Конспект урока: Преобразование энергии при механических колебаниях

Преобразования энергии при механических колебаниях

Рассмотрим превращения энергии, происходящие в процессе движения пружинного маятника (рис. 1).
 

Нам уже известно, что механическая энергия системы E_мех изменится только при совершении работы внутренними силами трения или в случае совершения работы над телами системы внешними силами.
 

Пусть в колебательной системе сумма работ сил трения и внешних сил равна нулю: A_тр + A_ex = 0. Тогда, согласно закону сохранения механической энергии, механическая энергия системы остаётся неизменной с течением времени:

$E_{\mathrm{мех}}=E_{\mathrm{мех}0}$ или $E_{\mathrm{кин}0}+E_{\mathrm{пот}0}=E_{\mathrm{кин}}+E_{\mathrm{пот}}$.

Рис. 1. Превращения энергии в пружинном маятнике

 

Пусть маятник начинает движение из крайнего правого положения, соответствующего координате х = х_max.
 

В данной точке пружина максимально растянута, потенциальная энергия пружины равна:

 

$E_{\mathrm{пот}0}=\frac{k·x_{\max }^2}{2}$.

Скорость тела в данной точке равна нулю, а значит и кинетическая энергия тоже равна нулю:
 

$E_{\mathrm{кин}0}=0$.

Тогда механическая энергия системы равна:
 

$E_{\mathrm{мех}0}=E_{\mathrm{пот}0}=\frac{k·x_{\max }^2}{2}$.
 

Двигаясь к положению равновесия, смещение тела уменьшается, а скорость растёт. В некоторый момент времени, когда маятник находится между точками с координатами х = х_max и х = 0, координата тела равна х, а скорость — $v$.
 

Тогда потенциальная энергия маятника в данный момент времени равна
 

$E_{\mathrm{пот}1}=\frac{k·x^2}{2}$.
 

Кинетическая энергия в рассматриваемый момент времени равна
 

$E_{\mathrm{кин}1}=\frac{m·v^2}{2}$.

Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы:
 

$E_{\mathrm{мех}1}=E_{\mathrm{пот}1}+E_{\mathrm{кин}1}=\frac{k·x^2}{2}+\frac{m·v^2}{2}$.
 

Оказавшись в точке с координатой х = 0, система пришла в положение равновесия. Пружина находится в недеформированном состоянии, смещение тела равно нулю, следовательно, потенциальная энергия пружины также равна нулю:
 

$E_{\mathrm{пот}2}=0$.
 

С другой стороны, в данной точке шарик достиг максимального значения своей скорости $v_{\max }$, тогда кинетическая энергия тела в данной точке равна:
 

$E_{\mathrm{кин}2}=\frac{m·v_{\max }^2}{2}$.
 

Тогда механическая энергия системы равна:
 

$E_{\mathrm{мех}2}=E_{\mathrm{кин}2}=\frac{m·v_{\max }^2}{2}$.

Учтём, что по закону сохранения энергии механическая энергия во всех рассмотренных моментах времени одинакова:
 

$E_{\mathrm{мех}}=E_{\mathrm{мех}0}=E_{\mathrm{мех}1}=E_{\mathrm{мех}2}$.
 

В соответствии с уравнениями выше получаем:
 

$E_{\mathrm{мех}}=\frac{k·x_{\max }^2}{2}=\frac{k·x^2}{2}+\frac{m·v^2}{2}=\frac{m·v_{\max }^2}{2}$.

Проанализируем полученное выражение.
 

Во-первых, отметим, что в процессе колебательного движения сумма кинетической и потенциальной энергий $\frac{k·x^2}{2}+\frac{m·v^2}{2}$ остаётся постоянной. Если пружина растягивается, то есть увеличивается первое слагаемое, то скорость тела уменьшается — уменьшается второе слагаемое. Если увеличивается потенциальная энергия колебательной системы, одновременно уменьшается кинетическая энергия.
 

Во-вторых, из равенства выше следует, что максимальная потенциальная энергия колебательной системы равна максимальной кинетической энергии.
 

Наконец, используем это соотношение, чтобы вывести формулы максимальной скорости и максимального смещения маятника:

$v_{\max }=x_{\max }·\sqrt[2]{\frac{k}{m}}$;

$x_{\max }=v_{\max }·\sqrt[2]{\frac{m}{k}}$.

Таким образом, чем больше амплитуда колебаний пружинного маятника, тем большую скорость он разовьёт при прохождении положения равновесия. Чем больше скорость маятника, тем больше величина его смещения относительно положения равновесия.

Соотношение выше также позволяет найти скорость маятника, если известна амплитуда колебаний и текущее положение:

$v=\sqrt[2]{\frac{k}{m}·(x_{\max }^2-x^2)}$,

а также найти координату маятника в любой момент времени, если известна максимальная скорость в положении равновесия и скорость в рассматриваемый момент времени:

$x=\sqrt[2]{\frac{m}{k}·(v_{\max }^2-v^2)}$.

Полученные закономерности справедливы и для математического маятника: если механическая энергия в процессе колебательного движения остаётся неизменной, то при прохождении положения равновесия маятник имеет максимальную скорость и максимальную кинетическую энергию, при удалении от положения равновесия кинетическая энергия маятника уменьшается, а потенциальная энергия увеличивается до некоторого максимального значения. При движении к положению устойчивого равновесия, напротив, кинетическая энергия маятника увеличивается, а потенциальная уменьшается.

Период колебаний пружинного и математического маятников

Выражение $v_{\max }=x_{\max }·\sqrt[2]{\frac{k}{m}}$ показывает, что модуль максимальной скорости грузика увеличится при увеличении жёсткости пружины и уменьшении массы груза. Чем быстрее движется маятник, тем меньше период его колебаний.
 

Понятно, что возвращающая сила упругости в колебательной системе будет тем больше, чем больше коэффициент жёсткости пружины k. С другой стороны, чем легче грузик, тем он менее инертен, тем больше будет его скорость. С точки зрения динамики также получается, что скорость маятника будет тем больше, чем больше коэффициент жёсткости и чем меньше масса груза.
 

Зависимость между периодом колебаний пружинного маятника, жёсткостью пружины и массой груза установлена экспериментально:

$T=2·\pi ·\sqrt[2]{\frac{m}{k}}$,

где T [с] — период колебаний пружинного маятника;
m [кг] — масса колеблющегося груза;
k [Н/м] — коэффициент жёсткости.

Формула выше показывает, что при увеличении массы груза в 9 раз период колебаний маятника увеличится в 3 раза; при увеличении жёсткости пружины в 16 раз период колебаний уменьшится в 4 раза.
 

Период колебаний математического маятника не зависит от массы колеблющегося груза. Это связано с тем, что и кинетическая энергия груза, и его потенциальная энергия прямо пропорциональны массе груза. Период колебаний математического маятника зависит только от длины нити:

$T=2·\pi ·\sqrt[2]{\frac{l}{g}}$,

где T [с] — период колебаний математического маятника;
$l$ [м] — длина нити;
g = 10 м/с² — модуль ускорения свободного падения.

Таким образом, при уменьшении длины нити маятника в 4 раза период колебаний математического маятника уменьшится в 2 раза.

Эту формулу можно объяснить с точки зрения динамики движения груза: чем больше ускорение свободного падения, тем больше возвращающая сила тяжести, действующая на груз, тем больше его скорость и тем меньше период колебаний маятника.

Итоги

• Механическая энергия пружинного маятника при отсутствии потерь энергии в системе в любой момент времени постоянна и равна: $E_{\mathrm{мех}}=\frac{k·x_{\max }^2}{2}=\frac{k·x^2}{2}+\frac{m·v^2}{2}=\frac{m·v_{\max }^2}{2}$.
• Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника, состоящего из груза массой m и лёгкой пружины жёсткостью k, равен $T=2·\pi ·\sqrt[2]{\frac{m}{k}}$.
• Период свободных гармонических колебаний математического маятника, длина нити которого равна l, рассчитывается по следующей формуле: $T=2·\pi ·\sqrt[2]{\frac{l}{g}}$.