Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Аксиома параллельных прямых. Доказательство теорем. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы

Параллельные прямые

Об аксиомах геометрии. Аксиома параллельных прямых. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

План урока

  • Об аксиомах геометрии;
  • Аксиома параллельных прямых;
  • Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей;
  • Теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.

Цели урока

  • Знать понятие аксиомы;
  • Знать аксиому параллельных прямых и её следствия;
  • Знать свойства параллельных прямых;
  • Уметь применять свойства параллельных прямых при решении задач;
  • Знать теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами.

Разминка

  • Что такое теорема?
  • Какие прямые называются параллельными?
  • Сформулируйте признаки параллельности прямых.

Об аксиомах геометрии


Аксиома - это утверждение, которое не требует доказательства.


Ещё в III веке до нашей эры древнегреческий учёный Евклид в своём сочинении «Начала» систематизировал известные в то время геометрические сведения. В основе евклидовой геометрии лежат аксиомы (постулаты), а на их основе доказываются другие утверждения (теоремы), которые можно использовать на практике или в научных исследованиях. Такой подход применяется в геометрии и в настоящее время.

 

Аксиомами являются следующие утверждения:

 

  • через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
  • на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один;
  • от любого угла в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Одну из аксиом (пятый постулат Евклида) долгое время математики пытались доказать. Только в XIX веке было доказано, что это невозможно. Большой вклад в решение этого вопроса внёс великий русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792–1856). Это аксиома параллельных прямых.


Аксиома параллельных прямых

 

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.


У этого утверждения есть следствия (вывод их следует непосредственно из аксиомы). 


Следствие 1

 

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.


Доказательство

Рис. 1. Следствие 1 Рис. 1. Следствие 1

Пусть ab, прямая c пересекает прямую a в точке M (рис. 1). Надо доказать, что прямая c пересекает и прямую b.

 

Предположим, что прямая c не пересекает прямую b, тогда через точку M будут проходить две прямые, параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

 

Значит, предположение неверно. Прямая c пересекает прямую b.

 

Следствие 1 доказано.


Следствие 2

 

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.


Доказательство

Рис. 2. Следствие 2 Рис. 2. Следствие 2

Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Надо доказать, что ab.

Рис. 2а. Следствие 2 Рис. 2а. Следствие 2

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т.е. a и b пересекаются в некоторой точке M (рис. 2а). Тогда через точку M проходят две прямые, параллельные прямой c. Получили противоречие с аксиомой параллельных прямых. 

Значит, предположение неверно. Прямые а и b параллельны. 

 

Следствие 2 доказано.


Приём, который применён при доказательстве следствий, называется « метод доказательства от противного ». 

 

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

 

В каждой теореме различают две части: что дано (это условие ) и что требуется доказать (это заключение ).

 

Если заключение и условие поменять местами, то получим теорему, обратную данной .

 

Следует отметить, что обратные утверждения не для каждой теоремы являются верными.

 

Докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых. Это - свойства параллельных прямых


Теорема 1

 

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.


Доказательство

Рис. 3. Теорема 1 Рис. 3. Теорема 1

Пусть abAB - секущая. Надо доказать, что 1=2, где 1 и 2 - накрест лежащие (рис. 3).

 

Предположим, что 12. Отложим от луча AB угол BAK равный 2 так, чтобы BAK и 2 были накрест лежащими при пересечении прямых AK и b секущей AB

 

BAK=2 - по построению, значит, по признаку параллельности прямых, AKb.

 

Получили, что через точку A проходят две прямые (a и AK), параллельные прямой b

 

Это противоречит аксиоме параллельных прямых. 

 

Предположение неверно, значит, 1=2.

 

Теорема доказана.


Следствие

 

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.


Доказательство

Рис. 4. Следствие теоремы 1 Рис. 4. Следствие теоремы 1

Пусть abpa, значит, 1=90°. Надо доказать, что 2=90° (рис. 4).

 

Прямая p пересекает прямую aab, поэтому p пересекает и прямую b (по следствию из аксиомы параллельных прямых). Так как ab, то, по свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, т.е. 1=2. Но 1=90° по условию, значит, и 2=90°, т.е. pb.

Следствие доказано.


Теорема 2

 

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.


Доказательство

Рис. 5. Теорема 2 Рис. 5. Теорема 2

Пусть abc - секущая. Надо доказать, что 1=2, где 1 и 2 - соответственные (рис. 5).

 

Если ab, то, по свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, например, 1=32=3 как вертикальные.

 

Значит, 1=2.

 

Теорема доказана.


Теорема 3

 

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.


Доказательство

Рис. 6. Теорема 3 Рис. 6. Теорема 3

Пусть abc - секущая. Надо доказать, что 1+2=180°, где 1 и 2 - односторонние (рис. 6).

 

Если ab, то, по свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны, например, 1=32 и 3 - смежные, тогда по свойству смежных углов 2+3=180°.

 

Значит, 1+2=180°.

 

Теорема доказана.


Пример 1

Рис. 7. Пример 1 Рис. 7. Пример 1

Найдите величину 4, если 1=115°2=65°3=110° (рис. 7).


Решение

Рис. 7а. Пример 1 Рис. 7а. Пример 1

Введем дополнительно 5 и 6, как показано на рисунке 7а.

 

  1. 2+5=180°, т. к. 2 и 5 - смежные, 5=180°-65°=115°.
  2. Видим, что 1=5, а они соответственные при пересечении прямых a и b секущей m, тогда, по признаку параллельности прямых,  ab.
  3. 3+6=180°, т. к. 3 и 6 - смежные, 6=180°-110°=70°.
  4. 4 и 6 - соответственные углы при пересечении параллельных прямых a и b секущей n, значит, по свойству параллельных прямых, 4=6=70°.

Ответ70°.


Упражнение 1

Рис. 8. Упражнение 1 Рис. 8. Упражнение 1

  1. Дана прямая aAa. Через точку A проведены три прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую a?
  2. На рисунке 8 прямые c и k параллельны, 1=56°. Найдите 2 и 3.
  3. Дан треугольник NOSS - прямой. Через вершину O проведена прямая OK так, что OKNSNOS=68°. Найдите ONS.


Теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами


Теорема 1

 

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°


Возможные случаи расположения углов:

Рис. 9а. Первый возможный случай расположения углов Рис. 9а. Первый возможный случай расположения углов

1 случай:

Стороны AOB соответственно параллельны сторонам MCK. 

AOB=MCK;

OACM;

OBCK (рис. 9а).

Рис. 9б. Второй возможный случай расположения углов Рис. 9б. Второй возможный случай расположения углов

2 случай:

Стороны AOB соответственно параллельны сторонам MCK.

AOB+MCK=180°;

OACM;

OBCK (рис. 9б).   


Теорема 2

 

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°


Возможные случаи расположения углов:

Рис. 10а. Первый возможный случай расположения углов Рис. 10а. Первый возможный случай расположения углов

1 случай:

Стороны AOB соответственно перпендикулярны сторонам MCK.

AOB+MCK=180°;

OACM;

OBCK.

Рис. 10б. Второй возможный случай расположения углов Рис. 10б. Второй возможный случай расположения углов

2 случай:

Стороны AOB соответственно перпендикулярны сторонам MCK.

AOB=MCK;

OACM;

OBCK.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое аксиома?

2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 

3. Выполните чертежи для следствий из аксиомы параллельных прямых.

4. Объясните, в чём заключается суть метода доказательства «от противного»?

5. Какая теорема называется обратной для данной? 

6. Сформулируйте свойства параллельных прямых.


Ответы

Упражнение 1

 

1.

1 случай:                                                                                                                                                                                                                

Ответ: 2.

Рис. 11. Упражнение 1. Ответ Рис. 11. Упражнение 1. Ответ

 

2 случай:                                                                                                                                                                                                                

Ответ: 3.

Рис. 12. Упражнение 1. Ответ Рис. 12. Упражнение 1. Ответ

2. 2=124°, 3=56°.

 

3. ONS=22°.

Признаки параллельности двух прямых

Параллельные прямые
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История