- Площадь. Свойства площадей фигур.
- Единицы измерения площадей.
- Формулы площади прямоугольника и квадрата.
- Знать свойства площадей, единицы измерения площадей, формулы для нахождения площади прямоугольника и квадрата.
- Уметь вычислять площадь прямоугольника, квадрата;
- Уметь переводить одни единицы измерения в другие.
- Что такое прямоугольник?
- Какие элементы есть у прямоугольника?
- Как определить, равны два прямоугольника или нет?
С понятием площади мы часто сталкиваемся в повседневной жизни: площадь комнаты, земельного участка, площадь поверхности стола и т.д.
На рис. 1 изображены 3 фигуры. Две из них состоят из 7 квадратов, а третья — из 6. Говорят, что площади 1 и 2 фигур равны.
Под площадью мы понимаем место фигуры на плоскости.
Свойства площадей фигур:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.
На прошлых уроках мы уже вводили понятие единичный угол (для измерения углов), единичный отрезок (для измерения длины отрезка). Для площади за единицу измерения выбран квадрат, такой квадрат называют единичным. Если квадрат имеет сторону 1 см, то говорят, что его площадь 1 квадратный сантиметр (см2). Если сторона 1 м — площадь такого квадрата — 1 квадратный метр (м2). Соответственно, 1 мм2 — это площадь квадрата со стороной 1 мм. В зависимости от размера фигуры выбирают подходящую единицу измерения. Площадь листа бумаги удобнее изменять в см2, площадь квартиры в м2, а страны на карте — в км2. Для измерения площади земельных участков используют такие единицы измерения, как ар (а), гектар (га).
1а = 10м · 10м = 100 м2.
1га = 100м · 100м = 10000 м2.
1 ар еще называют соткой (так как в нем как раз 100 кв.м).
Измерить площадь фигуры — означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.
Давайте найдем площадь прямоугольника на рис. 2. Прямоугольник разбит на одинаковые квадраты со стороной 1 см: 3 ряда и 5 столбцов. Посчитаем, сколько таких квадратов: 3 · 5 = 15. Так как площадь одного квадрата со стороной 1 см — 1 см2, то площадь всей фигуры 15 см2.
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон (рис. 4–1).
S = ab, где a, b — длины соседних сторон прямоугольника, выраженные в одних и тех же единицах измерения.
Так как у квадрата все стороны равны, то, когда мы умножим длину стороны саму на себя, мы получим квадрат этого числа:
где a — длина стороны квадрата.
Именно поэтому вторую степень числа и называют квадратом числа.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (рис. 4–2).
Пример 1
Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 28 м.
Решение
1) 28 : 4 = 7 (м) — сторона квадрата.
2) 7 · 7 = 49 (м2) — площадь квадрата.
Ответ: 49 м2
Пример 2
Периметр прямоугольника равен 240 дм, одна из его сторон — 58 дм. Найдите соседнюю сторону и площадь прямоугольника.
Решение
1) 2 · 58 = 116 (дм) — сумма известных противоположных сторон.
2) (240 – 116) : 2 = 62 (дм) — сторона прямоугольника.
3) 62 · 58 = 3596 (дм2 ) — площадь прямоугольника.
Ответ: 62 дм; 3596 дм2
Пример 3
Выразите:
1) в квадратных метрах: 6 га 14 а;
2) в гектарах: 4 км2 17 га;
3) в арах: 7 га 14 а.
Решение
1) 6 га 14 а = 614 а = 61400 м2.
2) 4 км2 17 га = 400 га + 17 га = 417 га.
3) 7 га 14 а = 700 а + 14 а = 714 а.
Ответ: 61400 м2; 417 га; 714 а.
Упражнение 1
Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 156 м.
Упражнение 2
Периметр прямоугольника равен 154 дм, одна из его сторон — 43 дм. Найдите соседнюю сторону и площадь прямоугольника.
Упражнение 3
Выразите:
1) в квадратных метрах: 7 га; 24 а;
2) в гектарах: 340 000 м2; 56 км2;
3) в арах: 22 га; 47 500 м2; 3 км2 12 га 7 а;
4) в гектарах и арах: 640 а; 58 400 м2.
Контрольные вопросы
1) Сформулируйте свойства площадей фигур.
2) Что обозначают сокращения «а» и «га»?
3) Сколько соток в одном гектаре? в 1 км2?
4) Как найти площадь прямоугольника?
Итоги:
Площадь — место фигуры на плоскости. Площадь можно измерять в см2, дм2, м2, арах, гектарах в зависимости от величины измеряемой фигуры. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 3
1)
2)
3)
4)