Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Степень с целым показателем и её свойства

Степень

Определение степени с целым отрицательным показателем. Свойства степени с целым показателем

План урока

  • Определение степени с целым отрицательным показателем
  • Свойства степени с целым показателем
  • Применение свойств степени с целым показателем

Цели урока

  • Знать определение степени с целым отрицательным показателем
  • Уметь представлять степень с целым отрицательным показателем в виде дроби и наоборот, представлять дробь в виде выражения, содержащего степень с целым отрицательным показателем
  • Знать свойства степени с целым показателем
  • Уметь применять свойства степени с целым показателем для преобразования выражений

Разминка

  • Представьте в виде степени: а) b3b6;  б) (b2)5;  в) a7:a2

Определение степени с целым отрицательным показателем

 

В справочниках по физике можно найти массу Земли 5,9736⋅1024 кг и массу электрона 9,1094⋅10−31 кг. Число 1024 нам знакомо, это произведение двадцати четырех множителей равных 10. А каков смысл числа 10−31

 

Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т.д.:

 

100, 101, 102, 103, … .

 

Каждый элемент этой последовательности в 10 раз больше предыдущего. Добавим по тому же правилу числа слева:

 

…, 110311021101, 100, 101, 102, 103,… .

 

Для дробей слева от числа 100 принята запись в виде степени числа 10 с отрицательным показателем:

 

…, 10-3, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103,… .

 

Т.е. 1101=10-11102=10-21103=10-3 и т.д.


Если a0 и n — целое отрицательное число, то 

an=1a-n.

Выражение 0n при целом отрицательном n (так же как и при n = 0) не имеет смысл.


Возвращаясь к массе электрона, запишем, что означает запись 9,1094⋅10−31:


Пример 1

Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

 

а) 124; б) 15; в) 1y4; г) 1z2; д) 1215.

                                                                                                                                   

 

Решение

 

а) 124=2-4; б) 15=5-1; в) 1y4=y-4; г) 1z2=z-2; д) 1215=21-5.

 

Ответ: а) 2-4; б) 5-1; в) y-4; г) z-2; д) 21-5.


Пример 2

Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

 

а) 3-5; б) 2-1; в) y-5; г) a-1; д) 2b-3.                      

 

Решение

 

а) 3-5=135=1243; б) 2-1=12; в) y-5=1y5; г) a-1=1a; д) (2b)-3=1(2b)3=18b3.

 

Ответ: а) 1243; б) 12; в) 1y5; г) 1a; д) 18b3.


Упражнение 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

 

а) 125; б) 110; в) 1x6; г) 1a; д) 1234.

 

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

 

а) 7-3; б) 3-1; в) y-10; г) b-2; д) 3a-4.


Свойства степени с целым показателем

 

Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем с основанием неравным нулю.


Для любого a0 и любых целых m и n 
 

am×an=am+n             (1)
 

am÷an=am-n             (2)
 

amn=am×n                  (3)

 

для любого a0b0 и любого целого n 

 

abn=anbn                    (4)
 

abn=anbn                        (5)


Докажем, например, свойство (1) для случая, когда показатели степеней целые отрицательные числа. Пусть a0 и k и p — натуральные числа. Имеем

 

a-ka-p=1ak1ap=1ak+p=a-(k+p)=a-k-p.

 

При доказательстве мы использовали определение степени с целым отрицательным показателем.

Другие свойства можно доказать аналогичным способом.

 

Применение свойств степени с целым показателем


Пример 3

Преобразуйте выражение:

 

а) a-12×a7; б) a4÷a9; в) 3x-2y3-2.                    

 

Решение

 

а) По свойству (1) основание оставляют тем же, а показатели складывают:

 

a-12×a7=a-12+7=a-5.

 

б) По свойству (2) основание оставляют тем же, а из показателя делимого вычитают показатель делителя:

 

a4÷a9=a4-9=a-5.

 

в) Сначала применим свойство (4), затем (3):

 

3x-2y3-2=3-2x-2×-2y3×(-2)=132x4y-6=19x4y-6.

 

Ответ: а) a-5; б) a-5; в) 19x4y-6.


Упражнение 2

1. Преобразуйте выражение:

а) a-9×a; б) a3×a×a-6; в) x-10÷x; г) y-8÷y-3;

 д) 2x4y-2-3 ; е) 5x-5z2-1.

 

2. Вычислите:

а) 3-7×39; б) 156×15-7; в) 25÷26

г) 6-9÷6-11; д) 272×3-22.


Контрольные вопросы

1. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем?

2. Сформулируйте свойства произведения степеней, частного степеней и возведения степени в степень.

3. Сформулируйте свойства степени произведения и степени дроби?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) 2-5; б) 10-1; в) x-6; г) a-1; д) 23-4

 

2. а) 1343; б) 13; в) 1y10; г) 1b2; д) 181a4                                                    

 

Упражнение 2

 

1. а) a-8; б) a-2; в) x-11; г) y-5; д) 18x-12y6; е) 15x5z-2.

 

2. а) 9; б) 5; в) 12; г) 36; д) 9.


 

Предыдущий урок
Элементы статистики
Статистика
Следующий урок
Функция y=k/x и её график
Функции
  • Моральный выбор — это ответственность

    Обществознание

  • Решение неравенств с одной переменной

    Алгебра

  • А.С. Пушкин. «Капитанская дочка». Изображение крестьянской войны. Образы Пугачева и Екатерины II

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке