Признаки параллельности двух прямых

Параллельные прямые. Определение. Признаки. Способы построения параллельных прямых

План урока

Определение параллельных прямых;
Признаки параллельности двух прямых;
Способы построения параллельных прямых.

Цели урока

Знать определение параллельных прямых;
Уметь находить пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов;
Знать признаки параллельности двух прямых;
Уметь применять признаки параллельности двух прямых при решении задач;
Уметь строить параллельные прямые.

Разминка

Сколько общих точек могут иметь две прямые на плоскости?
Какие прямые называются перпендикулярными?
Как при записи обозначаются перпендикулярные прямые?

Определение параллельных прямых

Возможны два случая расположения двух прямых на плоскости:

две прямые либо имеют одну общую точку (прямые пересекаются);
прямые не имеют ни одной общей точки (прямые не пересекаются).

Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Рис. 1. Параллельные прямые

Для обозначения параллельных прямых существует специальный знак $∥$ . То, что прямые $a$ и $b$ параллельны записывают так: $a ∥ b$ (читают: прямая $a$ параллельна прямой $b$ ).

Рис. 2. Две прямые, перпендикулярные третьей

Вспомним, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они не пересекаются, т.е. они параллельны (рис. 2).

Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Два луча называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, луча и прямой.

Признаки параллельности двух прямых

Рис. 3. Пересечение прямых m и n секущей p

Рассмотрим две произвольные прямые $m$ и $n$ . Пусть прямая $p$ пересекает и прямую $m$ , и прямую $n$ . Прямая $p$ - секущая по отношению к прямым $m$ и $n$ .

При пересечении прямых $m$ и $n$ секущей $p$ образуется восемь углов (рис. 3). Для некоторых пар этих углов есть специальные названия:

Рис. 3а. Пары накрест лежащих углов

3 и 5, 4 и 6 - накрест лежащие углы (рис. 3а).

Рис. 3б. Пары односторонних углов

4 и 5, 3 и 6 - односторонние углы (рис. 3б).

Рис. 3в. Пары соответственных углов

1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 - соответственные углы (рис. 3в).

Теорема 1

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство

Рис. 4. Углы 1 и 2 - накрест лежащие углы

Пусть прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ , $A$ - точка пересечения $a$ и $c$ , $B$ - точка пересечения $b$ и $c$ , $∠ 1 = ∠ 2$ (рис. 4).

Рис. 4а. Угол 1 равен углу 2 (прямые)

Рассмотрим случай, если 1 и 2 - прямые (рис. 4а): если $a ⊥ c$ и $b ⊥ c$ , то $a ∥ b$ .

Рис. 4б. Угол 1 равен углу 2 (не прямые)

Рассмотрим случай, если $∠ 1$ и $∠ 2$ не являются прямыми (рис. 4б):

Пусть точка $O$ - середина отрезка $A B$ . Проведём $O H ⊥ a$ . На прямой $b$ отложим отрезок $B K = A H$ .

Рассмотрим $∆ A O H$ и $∆ B O K$ :

$A O = B O$ , т.к. точка $O$ - середина отрезка $A B$ ; $A H = B K$ по построению; $∠ 1 = ∠ 2$ по условию. Тогда $∆ A O H = ∆ B O K$ - по двум сторонам и углу между ними.

$∠ 3 = ∠ 4$ как вертикальные, значит, точка $K$ лежит на продолжении луча $O H$ , т.е. точки $H, O, K$ лежат на одной прямой.

$∠ 5 = ∠ 6$ как соответствующие элементы $∆ A O H$ и $∆ B O K$ , но $∠ 5$ - прямой, значит, и $∠ 6$ тоже прямой.

Получили, что $a ⊥ H K$ и $b ⊥ H K$ , тогда $a ∥ b$ .

Теорема доказана.

Теорема 2

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Рис. 5. Теорема 2

Пусть прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ , $∠ 1 = ∠ 2$ (рис. 5).

$∠ 1 = ∠ 3$ как вертикальные углы.

$∠ 1 = ∠ 2$ - по условию.

Значит, $∠ 2 = ∠ 3$ . Но $∠ 2$ и $∠ 3$ - накрест лежащие углы при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ . Тогда по предыдущей теореме прямые $a$ и $b$ параллельны.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180 °$ , то прямые параллельны.

Доказательство

Рис. 6. Теорема 3

Пусть прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$ , $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ (рис. 6).

$∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ по свойству смежных углов.

$∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ по условию.

Значит, $∠ 2 = ∠ 3$ . Но $∠ 2$ и $∠ 3$ - накрест лежащие углы при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$ .

Тогда прямые $a$ и $b$ параллельны.

Теорема доказана.

Пример 1

Рис. 7. Пример 1

Пересекаются ли прямые $K M$ и $O C$ (рис. 7)?

Решение

Рассмотрим $∠ K M C$ и $∠ M C O$ - односторонние при пересечении прямых $K M$ и $O C$ секущей $M C$ .

$∠ K M C = 62 ° + 40 ° = 102 °,$ $∠ K M C + ∠ M C O = 102 ° + 78 ° = 180 °,$ значит, по признаку параллельности прямых, $K M ∥ O C .$

Ответ: прямые $K M$ и $O C$ не пересекаются.

Упражнение 1

Рис. 8. Упражнение 1

1) Используя рисунок 8, установите соответствие между названиями и парами углов:

А) накрест лежащие 1) 1 и 5

Б) соответственные 2) 2 и 5

В) односторонние 3) 3 и 5.

Рис. 9. Упражнение 1

2) В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $A B$ и $C D$ . Докажите, что $B C ∥ A D .$

3) На рисунке 9 $E N = O T$ и $N O = T E$ . Докажите, что прямые $E N$ и $O T$ параллельны.

Способы построения параллельных прямых

Рис. 10а.

На чертеже параллельные прямые можно построить с помощью угольника и линейки (рис. 10а, рис. 10б).

Рис. 10б.

Угольник передвигается вдоль линейки.

Рис. 11. Рейсшина

Параллельные прямые можно построить с помощью рейсшины (рис. 11).

Рис. 12. Малка

На практике для построения параллельных прямых применяется малка (рис. 12).

Эти способы построения параллельных прямых основаны на применении признаков параллельности прямых.

Контрольные вопросы

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Сформулируйте признаки параллельности прямых.

3. Какие инструменты применяются при построении параллельных прямых?

Ответы

Упражнение 1

А	Б	В
3	1	2

Конспект урока: Признаки параллельности двух прямых

Параллельные прямые

Определение параллельных прямых

Признаки параллельности двух прямых

Способы построения параллельных прямых