Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Знаковые модели

План занятия

Введение в тему
Словесные модели
Математические модели
Компьютерные математические модели

Цели занятия

изучить особенности словесных моделей
повторить основные логические операции и их обозначения
научиться строить математические модели

Разминка

Какие модели называют информационными?
Перечислите этапы построения информационных моделей.

Введение в тему

К знаковым моделям относят словесные описания и различные математические формулы. Словесные модели представлены в учебной, художественной и научной литературе. Математические модели используются не только в математике, но и в других предметах естественно-научного цикла, таких как физика, химия, биология, информатика и др.

Умение понимать, анализировать и строить словесные и математические модели входит в универсальные учебные действия, которыми необходимо владеть каждому обучающемуся.

Словесные модели

Словесные модели — это информационные модели, представляющие собой описания предметов, явлений, событий, процессов на естественном языке.

Литературное произведение можно назвать словесной моделью, потому что в ходе анализа из него можно выделить различные элементы, свойственные информационным моделям, например, определить объекты моделирования, выделить цели моделирования и существенные признаки. Формализацией в данном случае выступит форма, в которой записано данное произведение (стихотворение, рассказ и др.), а информационной словесной моделью будет выступать само произведение.

Особенностями словесных моделей являются:

Большое количество разных слов.
Использование слов в прямом и переносном смыслах.
Эмоциональность и красочность речи.

Все эти особенности позволяют сформировать в воображении человека образы литературных героев, а также сюжет произведения, но вместе с тем делают естественный язык непригодным для создания профессиональных информационных моделей (например, написание компьютерных программ).

Математические модели

Математические модели — это информационные модели, построенные с использованием математических понятий и формул.

Математические модели имеют различное отображение в зависимости от предметной области.

Рассмотрим пример решения задачи механики (раздел физики) путём построения математической модели.

Пример 1

Снаряд выпущен с Земли с начальной скоростью под углом к её поверхности. Найти формулы траектории его движения и расстояния S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Перед решением задачи опишем ряд допущений:

Земля — это ровная плоская поверхность.
Вращение Земли не влияет на движение снаряда.
Сопротивление воздуха не влияет на движение снаряда.
Размером снаряда будем пренебрегать, приняв его за материальную точку.

Решение

Построим график, отражающий траекторию движения снаряда под углом к поверхности Земли (рис. 1).

Рис. 1. График, отражающий траекторию движения снаряда под углом к поверхности

Как известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

$χ = t ϑ_{0,} \cos (α)$ , $γ = t_{0} \sin (α) - \frac{g t_{}}{2}$ , где

t — время,

g — ускорение свободного падения.

Выразим время из первого уравнения и подставим во второе, чтобы получить уравнение траектории движения снаряда:

$γ = x t g (α) - \frac{x^{2} g}{2 {ϑ_{0}}^{2} \cos^{2} (α)}$ .

Изображённая на рисунке 1 кривая пересекает ось $χ$ в двух точках: $χ_{1} = 0$ (начало траектории движения) и $x_{2} = S = \frac{{ϑ_{0}}^{2}}{g} \sin 2 α$ (место падения снаряда).

Ответ

a) уравнение траектории движения снаряда: $γ = x t g (α) - \frac{x^{2} g}{2 {ϑ_{0}}^{2} \cos^{2} (α)}$

б) уравнение расстояния между начальной и конечной точками данной траектории: $S = \frac{{ϑ_{0}}^{2}}{g} \sin 2 α$

Полученные формулы описывают математическую модель решения поставленной задачи.

Все математические модели представляют собой совокупность формальных языков. Из школьного курса математики известными формальными языками являются алгебраический и геометрический. В информатике, когда речь идёт об арифметико-логическом устройстве компьютера, помощью булевой алгебры (алгебра логики) строят математические (логические) модели.

Логические модели формируются из логических выражений, состоящих из высказываний. Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить, как истинное или ложное (обозначается заглавной буквой латинского алфавита). Чтобы образовалось логическое выражение, необходимо объединить высказывания с помощью логических связок. Ниже представлена таблица с основными логическими связками (таб. 1).

Таблица 1. Основные логические связки

Вспомним основные определения алгебры логики и таблицы истинности основных логических операций.

Инверсия (логическое отрицание) — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.

Построим таблицу истинности инверсии (таб. 2).

Таблица 2. Таблица истинности инверсии

Конъюнкция (логическое умножение) — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Построим таблицу истинности конъюнкции (таб. 3).

Таблица 3. Таблица истинности конъюнкции

Дизъюнкция (логическое сложение) — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Построим таблицу истинности дизъюнкции (таб. 4).

Таблица 4. Таблица истинности дизъюнкции

Импликация (логическое следование) — это логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь.

Построим таблицу истинности импликации (таб. 5).

Таблица 5. Таблица истинности импликации

Эквивалентность (логическая равнозначность) — это логическое выражение, которое является истинным тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Построим таблицу истинности эквивалентности (таб. 6).

Таблица 6. Таблица истинности эквивалентности

Разберем следующий пример с помощью алгебры логики.

Пример 2

Рассмотрите электрические схемы параллельного и последовательного соединения переключателей (рис. 2).

Рис. 2. Электрические схемы параллельного и последовательного соединения

В случае последовательного соединения переключателей (рис. 2а) для того, чтобы загорелась лампочка, необходимо включить оба переключателя. В случае параллельного соединения переключателей (рис. 2б), чтобы загорелась лампочка, достаточно включить хотя бы один (любой) из переключателей.

Опираясь на данные рис. 2 и пояснения к нему, можно сравнить элементы электрических схем с объектами, состояниями и логическими связками алгебры логики (таб. 7).

Таблица 7. Сравнение элементов электрических схем

Представим практическую задачу, которую можно решить с помощью имеющихся электрических схем и их логических описаний.

Задача

Идёт музыкальный конкурс. В нём принимает участие большое количество танцоров. Жюри конкурса представляют три выдающихся артиста: один председатель конкурса и два члена конкурсной комиссии. Состояние лампочки показывает итог голосования за человека, принимающего участие конкурсе. Если состояние лампочки «включено», то это означает, что «за» проголосовало всё жюри или председатель с одним из членов комиссии. Необходимо построить логическую модель, позволяющую на своей основе спроектировать электрическую цепь.

Решение

1. Обозначим председателя и членов комиссии буквами латинского алфавита:

A — председатель,

B — 1-й член комиссии,

С — 2-й член комиссии.

2. Составим выражения, учитывающие все возможные случаи голосования, когда будет загораться лампочка:

f₁= A & B & C,

f₂= A & B,

f₃= A & C.

3. Объединим все три случая дизъюнкцией и составим одно общее логическое выражение:

F = A & B & C v A & B v A & C.

4. Упростим логическое выражение:

F = A & B & C v A & B v A & C =

=A & B & ( C v 1) v A & C =

= A & B & 1 v A & C=

= A & B v A & C =

= A & (B v C).

Полученное выражение является логической моделью электрической цепи.

5. Спроектируем схему электрической цепи (рис. 3).

Рис. 3. Схема электрической цепи

Построенная электрическая цепь отражает логическую модель
F = A & (B v C).

Компьютерные математические модели

До появления компьютеров сложные процессы, связанные с математическими расчётами, учёным приходилось делать вручную. Такой процесс мог занимать достаточно много времени, а большая сложность вычислений повышала вероятность допущения ошибок. Ситуация значительно улучшилась с появлением программных средств, автоматизирующих математические вычисления.

Компьютерные математические модели — это модели, реализованные с помощью систем программирования, электронных таблиц, специализированных математических пакетов и программных средств для моделирования. Исходя из данного определения, несложно определить, какими программными средствами можно воспользоваться, чтобы реализовать математическую модель:

системы и среды программирования (КуМир, Lazarus, VisualStudio и др.);
электронные таблицы (Microsoft Excel, LibreOffice Calc и др.);
специализированные математические пакеты (MathCad, MathLab,
Maple и др.);
программные средства для моделирования (TinkerCAD, FreeCAD и др.).

Реализацией математической модели является расчёт состояния выходных параметров моделируемой системы по формулам, связывающим её входные и выходные параметры.

Сложность модели определяется сложностью входящих в неё элементов. В компьютерном математическом моделировании встречаются настолько сложные объекты, процессы или явления, что смоделировать их поведение без компьютера является невозможным. Примерами таких систем являются системы массового обслуживания, поведение различных живых организмов и др. В таком случае прибегают к имитационному моделированию.

Имитационная модель — математическая модель, воспроизводящая поведение сложной системы, элементы которой могут вести себя произвольным (случайным) образом.

Имитационное моделирование — метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе.

Для имитационного моделирования характерно наличие следующих обстоятельств (одновременно всех или некоторых из них):

объект моделирования — сложная неоднородная система;
в моделируемой системе присутствуют факторы случайного поведения;
требуется получить описание процесса, развивающегося во времени;
принципиально невозможно получить результаты моделирования без использования компьютера.

Исследование с помощью имитационного моделирования организуется следующим образом:

Вместо проведения эксперимента с реальным объектом проводят искусственные эксперименты с его моделями.
Для получения достоверной информации используют многократное повторение одних и тех же операций со случайными исходными данными подобранными компьютером.
После проведения серии испытаний у исследователей появляется большое количество данных, которое они могли бы получить при проведении массового эксперимента на реальном оборудовании или в реальных условиях.

В результате к имитационному моделированию обращаются в следующих случаях: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Контрольные вопросы

Какие модели называют словесными описаниями?
Какие модели называют математическими?
Чем отличаются компьютерные математические модели от математических моделей?
Какие модели называют имитационными? Приведите пример имитационной модели.
В каких случаях строят имитационную модель?

Конспект урока: Знаковые модели

Моделирование и формализация

Введение в тему

Словесные модели

Математические модели

Компьютерные математические модели