Конспект урока: О простых и составных числах

Определения простых и составных чисел

Примеры простых чисел: $2, 11, 17$.

Примеры составных чисел: $8, 12, 20$.

Простых чисел существует бесконечно много. 

Один из способов для отыскания простых чисел — это решето Эратосфена.

В настоящее время составлены таблицы, содержащие миллионы простых чисел.

Любое составное число можно разложить на простые множители единственным способом. 

При выполнении некоторых математических действий вычисления упрощаются, если применить разложение на простые множители.

Разложите на простые множители числа:

а) $24$; 

б) $164$;  

в) $1650$.

Решение

а) $24=4\cdot 6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=2^3\cdot 3$;

б) $164=4\cdot 41=2\cdot 2\cdot 41=2^2\cdot 41$;

в) $1650=165\cdot 10=2\cdot 5\cdot 5\cdot 3\cdot 11=2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 11$.

Ответ: а) $2^3\cdot 3$; б) $2^2\cdot 41$; в) $2\cdot 3\cdot 5^2\cdot 11$.

Нахождение наибольшего общего делителя чисел

Чтобы найти наибольший общий делитель для чисел $a$ и $b$ 

(пишут так: $НОД (a; b)$), надо:

1. разложить данные числа на простые множители;
2. выбрать из этих разложений одинаковые множители, взяв их в степени с наименьшим показателем, с какими они входят в эти числа;
3. найти произведение выбранных множителей.

Найдите $НОД (315; 450)$. 

Решение

$315=5\cdot 63=5\cdot 7\cdot 3\cdot 3=3^2\cdot 5\cdot 7$;

$450=5\cdot 90=5\cdot 3\cdot 30=5\cdot 3\cdot 5\cdot 2\cdot 3=2\cdot 3^2\cdot 5^2$;

$НОД (315; 450)=3^2\cdot 5=45$.

Ответ: $45$.

Нахождение наибольшего общего делителя с помощью разложения на простые множители удобно применять при сокращении дробей.

Сократите дробь: $\frac{315}{450}$ (см. разминку). 

Решение

$\frac{315}{450}=\frac{3^2\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 3^2\cdot 5^2}=\frac{7}{2\cdot 5}=\frac{7}{10}$;

сократили на $45$, т. к.  это наибольший общий делитель для чисел $315$ и $450$.         

Ответ: $\frac{7}{10}$.

Нахождение наименьшего общего кратного

Чтобы найти наименьшее общее кратное для чисел $a$ и $b$ (пишут так: $НОК (a; b)$), надо:

1. разложить данные числа на простые множители;
2. выписать разложение одного из них и добавить к нему недостающие множители из разложения другого числа;
3. найти произведение выписанных множителей.

Заметим, что если некоторый множитель входит в разложение каждого числа, то при нахождении НОК надо взять его в степени с наибольшим показателем. 

Найдите $НОК (336; 1440)$. 

Решение

$336=2^4\cdot 3\cdot 7$;

$1440=2^5\cdot 3^2\cdot 5$;

$НОК (336; 1440)=2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=10080$.

Ответ: $10080$.

Нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения на простые множители удобно применять при нахождении наименьшего общего знаменателя дробей.

Выполните сложение $\frac{1}{336}+\frac{1}{1440}$ (см. разминку).

Решение

$\frac{1}{336}+\frac{1}{1440}=\frac{1}{2^4\cdot 3\cdot 7}+\frac{1}{2^5\cdot 3^2\cdot 5}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 5}{2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7}+\frac{1\cdot 7}{2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7}=\frac{30+7}{2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7}=\frac{37}{10080}$.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное для чисел $336$ и $1440$.

С помощью НОК удобно находить дополнительные множители, применяя свойства степени:

$НОК \left(336; 1440\right)=2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=\underset{336}{\underbrace{2^4\cdot 3\cdot 7}}\cdot \underset{дополнительный множитель для первой дроби}{\underbrace{2\cdot 3\cdot 5}}$

$НОК \left(336; 1440\right)=2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=\underset{1440}{\underbrace{2^5\cdot 3^2\cdot 5}}\cdot \underset{дополнительный множитель для второй дроби}{\underbrace{7}}$

Ответ: $\frac{37}{10080}$.        

1. Объясните, как применить «решето Эратосфена» для отыскания простых чисел (найдите информацию в дополнительных источниках). С помощью «решета Эратосфена» отыщите простые числа  от 1 до 50.

2. Разложите на простые множители числа:

      а) $220$;   б) $600$;   в) $2646$;   г) $3213$.

3. Сократите дроби: а) $\frac{220}{600}$;   б) $\frac{2646}{3213}$.

4. Выполните сложение дробей: а) $\frac{1}{220}+\frac{1}{600}$;    б) $\frac{1}{2646}+\frac{1}{3213}$.