Конспект урока: Площадь. Площадь прямоугольника

С понятием площади мы часто сталкиваемся в повседневной жизни: площадь комнаты, земельного участка, площадь поверхности стола и т.д. 

На рис. 1 изображены 3 фигуры. Две из них состоят из 7 квадратов, а третья — из 6. Говорят, что площади 1 и 2 фигур равны.

Рис. 1. Фигуры

Свойства площадей фигур:

1. Равные фигуры имеют равные площади.

2. Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит.

На прошлых уроках мы уже вводили понятие единичный угол (для измерения углов), единичный отрезок (для измерения длины отрезка). Для площади за единицу измерения выбран квадрат, такой квадрат называют единичным. Если квадрат имеет сторону 1 см, то говорят, что его площадь 1 квадратный сантиметр (см²). Если сторона 1 м — площадь такого квадрата — 1 квадратный метр (м²). Соответственно, 1 мм² — это площадь квадрата со стороной 1 мм. В зависимости от размера фигуры выбирают подходящую единицу измерения. Площадь листа бумаги удобнее изменять в см²,  площадь квартиры в м², а страны на карте — в км². Для измерения площади земельных участков используют такие единицы измерения, как ар (а), гектар (га). 

1а = 10м · 10м = 100 м^2.

1га = 100м · 100м = 10000 м^2.

1 ар еще называют соткой (так как в нем как раз 100 кв.м).

Рис. 2. Единицы измерения

Измерить площадь фигуры — означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней помещается.

Рис. 3. Измерение площади фигуры

Давайте найдем площадь прямоугольника на рис. 2. Прямоугольник разбит на одинаковые квадраты со стороной 1 см: 3 ряда и 5 столбцов. Посчитаем, сколько таких квадратов: 3 · 5 = 15. Так как площадь одного квадрата со стороной 1 см — 1 см², то площадь всей фигуры 15 см².

S = ab, где a, b — длины соседних сторон прямоугольника, выраженные в одних и тех же единицах измерения.

Так как у квадрата все стороны равны, то, когда мы умножим длину стороны саму на себя, мы получим квадрат этого числа:

$S=a^2,$ где a — длина стороны квадрата.

Именно поэтому вторую степень числа и называют квадратом числа.

Рис. 4. 1 — Прямоугольник; 2 — Квадрат

Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 28 м.

Решение

1) 28 : 4 = 7 (м) — сторона квадрата.

2) 7 · 7 = 49 (м²) — площадь квадрата.

Ответ: 49 м²

Периметр прямоугольника равен 240 дм, одна из его сторон — 58 дм. Найдите соседнюю сторону и площадь прямоугольника.

Решение

1) 2 · 58 = 116 (дм) — сумма известных противоположных сторон.

2) (240 – 116) : 2 = 62 (дм) — сторона прямоугольника.

3) 62 · 58 = 3596 (дм² ) — площадь прямоугольника.

Ответ: 62 дм; 3596 дм²

Выразите: 

1) в квадратных метрах: 6 га 14 а;

2) в гектарах: 4 км² 17 га;

3) в арах: 7 га 14 а.

Решение

1) 6 га 14 а = 614 а = 61400 м².

2) 4 км² 17 га = 400 га + 17 га = 417 га.

3) 7 га 14 а = 700 а + 14 а = 714 а.

Ответ:  61400 м²; 417 га; 714 а.

Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 156 м.

Периметр прямоугольника равен 154 дм, одна из его сторон — 43 дм. Найдите соседнюю сторону и площадь прямоугольника.

Выразите: 

1) в квадратных метрах: 7 га; 24 а;

2) в гектарах: 340 000 м²; 56 км²;

3) в арах: 22 га; 47 500 м²; 3 км² 12 га 7 а; 

4) в гектарах и арах: 640 а; 58 400 м².

1) Сформулируйте свойства площадей фигур.

2) Что обозначают сокращения «а» и «га»?

3) Сколько соток в одном гектаре? в 1 км²?

4) Как найти площадь прямоугольника?

Итоги:

Площадь — место фигуры на плоскости. Площадь можно измерять в см², дм², м², арах, гектарах в зависимости от величины измеряемой фигуры. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.