Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

План урока

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;
Решение упражнений по теме.

Цели урока

Знать формулы квадрата суммы и разности двух выражений;
Уметь представлять трёхчлен в виде квадрата двучлена с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Разминка

Чему равен квадрат суммы двух выражений?
Чему равен квадрат разности двух выражений?
Что означает разложить многочлен на множители?
Какие методы разложения на множители вы знаете?
В чём суть разложения на множители способом группировки?
В каких случаях группировка будет удачной, а в каких нет?

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

Мы уже говорили о важности умения раскладывать многочлены на множители. Пока мы изучили два метода для решения этой задачи. Это вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Сегодня мы научимся раскладывать многочлены на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

До этого мы применяли эти формулы только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Однако, эти формулы можно использовать и для разложения на множители многочленов вида $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ или $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

Действительно, если формулы записать наоборот, то получим:

Это означает, что любой многочлен вида $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ можно разложить на множители как $(a + b) (a + b)$ , а многочлен вида $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ можно представить в виде произведения $(a - b) (a - b)$ .

Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах.

Пример 1

Разложите на множители:

а) $4 x^{2} + 4 x y + y^{2}$

б) $x^{2} - 10 x + 25$

в) $x^{4} + 12 x^{2} y^{3} + 36 y^{6}$

г) 2 $4 x y - 16 x^{2} - 9 y^{2}$

Решение

а) Заметим, что первый член многочлена является квадратом выражения $2 x$ , третий член многочлена – это $y$ , возведенный в квадрат. Второй член многочлена $4 x y$ может быть представлен как удвоенное произведение $2 x$ и $y$ . Значит, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$4 x^{2} + 4 x y + y^{2} = {(2 x)}^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot y + y^{2} = {(2 x + y)}^{2} = (2 x + y) (2 x + y)$ .

б) Этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений:

$x^{2} - 10 x + 25 = {(x)}^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = {(x - 5)}^{2} = (x - 5) (x - 5)$ .

в) Заметим, что $x^{4}$ — это квадрат одночлена $x^{2}$ ; $36 y^{6}$ — это квадрат $6 y^{3}$ ; $12 x^{2} y^{3}$ можно представить как удвоенное произведение $x^{2}$ и $6 y^{3}$ . Многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$x^{4} + 12 x^{2} y^{3} + 36 y^{6} = {(x^{2})}^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 6 y^{3} + {(6 y^{3})}^{2} = {(x^{2} + 6 y^{3})}^{2} =$

$= (x^{2} + 6 y^{3}) (x^{2} + 6 y^{3})$ .

г) В этом многочлене поменяем слагаемые местами и вынесем знак «минус» вперёд:

$24 x y - 16 x^{2} - 9 y^{2} = - (16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2})$ .

Теперь можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

$24 x y - 16 x^{2} - 9 y^{2} = - (16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2}) = - ({(4 x)}^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot 3 y + {(3 y)}^{2}) =$

$= - {(4 x - 3 y)}^{2} = - (4 x - 3 y) (4 x - 3 y)$ .

Пример 2

Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

$16 x^{2} + 24 x y + *$

Решение

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений.

Роль $a^{2}$ будет выполнять $16 x^{2}$ (это квадрат одночлена $4 x$ ). Роль удвоенного произведения достанется одночлену $24 x y$ . Первый множитель этого удвоенного произведения мы уже нашли - это $4 x$ . Тогда удвоенное произведение можно представить в виде:

$24 x y = 2 \cdot 4 x \cdot 3 y$ .

Теперь очевидно, что роль переменной $b$ в формуле квадрата суммы выполняет $3 y$ . На месте $*$ должен стоять $b^{2}$ , значит $* = {(3 y)}^{2} = 9 y^{2}$ .

Упражнение 1

1. Представьте в виде квадрата двучлена:

а) $4 - 20 x + 25 x^{2}$

б) $81 x^{2} - 18 x y + y^{2}$

в) $x^{2} y^{2} - 2 x y + 1$

г) $x^{4} + 2 x^{2} y + y^{2}$

2. Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $* + 12 x + 36$

б) $49 - 56 x + *$

в) $25 x^{2} + * + 4 y^{2}$

г) $0, 01 x^{2} - * + 100 y^{2}$

Контрольные вопросы

1. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.

2. Напишите формулу квадрата разности двух выражений.

3. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.

4. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата разности.

Ответы

Упражнение 1

1. а) ${(2 - 5 x)}^{2}$

б) ${(9 x - y)}^{2}$

в) ${(x y - 1)}^{2}$

г) ${(x^{2} + y)}^{2}$

2. а) $x^{2}$

б) $16 x^{2}$

в) $20 x y$

г) $2 x y$