 

г) Разделим 34 на -8. Воспользуемся алгоритмом, приведенным в таблице. Это случай a>0b<0. Разделим 34 на -8:

 

34:-8=4 (ост 2).

 

Тогда q=-4r=2

Действительно, 34=-8·(-4)+2.


Пример 3

Числа а и b при делении на 7 дают остатки 3 и 4 соответственно. Докажите, что их сумма делится на 7.


Решение

 

Число а можно представить в виде 7n+3, а число b в виде 7m+4, где n и m - некоторые целые числа. Тогда сумма а и b будет:

 

a+b=7n+3+7m+4=7(n+m)+7=7(n+m+1).

 

Данная сумма делится на 7 без остатка.


Упражнение 1

1. Докажите, что сумма чётного и нечётного числа будет нечётным числом.

2. Найдите частное и остаток от деления:

 

а) 14671 на 54

б) 17 на -5

в) 45 на -15

г) -17 на 5

д) -1404 на 26

е) -17 на -5 

ж) -521 на -12

 

3. Числа а и b при делении на 6 дают остатки 1 и 3 соответственно. Докажите, что их сумма является чётным числом.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте определение остатка при делении натуральных чисел.

2. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

3. На какие классы разбивается множество неотрицательных целых чисел по остаткам от деления на 2? На 3? На 7?

4. Опишите алгоритм нахождения неполного частного и остатка для каждого возможного случая.


Ответы

Упражнение 1

 

1. четное число – 2n, нечетное число – 2m+1; сумма 2n+2m+1=2(n+m)+1 – нечётное.

 

2. а)q=271r=37 

б) q=-3r=2 

в) q=-3r=0  

г) q=-4r=3

д) q=-54r=0  

е) q=4r=3  

ж) q=44r=7.

 

3. а=6n+1b=6m+3

а+ b=6n+1+6m+3=6n+6m+4=2(3n+3m+2) – чётное.

Предыдущий урок
Многочлен. Сложение и вычитание многочленов
Многочлены
Следующий урок
О простых и составных числах
Числа
  • Употребление причастий и деепричастий в речи

    Русский язык

  • Численность населения Земли. Размещение населения Народы и религии мира Хозяйственная деятельность людей. Городское и сельское население

    География

  • Линейное уравнение с двумя переменными и его график

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке