Цилиндр, конус, шар

План урока

Цилиндр
Конус
Шар

Цели урока

Знать тела вращения
Уметь выделять составные элементы тел вращения, находить площадь боковой поверхности цилиндра.

Разминка

Какие плоские геометрические фигуры вы знаете?
Что такое окружность и круг?
Что представляют собой грани прямоугольного параллелепипеда, пирамиды?

Вы уже знакомы с такими геометрическими телами как многогранники, у которых грани — многоугольники. В геометрии есть еще один класс фигур: тела вращения, т.е. тела, получаемые путем вращения плоской фигуры вокруг заданной оси. Сегодня мы познакомимся с тремя такими фигурами.

Цилиндр, шар и сфера — слова греческого происхождения, конус — латинское слово, заимствованное из греческого. В переводе на русский язык цилиндр — валик, каток; конус — затычка, втулка, сосновая шишка. Шар и сфера — происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» — мяч.

Рис. 1. Предметы цилиндрической формы

Евклид в 11-й книге «Начал» дал определение цилиндра, шара и конуса как тел вращения. Задача вычисления объёмов, идущая из практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил для вычисления объёмов (большей частью эмпирических). Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления объёмов от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила вычисления объёмов цилиндра, конуса, шара и их частей.

Рис. 2. Цилиндр

Предметы цилиндрической формы часто встречаются в быту. На рисунке 1 изображен пень, стакан, консервная банка. Все эти предметы имеют цилиндрическую форму.

Цилиндр можно получить путем вращения прямоугольника вокруг заданной оси. На рисунке 2 прямоугольник ABCD вращают вокруг его стороны CD.

Получившаяся объемная фигура — цилиндр, который состоит из боковой поверхности, образованной при вращении стороны АВ, и двух кругов, образованных при вращении сторон BC и AD. Эти круги называются основаниями цилиндра. Длина отрезка CD является высотой цилиндра, а AB — образующей цилиндра. Заметим, что AB = CD.

Рис. 3. Развертка цилиндра

Как и для любых объемных фигур, для цилиндра можно сделать его развертку.

На рисунке 3 показана развертка цилиндра. Длина стороны AB равна длине окружности основания цилиндра. Так как $l = 2 πr,$ а отрезок AM равен высоте цилиндра, обозначим ее h, то чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра (представляющего собой прямоугольник ABNM), нужно его ширину AM умножить на длину AB.

Формула площади боковой поверхности цилиндра

$S_{б о к} = 2 π r h$

Пример 1

Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания 4 см, а высота цилиндра равна 12,5 см.

Решение:

$S_{б о к} = 2 π r h = 2 \cdot 3, 14 \cdot 4 \cdot 12, 5 = 314$ см².

Ответ: 314 см².

Рис. 4. Конус

Конус

Конус получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одной из сторон, образующей прямой угол. На рисунке 4 изображен конус, полученный путем вращения прямоугольного треугольника АОВ вокруг стороны ВО. При вращении стороны АВ образуется боковая поверхность конуса, а при вращении ОА — основание конуса, имеющее форму круга.

Рис. 5. Развертка конуса

Отрезок ОВ — высота конуса, точка В — вершина конуса, отрезок АВ — образующая конуса.

На рисунке 5 изображена развертка конуса: круг и сектор. Отрезки АМ и AN равны образующей конуса, а длина дуги NM равна длине окружности, ограничивающей основание конуса.

Пример 2

Найти площадь основания конуса, если радиус основания равен 3,5 см.

Решение

Так как основанием конуса является круг, нам необходимо найти площадь круга:

$S_{к р} = π r^{2} = 3, 14 \cdot 3, 5^{2} = 38, 465$ см².

Ответ: $38, 465$ см².

Рис. 6. Шар

В обыденной жизни мы часто сталкиваемся с предметами, имеющими форму шара. Например, футбольный мяч, арбуз, глобус, апельсин, горошина, клубок ниток и др.

Шар получается путем вращения полукруга вокруг диаметра. Если мы будем вращать полуокружность, то получится сфера. Сфера является поверхностью шара.

Как и у окружности, у сферы и шара есть центр, радиус и диаметр. На рисунке 6 изображен шар с центром в точке О и радиусом R.

Рис. 7. Сечение шара плоскостью

Если мы возьмем апельсин и попробуем отрезать от него кусочек одним разрезом, то срез будет иметь форму круга. Такой «разрез» в геометрии называется сечением. Итак, сечением шара является круг, а сечением сферы — окружность. Если сечение провести через центр шара, то радиус сечения будет равен радиусу шара.

Пример 3

Найти радиус шара, если длина окружности его сечения, проходящего через центр шара, равна 50,24 см ( $π = 3, 14$ ).

Решение

Так как сечение шара является кругом и проходит через центр шара, то радиус сечения шара равен радиусу шара.

Выразим из формулы длины окружности радиус:

$l = 2 π r,$

$r = l : 2 π = 50, 24 : (2 \cdot 3, 14) = 8$ см.

Ответ: 8 см.

Упражнения

1. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его образующая — 11 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Радиус шара равен 12 см. Вычислите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара.

3. Длина окружности, ограничивающей сечение шара плоскостью, проходящей через его центр равна 21,98 см. Найдите радиус шара.

4. Диаметр трубы равен 50 см, а толщина ее стенок — 3 см. Хватит ли 2,5 кг краски, чтобы покрасить снаружи 10 м этой трубы, если на 1 м² её поверхности расходуется 150 г краски?

Контрольные вопросы

1. Что такое тела вращения?

2. Какие тела вращения вы знаете?

3. Как найти площадь боковой поверхности цилиндра?

4. Что называют основанием, боковой поверхностью и вершиной конуса?

5. Что такое сечение?

Ответы

1. 276,32 см²

2. 452,16 см²

3. 3,5 см

4. Нет, не хватит.