Онлайн школа №1 - Энциклопедия

Уравнение

План урока

Основные понятия, связанные с уравнением.
Правила решений уравнений.

Цели урока

Знать понятие уравнения, корня уравнения, решения уравнения, “решить уравнение”.
Уметь решать уравнения.

Разминка

Сопоставьте каждое из выражений с его названием (числовое выражение, буквенное выражение, уравнение, неравенство, числовое равенство).

1) x + 12 = 48; 6) 12 + 7*2;

2) 52 – 18 = 34; 7) 23 – (x + 14);

3) 76 – y; 8) 8 : 8 + 19 = 20;

4) 13 + 50 > 40; 9) (21 – 3) : 6;

5) 193 – y = 100; 10) m – 49 = 0.

Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф.Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел решение за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик. Более подробно познакомимся с Виетом в старших классах.

Задача. На остановке из автобуса вышло 8 пассажиров, а зашло 12. После этого в автобусе оказалось 37 пассажиров. Сколько пассажиров находилось в автобусе до его остановки?

Обозначим исходное количество пассажиров до остановки автобуса буквой x и составим выражение: (x – 8) + 12. При каком значении x значение этого выражения будет равно 37?

Получаем уравнение: (x – 8) + 12 = 37, где x = 33.

Говорят, что число 33 — корень уравнения (x – 8) + 12 = 37.

Корень уравнения — число, подстановка которого в уравнение вместо буквы, обращает его в верное числовое равенство.

Корень уравнения называют решением уравнения.

Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

Уравнение может иметь несколько корней, а может и вовсе не иметь ни одного корня. Уравнение x – x = 0 имеет множество корней, говорят, что x — любое число. А уравнение x – x = 2 корней не имеет, т.к. $0 \neq 2 .$

Пример 1

Решить уравнение: 27 + x = 39.

Решение

Нам необходимо найти 2 слагаемое, для этого нужно из суммы вычесть 1 слагаемое:

x = 39 – 27

x = 12

Ответ: 12

Пример 2

Решить уравнение: 49 – x = 13.

Решение

Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

x = 49 – 13

x = 36

Ответ: 36.

Пример 3

Решить уравнение: x – 38 = 11.

Решение

Чтобы найти уменьшаемое, необходимо к вычитаемому прибавить разность:

x = 38 + 11

x = 49

Ответ: 49.

Пример 4

Решить уравнение: 680 – (374 – x) = 475.

Решение

Неизвестное находится в скобках, т.е. это вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

374 – x = 680 – 475

Находим значение правой части уравнения:

374 – x = 205

Чтобы найти вычитаемое, нужно снова из уменьшаемого вычесть разность:

x = 374 – 205

x = 169.

Давайте сделаем проверку:

680 – (374 – 169) = 475

680 – 205 = 475

475 = 475 верно

Значит 169 — корень уравнения.

Ответ: 169.

Пример 5

Решить уравнение: (n – 293) + 384 = 596.

Решение

Неизвестное находится в скобках (1 слагаемое)

Используем правило нахождения неизвестного слагаемого:

n – 293 = 596 – 384

n – 293 = 212

Используем правило нахождения уменьшаемого:

n = 212 + 293

n = 505

Ответ: 505

Пример 6

Таня задумала число. Если к этому числу прибавить 37 и полученную сумму вычесть из числа 115, то получим число 31. Какое число задумала Таня?

Решение

Пусть $x$ — число, задуманное Таней. Если к нему прибавить 37, то получим число $(x + 37)$ . После вычитания этой суммы из числа 115, получим число $115 - (x + 37),$ что по условию равно 31. Составим и решим уравнение.

$115 - (x + 37) = 31$ ,

$x + 37 = 115 - 31$ ,

$x + 37 = 84$ ,

$x = 84 - 37$ ,

$x = 47$ .

Значит, Таня задумала число 47

Ответ: 47.

Пример 7

Какое число надо поставить вместо $a$ , чтобы корнем уравнения $(x - 8) + a = 44$ было бы число 15?

Решение

Так как корнем уравнения должно быть число 15, подставим его вместо $x$ , получим уравнение $7 + a = 44$ , откуда $a = 37$ .

Проверка:

если $a = 37$ , то $(x - 8) + 37 = 44$ ,

$x - 8 = 44 - 37$ ,

$x - 8 = 7$ ,

$x = 7 + 8$ ,

$x = 15$ .

Ответ: 37.

Упражнение 1

1) x + 36 = 83; 6) (k – 36) – 43 = 72;

2) 124 + y = 212; 7) (37 + d) – 58 = 49;

3) a – 458 = 345; 8) 957 – (t + 336) = 428;

4) 2064 – b = 1398; 9) 325 – (a – 617) = 219

5) (x – 34) + 15 = 61; 10) 468 – (259 – c) = 382.

Контрольные вопросы

1. Как найти неизвестное слагаемое? Уменьшаемое? Вычитаемое?

2. Что такое корень уравнения?

3. Может ли уравнение не иметь корней? Обоснуйте свой ответ.

4. Может ли корнем уравнения быть любое число? Приведите пример.

Итоги:

Решить уравнение означает найти его корни или установить, что их нет. Для решения уравнений мы пользуемся правилом нахождения неизвестных компонентов действий.

Ответы

Упражнение 1

1) 47;

2) 88;

3) 803;

4) 666;

5) 80;

6) 151;

7) 70;

8) 193;

9) 723;

10) 173.

Конспект урока: Уравнение

Решение уравнений и неравенств