Конспект урока: Статистические характеристики

Среднее арифметическое, размах и мода

При написании учебного проекта, Катя решила провести опрос среди своих одноклассников и узнать, сколько минут они провели в телефоне сегодня. Для этого ребятам предложили в течение дня отслеживать время, проведенное в телефоне с помощью специального приложения. В опросе приняло участие $11$ ребят, Катя получила следующие результаты: 

$117, 245, 95, 98, 62, 365, 118, 77, 46, 53, 132$

Имея этот ряд данных, Катя решила вычислить, сколько минут в среднем тратят учащиеся, находясь в телефоне. Для этого необходимо сложить все $11$ чисел и сумму разделить на $11$. 

$\frac{117+245+95+98+62+365+118+77+46+53+132}{11}=$

$=\frac{1408}{11}=128$

Получается, что учащиеся провели в телефоне в среднем $128$ минут или $2$ часа и $8$ минут. Полученное число называют средним арифметическим рассматриваемого ряда чисел. 

Катя узнала, что в определенный день учащиеся провели в телефоне в среднем $2$ часа и $8$ минут. Дальнейшее развитие ее проекта заключалось в том, чтобы, проводя аналогичные наблюдения, проследить, сколько времени учащиеся проводят в телефоне за неделю и попытаться сравнить, в какой день недели учащиеся проводят в телефоне времени больше и найти причину. Следует заметить, что для того, чтобы Катя смогла делать серьезные выводы о времени, проводимом учащимися в телефоне,  ей необходимо выделить для наблюдений группу значительно больше, чем $11$ человек. 

Решение

1. Найдем сумму всех чисел ряда: $22+34+53+71+38+69+70=357$.

2. Разделим полученную сумму на количество чисел ряда: $357÷7=51$.

Ответ: $51$.

Среднее арифметическое – это такое значение величины, которое получается, когда сумма всех наблюдаемых значений распределяется поровну между единицами наблюдений. Например, вычислив среднее арифметическое количества шагов, пройденных за месяц, мы получим то количество шагов, которое мы проходили бы каждый день, если бы ежедневно проходили одинаковое количество шагов. 

Нахождение среднего арифметического не всегда дает полезную информацию. Например, если мы узнаем средний размер обуви, которую носят учащиеся школы, это не принесет нам никакой пользы, точно так же, как и средний размер одежды или размер кольца. 

Вспомним про результаты исследования, которые получила Катя. Она выяснила, что в среднем учащиеся проводят в телефоне $128$ минут. Если посмотреть на первоначальные данные, то можно заметить, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от $128$ минут. Разность между наибольшим и наименьшим расходом времени составляет $365-46=319$ минут. В этом случае говорят, что размах ряда составляет $319$ минут. 

Решение

1. Максимальное значение в ряду равняется $91$.

2. Минимальное значение в ряду равняется $21$.

3. Найдем разность между максимальным и минимальным значением $91-21=70.$

Ответ: $70$.

Размах ряда находят, когда хотят узнать, как велик разброс данных в ряду. К примеру, мы измеряли весь день температуру тела. Для анализа данных полезно знать не только среднее значение температуры тела, максимальное и минимальное значение, но и найти размах ряда, чтобы отследить колебание температуры тела в течение суток. 

Вернемся к проекту Кати. Что еще она может узнать из собранных ею данных? Например, она может попытаться узнать, какой расход времени является типичным для данной группы учеников, т.е. найти число, которое встречается чаще всего. Такое число будет называться модой ряда. Но у ряда может и не быть моды, как в случае Кати, потому что числа в полученном ей ряду не повторяются. 

$31, 45, 65, 31, 78, 43, 31, 67, 31, 4.$

Решение

Определим, какое число встречается в ряду чаще других, это и будет мода ряда: 

31, 45, 65, 31, 78, 43, 31, 67, 31, 4.

Ответ: $31$.

Ряд чисел может иметь больше одной моды, если несколько чисел встречаются в ряду одинаковое количество раз. 

Моду ряда находят, когда хотят выявить некоторый типичный показатель. Например, при работе интернет магазина полезно найти моду ряда проданных за месяц вещей, чтобы определить, какой размер пользуется наибольшим спросом. 

Решение

1. Для упрощения расчетов, составим упорядоченный ряд, расположив числа в ряду в порядке возрастания или убывания. 

$1, 16, 16, 16, 16, 24, 24, 34, 41, 45, 75$.

2. Определим размах ряда: $75-1=74$.

3. Определим моду ряда: число $16$ встречается $4$ раза, следовательно, это и есть мода ряда.

4. Определим среднее арифметическое ряда:

$\frac{1+16+16+16+16+24+24+34+41+45+75}{11}=$

$=\frac{308}{11}=28$

Ответ: среднее арифметическое $28$, мода $16$, размах $74$.

Медиана как статистическая характеристика

В 2008 году была зарегистрирована новая криптовалюта – Биткоин. По сути Биткоин – это обычная компьютерная программа, только расположена не на каком-либо отдельном сервере, а сразу на миллионах компьютеров, которые напрямую сообщаются между собой через эту программу. Популярность к этой криптовалюте и, как следствие, взлет стоимости пришла в 2016 году. Рассмотрим таблицу стоимости биткоина, начиная с 2015 года по 2021 (см. Таблицу 1).

Таблица 1. Стоимость Биткоина

Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд: 

360, 1000, 3809, 12069, 19000, 28000, 35000

В полученном нами упорядоченном ряду семь чисел. Посередине находится число 12069: слева от него находится три числа и справа от него три числа. В математике такое число называется серединным или медианой упорядоченного ряда чисел. Определив медиану, мы можем указать года, в которых стоимость Биткоина превосходит срединное значение, т.е. медиану. 

Как находится медиана ряда с нечетным количеством чисел понятно, но что делать, если в ряду четное количество чисел? Рассмотрим на примере: 

Решение

1. Упорядочим этот ряд.

1, 15, 28, 34, 68, 72, 95, 153

2. В середине ряда находятся числа 34 и 68.

1, 15, 28, 34, 68, 72, 95, 153

3. Найдем среднее арифметическое этих чисел

$\frac{34+68}{2}=\frac{102}{2}=51$.

Ответ: Медиана ряда $51$.