[header]Бесконечные периодические десятичные дроби[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Бесконечная периодическая десятичная дробь
- Десятичное приближение обыкновенной дроби
[/row][row title='Цели урока']
- Знать, что такое бесконечная периодическая десятичная дробь, конечная десятичная дробь, период дроби
- Уметь записывать бесконечные периодические десятичные дроби; находить десятичное приближение обыкновенных дробей
[/row][row title='Разминка' final]
- Как определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде десятичной или нет?
- Какие способы перевода обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
- Можно ли представить смешанное число в виде десятичной дроби?
[/row][/flex]
Бесконечная периодическая десятичная дробь
Вы умеете представлять обыкновенные дроби в виде десятичных дробей, если знаменатель этой дроби при разложении на простые множители не содержит числа, отличные от 2 и 5. Дробь можно представить в виде десятичной, т. к.
При делении числителя на знаменатель в столбик мы получим такие десятичные дроби называют конечными десятичными дробями, например: 0,24; 2,5; 6,75. А что можно сделать, если при разложении на простые множители знаменателя среди чисел оказалось число, отличное от 2 и 5? Давайте попробуем представить дробь в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель в столбик:
[img url='/upload/0vxGOesMO6Xr_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-118.png' width='40'][/img]
Если мы продолжим деление, то в частном так и будут периодически повторяться цифры 9 и 0 бесконечное количество раз. Такая десятичная запись дроби будет называться бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью. А повторяющуюся группу цифр (90) называют периодом дроби. При записи периодических дробей период заключают в скобки.
Дробь читают «нуль целых, 90 сотых в периоде».
В начальной школе при делении натуральных чисел частное всегда было натуральным числом. В 5 классе мы познакомились с понятием десятичной дроби. Давайте обобщим, какое частное мы можем получить в результате деления натуральных чисел.
[line][/line]
[section icon='note']
При делении натурального числа на натуральное число может получиться:
1) натуральное число;
2) конечная десятичная дробь;
3) бесконечная периодическая десятичная дробь.
[/section]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
Сравните и .
[/section]
[line][/line]
Решение
Запишем обыкновенную дробь в виде периодической дроби. Для этого поделим числитель 4 на знаменатель 11 в столбик:
[img url='/upload/ldXEL07GnmgB_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-117.png' width='40'][/img]
Сравним поразрядно получившиеся дроби 0,363… и 0,365. Заметим, что в разряде тысячных первой дроби — цифра 3, второй дроби — 5, значит и Тогда
Ответ:
[line][/line]
Десятичное приближение обыкновенной дроби
Вы уже научились в 5 классе округлять десятичные дроби:
0,4175 ≈ 0,4 (округление до десятых)
0,4175 ≈ 0,42 (округление до сотых)
0,4175 ≈ 0,418 (округление до тысячных).
Это действие можно совершать и с бесконечными периодическими дробями:
3,(45) = 3,4|5 ≈ 3,5 (до десятых);
3,(45) = 3,45|45 ≈ 3,45 (до сотых);
3,(45) = 3,454|5 ≈ 3,455 (до тысячных).
Представим обыкновенную дробь в виде периодической дроби:
Округлим полученную дробь до сотых, для этого оставим в дробной части 3 цифры:
Полученное значение называют десятичным приближением до сотых дроби .
Правило десятичного приближения обыкновенной дроби до нужного разряда
[line][/line]
[section icon='note']
1) Выполнить деление до следующего разряда.
2) Полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.
[/section]
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнения
1. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:
1) ; 2) .
2. Найдите десятичное приближение до сотых и до тысячных.
[/section]
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
1. Что такое периодическая дробь? Почему она так называется? Является ли она конечной десятичной дробью?
2. Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда?
[/section]
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final]
1. 1) 0,(18); 2) 0,3(1).
2. 0,45 и 0,455.
[/row][/flex]
[line][/line]