Конспект урока: Решение задач. Смешанное соединение проводников. Электрические цепи. Измерение токов и напряжений в цепи

Если в электрической цепи одновременно присутствуют и последовательное, и параллельное соединения проводников, такое соединение называют смешанным.

Пример 1

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

Найти общее сопротивление участка цепи, представленного на рисунке 3, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 2 Ом.

Решение

Рис. 4. Эквивалентные схемы сложной цепи

Пронумеруем резисторы (рис. 4, а). Проводники 1 и 2 соединены параллельно, найдём их общее сопротивление R₁₂:
 

$\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$;

 

$R_{12}=1 \mathrm{Ом}$.
 

Проводники 3 и 4 соединены последовательно, найдём их общее сопротивление R₃₄:
 

$R_{34}=R_3+R_4=2+2=4 \mathrm{Ом}$.
 

Проводники 1 и 2 можно заменить на один проводник сопротивлением R₁₂, проводники 3 и 4 — на проводник R₃₄. В результате получаем упрощённую эквивалентную схему, представленную на рисунке 4, б.

Из рисунка 4, б видно, что проводники 12 и 5 соединены последовательно, найдём их общее сопротивление R₁₂₅:
 

$R_{125}=R_{12}+R_5=1+2=3 \mathrm{Ом}$.
 

Заменяем два проводника 12 и 5 на один проводник сопротивлением R₁₂₅, получаем эквивалентную схему, состоящую из трёх резисторов 
(рис. 4, в). Находим общее сопротивление проводников 125 и 34:

$\frac{1}{R_{12345}}=\frac{1}{R_{125}}+\frac{1}{R_{34}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}$;

$R_{12345}=\frac{12}{7}\approx 1,7 \mathrm{Ом}$.

В результате преобразований получаем схему, состоящую из двух последовательно соединённых проводников с сопротивлениями R₁₂₃₄₅ и R₆ (рис. 4, г).

$R_{123456}=R_{12345}+R_6=1,7+2=3,7 \mathrm{Ом}$.

Ответ: $R_{123456}=3,7 \mathrm{Ом}$.

Пример 2

Рис. 5. Иллюстрация к примеру 2

 

Рассчитайте электрическую цепь, изображённую на рисунке 5. Амперметр показывает силу тока 2 А. Сопротивления первого, второго и третьего резисторов равны 4, 6 и 0,6 Ом соответственно.

Решение

Прежде всего, рассчитаем общее сопротивление цепи. Резисторы 1 и 2 соединены параллельно, найдём их общее сопротивление:
 

$\frac{1}{R_{12}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{10}{24}$;

$R_{12}=\frac{24}{10}=2,4 \mathrm{Ом}$.
 

Исходной схеме эквивалента схема из двух проводников сопротивлениями R₁₂ и R₃, соединённых последовательно. Тогда общее сопротивление данной цепи равно:
 

$R=R_{12}+R_3=2,4+0,6=3 \mathrm{Ом}$.
 

Амперметр находится в неразветвлённой части цепи, следовательно, он показывает общую силу тока в цепи, одинаковую на проводниках, соединённых последовательно:
 

$I=I_{12}=I_3=2 \mathrm{А}$.

Найдём общее напряжение, а также напряжение на проводниках 12 и 3, используя закон Ома:
 

$U=I·R=2·3=6 \mathrm{В}$;

$U_{12}=I_{12}·R_{12}=2·2,4=4,8 \mathrm{В}$;
$U_3=I_3·R_3=2·0,6=1,2 \mathrm{В}$.

Осталось найти распределение сил токов и напряжений на проводниках 1 и 2. Данные резисторы соединены параллельно, следовательно, напряжения на данных резисторах одинаковы и равны общему напряжению на данном участке цепи:
 

$U_1=U_2=U_{12}=4,8 \mathrm{В}$.
 

Сопротивления резисторов 1 и 2 известны, находим силы токов на данных проводниках по закону Ома:
 

$I_1=\frac{U_1}{R_1}=\frac{4,8}{4}=1,2 \mathrm{А}$;

$I_2=\frac{U_2}{R_2}=\frac{4,8}{6}=0,8 \mathrm{А}$.

Ответ: $I=2 \mathrm{А}$; $I_1=1,2 \mathrm{А}$; $I_2=0,8 \mathrm{А}$; $U=6 \mathrm{В}$; $U_1=4,8 \mathrm{В}$; $U_2=4,8 \mathrm{В}$; $U_3=1,2 \mathrm{В}$.

Пример 3

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 3

 

Найти общую силу тока в электрической цепи, изображённой на рисунке 6. Вольтметр показывает напряжение 21 В. Сопротивления первого, второго и третьего резисторов равны 3, 2 и 5 Ом соответственно.

Решение

Из условия задачи известны сопротивление и напряжение на первом резисторе, найдём силу тока на данном проводнике:
 

$I_1=\frac{U_1}{R_1}=\frac{21}{3}=7 \mathrm{А}$.
 

Так как проводники 1 и 2 соединены последовательно, сила тока на них одинакова:

$I_{12}=I_1=I_2=7 \mathrm{А}$.
 

Используя закон Ома, найдём напряжение на втором резисторе:
 

$U_2=I_2·R_2=7·2=14 \mathrm{В}$.

Так как проводники 1 и 2 соединены последовательно, общее напряжение на данном участке равно сумме напряжений на данных резисторах:

$U_{12}=U_1+U_2=21+14=35 \mathrm{В}$.
 

Участок цепи, изображённый на рисунке 6, можно представить в виде упрощённой схемы, состоящей из двух параллельно соединённых проводников с сопротивлениями R₁₂ и R₃. Тогда напряжение на данных резисторах одинаково и равно общему напряжению на данном участке:
 

$U_{12}=U_3=U=35 \mathrm{В}$.
 

Найдём силу тока на третьем резисторе:
 

$I_3=\frac{U_3}{R_3}=\frac{35}{5}=7 \mathrm{А}$.
 

Общая сила тока равна сумме сил тока на проводниках 12 и 3:
 

$I=I_{12}+I_3=7+7=14 \mathrm{А}$.

Ответ: $I=14 \mathrm{А}$.

Упражнение 1

Рис. 7

 

1. Рассчитайте общее сопротивление участка цепи, представленного на рисунке 7, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R = 2 Ом.

Рис. 8

2. Рассчитайте электрическую цепь, представленную на рисунке 8, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны 4 Ом. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна 50 А.

Рис. 9

3. Сопротивления резисторов 1, 2, 3 и 4 равны 2, 3, 7 и 3 Ом соответственно 

(рис. 9). Известно, что напряжение на резисторе 1 составляет 20 В. Найти распределение сил токов и напряжений на данном участке цепи.

Упражнение 1

1. R = 3,3 Ом
 

2. I₁ = I₂ = I₃ = I₄ = 25 А; U = 200 В; U₁ = U₂ = U₃ = U₄ = 100 В
 

3. I = 16,7 А; I₁ = 10 А; I₂ = 6,7 А; I₃ = 5 А; I₄ = 11,7 А; U = 55,07 В; 
    U₂ = 20 В; U₃ = U₄ = 35,07 В