Степень с целым показателем и её свойства

Определение степени с целым отрицательным показателем. Свойства степени с целым показателем

План урока

Определение степени с целым отрицательным показателем
Свойства степени с целым показателем
Применение свойств степени с целым показателем

Цели урока

Знать определение степени с целым отрицательным показателем
Уметь представлять степень с целым отрицательным показателем в виде дроби и наоборот, представлять дробь в виде выражения, содержащего степень с целым отрицательным показателем
Знать свойства степени с целым показателем
Уметь применять свойства степени с целым показателем для преобразования выражений

Разминка

Представьте в виде степени: а) $b^{3} \cdot b^{6}$ ; б) $(b^{2})^{5}$ ; в) $a^{7} : a^{2}$

Определение степени с целым отрицательным показателем

В справочниках по физике можно найти массу Земли 5,9736⋅10²⁴ кг и массу электрона 9,1094⋅10⁻³¹ кг. Число 10²⁴ нам знакомо, это произведение двадцати четырех множителей, равных 10. А каков смысл числа 10⁻³¹?

Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д.:

10⁰, 10¹, 10², 10³, … .

Каждый элемент этой последовательности в 10 раз больше предыдущего. Добавим по тому же правилу числа слева:

…, $\frac{1}{10^{3}}$ , $\frac{1}{10^{2}}$ , $\frac{1}{10^{1}}$ , 10⁰, 10¹, 10², 10³,… .

Для дробей слева от числа 10⁰ принята запись в виде степени числа 10 с отрицательным показателем:

…, 10^-3, 10^-2, 10^-1, 10⁰, 10¹, 10², 10³,… .

Т.е. $\frac{1}{10^{1}} = 10^{- 1}$ , $\frac{1}{10^{2}} = 10^{- 2}$ , $\frac{1}{10^{3}} = 10^{- 3}$ и т. д.

Если $a \neq 0$ и n — целое отрицательное число, то

$a^{n} = \frac{1}{a^{- n}}$ .

Выражение $0^{n}$ при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не имеет смысл.

Напомним, что если $n$ -натуральное число, то $0^{n}$ имеет смысл и равно нулю.

Возвращаясь к массе электрона, запишем, что означает запись 9,1094⋅10⁻³¹:

Пример 1

Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) $\frac{1}{2^{4}}$ ; б) $\frac{1}{5}$ ; в) $\frac{1}{y^{4}}$ ; г) $\frac{1}{z^{2}}$ ; д) $\frac{1}{21^{5}}$ .

Решение

а) $\frac{1}{2^{4}} = 2^{- 4}$ ; б) $\frac{1}{5} = 5^{- 1}$ ; в) $\frac{1}{y^{4}} = y^{- 4}$ ; г) $\frac{1}{z^{2}} = z^{- 2}$ ; д) $\frac{1}{21^{5}} = 21^{- 5}$ .

Ответ: а) $2^{- 4}$ ; б) $5^{- 1}$ ; в) $y^{- 4}$ ; г) $z^{- 2}$ ; д) $21^{- 5}$ .

Пример 2

Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) $3^{- 5}$ ; б) $2^{- 1}$ ; в) $y^{- 5}$ ; г) $a^{- 1}$ ; д) ${(2 b)}^{- 3}$ .

Решение

а) $3^{- 5} = \frac{1}{3^{5}} = \frac{1}{243}$ ; б) $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ; в) $y^{- 5} = \frac{1}{y^{5}}$ ; г) $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ ; д) ${(2 b)}^{- 3} = \frac{1}{{(2 b)}^{3}} = \frac{1}{8 b^{3}}$ .

Ответ: а) $\frac{1}{243}$ ; б) $\frac{1}{2}$ ; в) $\frac{1}{y^{5}}$ ; г) $\frac{1}{a}$ ; д) $\frac{1}{8 b^{3}}$ .

Упражнение 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) $\frac{1}{2^{5}}$ ; б) $\frac{1}{10}$ ; в) $\frac{1}{x^{6}}$ ; г) $\frac{1}{a}$ ; д) $\frac{1}{23^{4}}$ .

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) $7^{- 3}$ ; б) $3^{- 1}$ ; в) $y^{- 10}$ ; г) $b^{- 2}$ ; д) ${(3 a)}^{- 4}$ .

Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем с основанием не равным нулю.

Для любого $a \neq 0$ и любых целых m и n

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ (1)

$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$ (2)

${(a^{m})}^{n} = a^{m \times n}$ (3)

для любого $a \neq 0$ , $b \neq 0$ и любого целого n

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ (4)

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ (5)

Докажем, например, свойство (1) для случая, когда показатели степеней целые отрицательные числа. Пусть $a \neq 0$ и k и p — натуральные числа. Имеем

$a^{- k} \cdot a^{- p} = \frac{1}{a^{k}} \cdot \frac{1}{a^{p}} = \frac{1}{a^{k + p}} = a^{- (k + p)} = a^{- k - p}$ .

При доказательстве мы использовали определение степени с целым отрицательным показателем.

Другие свойства можно доказать аналогичным способом.

Применение свойств степени с целым показателем

Пример 3

Преобразуйте выражение:

а) $a^{- 12} \times a^{7}$ ; б) $a^{4} \div a^{9}$ ; в) ${(3 x^{- 2} y^{3})}^{- 2}$ .

Решение

а) По свойству (1) основание оставляют тем же, а показатели складывают:

$a^{- 12} \times a^{7} = a^{- 12 + 7} = a^{- 5}$ .

б) По свойству (2) основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

$a^{4} \div a^{9} = a^{4 - 9} = a^{- 5}$ .

в) Сначала применим свойство (4), затем (3):

${(3 x^{- 2} y^{3})}^{- 2} = 3^{- 2} x^{- 2 \times (- 2)} y^{3 \times (- 2)} = \frac{1}{3^{2}} x^{4} y^{- 6} = \frac{1}{9} x^{4} y^{- 6}$ .

Ответ: а) $a^{- 5}$ ; б) $a^{- 5}$ ; в) $\frac{1}{9} x^{4} y^{- 6}$ .

Упражнение 2

1. Преобразуйте выражение:

а) $a^{- 9} \times a$ ; б) $a^{3} \times a \times a^{- 6}$ ; в) $x^{- 10} \div x$ ; г) $y^{- 8} \div y^{- 3}$ ;

д) ${(2 x^{4} y^{- 2})}^{- 3^{}}$ ; е) ${(5 x^{- 5} z^{2})}^{- 1}$ .

2. Вычислите:

а) $3^{- 7} \times 3^{9}$ ; б) ${(\frac{1}{5})}^{6} \times {(\frac{1}{5})}^{- 7}$ ; в) $2^{5} \div 2^{6}$ ;

г) $6^{- 9} \div 6^{- 11}$ ; д) $27^{2} \times {(3^{- 2})}^{2}$ .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем.

2. Сформулируйте свойства произведения степеней, частного степеней и возведения степени в степень.

3. Сформулируйте свойства степени произведения и степени дроби.

Ответы

Упражнение 1

1. а) $2^{- 5}$ ; б) $10^{- 1}$ ; в) $x^{- 6}$ ; г) $a^{- 1}$ ; д) $23^{- 4}$

2. а) $\frac{1}{343}$ ; б) $\frac{1}{3}$ ; в) $\frac{1}{y^{10}}$ ; г) $\frac{1}{b^{2}}$ ; д) $\frac{1}{81 a^{4}}$

Упражнение 2

1. а) $a^{- 8}$ ; б) $a^{- 2}$ ; в) $x^{- 11}$ ; г) $y^{- 5}$ ; д) $\frac{1}{8} x^{- 12} y^{6}$ ; е) $\frac{1}{5} x^{5} z^{- 2}$ .

2. а) 9; б) 5; в) $\frac{1}{2}$ ; г) 36; д) 9.

Конспект урока: Степень с целым показателем и её свойства

Степень

Определение степени с целым отрицательным показателем

Свойства степени с целым показателем