Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач

План урока

Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач

Цели урока

научиться решать задачи на применение условий равновесия твёрдого тела

Разминка

Может ли сила в 1 Н уравновесить силу в 2 Н?
Может ли момент сил в 1 Н ∙ м уравновесить момент сил в 2 Н ∙ м?

Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач

Рассмотрим использование условий равновесия твёрдых тел на примере задач с рычагами первого и второго рода.

Рычагом называют твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси.

Если силы приложены к рычагу с разных сторон от оси вращения, то он называется рычагом первого рода (рис. 1). Если силы приложены к рычагу с одной стороны от оси вращения, то это рычаг второго рода (рис. 2).

Примерами рычага первого рода являются рычажные весы, качели, вёсла лодки, ножницы и т. д. Примерами рычага второго рода являются щипцы для раскалывания орехов, рабочая тачка.

Поскольку равновесие рычага достигается при равновесии моментов сил, то, выбирая плечи сил, можно уравновешивать большие силы малыми силами. То есть рычаг даёт выигрыш в силе и является первым простым механизмом, с которым вы подробно знакомитесь.

Пример 1. Рычаг первого рода

На рычаг длиной $l$ = 3 м с разных сторон поместили грузы массой m₁ =
10 кг и m₂ = 5 кг соответственно (рис. 1). Где должна находиться ось вращения рычага (точка О), чтобы рычаг был в равновесии?

Рис. 1. Рычаг первого рода

Решение

На левый и правый концы рычага действуют силы тяжести грузов, равные

${\vec{F}}_{1} = m_{1} \cdot \vec{g}$ ;

${\vec{F}}_{2} = m_{2} \cdot \vec{g}$ .

Точка О, ось рычага, должна находиться в таком месте, чтобы плечи сил $l_{1}$ и $l_{2}$ удовлетворяли условию равенства моментов сил:

$|M_{1}| = |M_{2}|$ ;

$|{\vec{F}}_{1}| \cdot l_{1} = |{\vec{F}}_{2}| \cdot l_{2}$ ;

$m_{1} \cdot g \cdot l_{1} = m_{2} \cdot g \cdot l_{2}$ .

Сокращая g, получим

$m_{1} \cdot l_{1} = m_{2} \cdot l_{2}$ .

Так как общая длина рычага равна сумме плеч сил

$l = l_{1} + l_{2}$ ,

то можно выразить $l_{2}$ через $l_{1}$ :

$l_{2} = l - l_{1}$ .

Подставив результат в уравнение выше, получим:

$m_{1} \cdot l_{1} = m_{2} \cdot (l - l_{1})$ ;

$m_{1} \cdot l_{1} = m_{2} \cdot l - m_{2} \cdot l_{1}$ ;

$m_{1} \cdot l_{1} + m_{2} \cdot l_{1} = m_{2} \cdot l$ ;

$l_{1} \cdot (m_{1} + m_{2}) = m_{2} \cdot l$ ;

$l_{1} = \frac{m_{2} \cdot l}{m_{1} + m_{2}}$ ;

$l_{1} = \frac{3 \cdot 5}{10 + 5} = 1 м$ .

Тогда

$l_{2} = l - l_{1} = 3 - 1 = 2 м$ ;

$\frac{|F_{1}|}{|F_{2}|} = \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = 2$ .

При равновесии рычага отношение модулей приложенных сил обратно пропорционально отношению плеч этих сил.

Ответ: Плечи первой и второй сил должны составлять 1 м и 2 м.

Пример 2. Рычаг второго рода

Груз массой 15 кг находится от оси вращения рычага (т. О) на расстоянии $l_{2}$ = 1 м (рис. 2). С какой силой ${\vec{F}}_{1}$ нужно тянуть левый край рычага, чтобы удержать рычаг (груз) в равновесии, если длина рычага $l$ = 4 м?

Рис. 2. Рычаг второго рода

Решение

Условие равновесия рычага — это условие равенства моментов сил:

$|M_{1}| = |M_{2}|$ .

Плечо силы ${\vec{F}}_{1}$ равно длине всего рычага $l$ , а плечо силы ${\vec{F}}_{2}$ — длине $l_{2}$ . Используя выражение для момента силы, можно переписать условие равенства моментов:

$|{\vec{F}}_{1}| \cdot l = |{\vec{F}}_{2}| \cdot l_{2}$ .

Здесь модуль силы ${\vec{F}}_{2}$ есть модуль силы тяжести груза:

$F_{2} = m \cdot g = 15 \cdot 10 = 150 Н$ ,

Моменты сил уравновешены, т. к. $M_{1}$ вращает рычаг по часовой стрелке, а $M_{2}$ — в противоположную сторону.

Подставив данные задачи, имеем:

$F_{1} \cdot l = m \cdot g \cdot l_{2}$ ;

$F_{1} = \frac{m \cdot g \cdot l_{2}}{l}$ ;

$F_{1} = \frac{15 кг \cdot 10 \frac{м}{с^{2}} \cdot 1 м}{4 м} = 37, 5 Н$ .

Рассмотрим отношение сил, приложенных к рычагу:

$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{150 Н}{37, 5 Н} = 4$ .

Отношение большего плеча к меньшему плечу также равно четырём:

$\frac{l}{l_{2}} = \frac{4 м}{1 м} = 4$ .

Таким образом, данный рычаг дал четырёхкратный выигрыш в силе. Этот выигрыш равен отношению длин плеч сил.

Ответ: $37, 5 Н$ .

Итоги

Рычагом называют твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси.
Рычаг даёт выигрыш в силе, равный отношению длин плеч сил.
При равновесии рычага отношение модулей приложенных сил обратно пропорционально отношению плеч этих сил.

Упражнение 1

К противоположным концам рычага длиной 5 м приложены силы 50 Н и 200 Н. Где должна находиться ось вращения рычага, чтобы он был в равновесии?

Контрольные вопросы

1. Что называется рычагом?
2. В чём отличие рычагов первого и второго рода?
3. Как рассчитать выигрыш в силе от рычага?
4. В чём состоит условие равновесия рычага?

Ответы

Упражнение 1

1. Плечи меньшей и большей сил равны 4 м и 1 м.

Конспект урока: Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач

Статика

Применение условий равновесия твёрдого тела. Решение задач