Конспект урока: Бесконечные периодические десятичные дроби. Десятичное приближение обыкновенной дроби

Бесконечная периодическая десятичная дробь

Вы умеете представлять обыкновенные дроби в виде десятичных дробей, если знаменатель этой дроби при разложении на простые множители не содержит числа, отличные от 2 и 5. Дробь $\frac{3}{4}$ можно представить в виде десятичной, т. к.  

$4 = 2 · 2.$

При делении числителя на знаменатель в столбик мы получим $\frac{3}{4}=0,75;$ такие десятичные дроби называют конечными десятичными дробями , например: 0,24; 2,5; 6,75. А что можно сделать, если при разложении на простые множители знаменателя среди чисел оказалось число, отличное от 2 и 5? Давайте попробуем представить дробь $\frac{10}{11}$ в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель в столбик:

Если мы продолжим деление, то в частном так и будут периодически повторяться цифры 9 и 0 бесконечное количество раз. Такая десятичная запись дроби $\frac{10}{11}$ будет называться бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью . А повторяющуюся группу цифр (90) называют периодом дроби. При записи периодических дробей период заключают в скобки.

$\frac{10}{11}=0,90909...=0,\left(90\right).$

Дробь читают «нуль целых, 90 сотых в периоде».

В начальной школе при делении натуральных чисел частное всегда было натуральным числом. В 5 классе мы познакомились с понятием десятичной дроби. Давайте обобщим, какое частное мы можем получить в результате деления натуральных чисел.

Решение

Запишем обыкновенную дробь $\frac{4}{11}$ в виде периодической дроби. Для этого поделим числитель 4 на знаменатель 11 в столбик:

$\frac{4}{11}=0,363\dots$

Сравним поразрядно получившиеся дроби 0,363… и 0,365. Заметим, что в разряде тысячных первой дроби — цифра 3, второй дроби — 5, $3 < 5,$ значит и  $0,363\dots <0,365.$ Тогда $\frac{4}{11}< 0,365.$

Ответ: $\frac{4}{11}< 0,365.$

Десятичное приближение обыкновенной дроби

Вы уже научились в 5 классе округлять десятичные дроби:

0,4175 ≈ 0,4 (округление до десятых)

0,4175 ≈ 0,42 (округление до сотых)

0,4175 ≈ 0,418 (округление до тысячных).

Это действие можно совершать и с бесконечными периодическими дробями:

3,(45) = 3,4|5 ≈ 3,5 (до десятых);

3,(45) = 3,45|45 ≈ 3,45 (до сотых);

3,(45) = 3,454|5 ≈ 3,455 (до тысячных).

Представим обыкновенную дробь $\frac{5}{6}$ в виде периодической дроби: $\frac{5}{6}\approx 0,8333...=0,8\left(3\right).$

Округлим полученную дробь до сотых, для этого оставим в дробной части 3 цифры: $0,83|3\approx 0,83.$

Полученное значение называют десятичным приближением до сотых дроби $\frac{5}{6}$.

Правило десятичного приближения обыкновенной дроби до нужного разряда