Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра

План урока

Тетраэдр
Построение сечений тетраэдра

Цели урока

Знать, что такое тетраэдр и как называются его элементы
Знать, что понимают под сечением тетраэдра
Уметь строить сечения тетраэдров

Разминка

Какая фигура на плоскости называется многоугольником?
Что представляет собой множество всех общих точек двух различных непараллельных плоскостей?
Две параллельные плоскости пересечены третьей (секущей) плоскостью. Что можно сказать о взаимном расположении прямых по которым секущая плоскость пересекает данные параллельные плоскости?
Боковые стороны трапеции параллельны плоскости $α$ . Параллельны ли плоскость $α$ и плоскость трапеции?
Прямая $a$ пересекает плоскость $α$ . Лежит ли в плоскости $α$ хоть одна прямая, параллельная прямой $a$ ?

Тетраэдр

Рис. 1

Рассмотрим произвольный треугольник $A B C$ и точку $S$ , не лежащую в плоскости этого треугольника (рис. 1). Соединим точку $S$ отрезками с вершинами треугольника $A B C$ . В результате получим треугольники $S A B, S B C, S C A$ . Пространственная фигура, состоящая из треугольников $A B C, S A B, S B C, S C A$ называется тетраэдром и обозначается $S A B C$ .

Тетраэдр является разновидностью многогранников, которым будет посвящена одна из глав курса стереометрии.

Тетраэдр – это многогранник, состоящий из треугольника, точки не лежащий в плоскости этого треугольника и трёх отрезков, соединяющих данную точку с вершинами данного треугольника.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями тетраэдра.

Стороны этих треугольников называются рёбрами тетраэдра.

Вершины этих треугольников называются вершинами тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер, четыре вершины.

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными .

На рисунке 1 грани - $A B C, S A B, S B C, S C A$ ; ребра - $S A, S B, S C, A B, A C, B C$ ; вершины - $S, A, B, C$ ; противоположные ребра - $S A$ и $B C, S B$ и $A C, S C$ и $A B$ .

Обычно тетраэдр изображают в выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. Невидимые линии отмечают штриховой линией ( $A C$ на рис. 1).

Одну из граней можно рассматривать как основание тетраэдра. В этом случае остальные грани называют боковыми .

Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным .

Упражнение 1

Изобразите треугольник $M N K$ и точку $E$ , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соедините отрезками точку $E$ с вершинами треугольника $M N K$ .

1) Запишите обозначение тетраэдра, изображённого на полученном рисунке, а также все грани, рёбра и вершины этого тетраэдра.

2) Запишите пары противоположных рёбер этого тетраэдра.

Построение сечений тетраэдра

При решении многих стереометрических задач, связанных с тетраэдром, важно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Разберём, что называют сечением тетраэдра.

Секущая плоскость тетраэдра – это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.

Секущая плоскость тетраэдра пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки представляет собой сечение тетраэдра.

Сечение тетраэдра – многоугольник, образованный пересечением плоскости с данным тетраэдром.

Тетраэдр имеет четыре грани, значит сечение тетраэдра не может иметь более четырёх сторон. Следовательно, сечением тетраэдра могут быть только треугольники и четырёхугольники.

При построении сечений тетраэдра достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами, затем провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, принадлежащие одной грани.

Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра.

Пример 1

Рис. 2

На рёбрах $S A, S B, S C$ тетраэдра $S A B C$ отмечены точки соответственно $M, N$ и $K$ (рис. 2). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $M N K$ .

Решение

Рис. 3

При построении сечений первым делом соединяем точки, лежащие на одних плоскостях (гранях). В данном случае точки $M$ и $N$ лежат в плоскости $A B S$ , поэтому их соединяем. Аналогично $N$ и $K, M$ и $K$ . Тогда плоскость $M N K$ пересекает грани тетраэдра по отрезкам $M N, N K$ и $M K$ . В совокупности плоскость представляет собой треугольник $M N K$ , который и является сечением данного тетраэдра.

Пример 2

На рёбрах $A B, S A, S C$ тетраэдра $S A B C$ отмечены точки соответственно $M, N$ и $K$ (рис. 4, а). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $M N K$ .

Решение

Рис. 4

Построим прямую, по которой плоскость $M N K$ пересекает плоскость грани $A B C$ .

Точка $M$ является общей точкой этих плоскостей. Чтобы построить ещё одну общую точку, продолжим отрезки $K N$ и $A C$ до их пересечения в точке $E$ (рис. 4, б), которая и является второй общей точкой плоскостей $M N K$ и $A B C$ .
Значит, эти плоскости пересекаются по прямой $M E$ . Прямая $M E$ пересекает ребро $B C$ в некоторой точке $Q$ . Четырёхугольник $M N K Q$ – искомое сечение.

Если точки $N$ и $K$ расположены таким образом, что прямые $N K$ и $A C$ параллельны, то прямая $N K$ параллельна грани $A B C$ и, следовательно, плоскость $M N K$ пересекает грань $A B C$ по некоторой прямой $M F$ , параллельной $N K$ .
Вторая общая точка плоскостей $A B C$ и $M N K$ (точка $Q$ ) находится на пересечении $M F$ и $B C$ (рис. 4, в).

Пример 3

Точка $M$ лежит на боковой грани $A B S$ тетраэдра $S A B C$ (рис. 5, а).

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно основанию $A B C$ .

Решение

Рис. 5

Так как секущая плоскость параллельна плоскости $A B C$ , то она параллельна прямым $A B, B C$ и $C A$ . Значит, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника $A B C$ . Проведём через точку $M$ прямую, параллельную отрезку $A B$ и обозначим буквами $X$ и $Y$ точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами $S A$ и $S B$ (рис. 5. б). Теперь через точку $X$ проведём прямую, параллельную отрезку $A C$ . Обозначим точку пересечения этой прямой с ребром $S C$ буквой $Z$ .

Проведем отрезок $Y Z$ .

Треугольник $X Y Z$ является искомым сечением.

Упражнение 2

Может ли сечением тетраэдра быть: 1) треугольник; 2) четырёхугольник; 3) пятиугольник.
В тетраэдре $S A B C$ точки $M, N, K$ – середины рёбер $S A, S B, S C$ соответственно. Найдите площадь сечения тетраэдра $S A B C$ плоскостью $M N K$ , если площадь треугольника $A B C$ равна 80 см².
Изобразите тетраэдр $S A B C$ и отметьте точку $M$ на ребре $A B$ . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно прямым $A C$ и $S B$ .

Контрольные вопросы

Какая геометрическая фигура называется тетраэдром?
Что называют сечением тетраэдра?
Какие геометрические фигуры могут являться сечением тетраэдра?

Ответы

Упражнение 1

Рис. 6

(рис. 6)

1) $E M N K$ .

2) грани - $M N K, E M K, E K N,$ $E N M$ ;

ребра - $E M,$ $E K, E N, M N, M K, N K$ ;

вершины - $M, N, K, E$ ;

противоположные ребра - $M K$ и $E N, M N$ и $E K, K N$ и $E M$ .

Упражнение 2

Рис. 7

1) может; 2) может; 3) не может.
20 см².
Через точку $M$ проведём прямую $a$ , параллельную $A C$ ; обозначим точку пересечения прямых $a$ и $B C$ буквой $X$ .
Через точку $M$ проведём прямую $b$ , параллельную $S B$ ; обозначим точку пересечения прямых $b$ и $S A$ буквой $Y$ .
Через точку $Y$ проведём прямую $c$ параллельную $A C$ ; обозначим точку пересечения прямых $c$ и $S C$ буквой $Z$ .
Четырёхугольник $M X Z Y$ – искомое сечение.

Конспект урока: Тетраэдр. Построение сечений тетраэдра

Пирамида