- Бесконечная периодическая десятичная дробь
- Десятичное приближение обыкновенной дроби
- Знать, что такое бесконечная периодическая десятичная дробь, конечная десятичная дробь, период дроби
- Уметь записывать бесконечные периодические десятичные дроби; находить десятичное приближение обыкновенных дробей
- Как определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде десятичной или нет?
- Какие способы перевода обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
- Можно ли представить смешанное число в виде десятичной дроби?
Бесконечная периодическая десятичная дробь
Вы умеете представлять обыкновенные дроби в виде десятичных дробей, если знаменатель этой дроби при разложении на простые множители не содержит числа, отличные от 2 и 5. Дробь можно представить в виде десятичной, т. к.
При делении числителя на знаменатель в столбик мы получим такие десятичные дроби называют конечными десятичными дробями, например: 0,24; 2,5; 6,75. А что можно сделать, если при разложении на простые множители знаменателя среди чисел оказалось число, отличное от 2 и 5? Давайте попробуем представить дробь в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель в столбик:
Если мы продолжим деление, то в частном так и будут периодически повторяться цифры 9 и 0 бесконечное количество раз. Такая десятичная запись дроби будет называться бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью. А повторяющуюся группу цифр (90) называют периодом дроби. При записи периодических дробей период заключают в скобки.
Дробь читают «нуль целых, 90 сотых в периоде».
В начальной школе при делении натуральных чисел частное всегда было натуральным числом. В 5 классе мы познакомились с понятием десятичной дроби. Давайте обобщим, какое частное мы можем получить в результате деления натуральных чисел.
При делении натурального числа на натуральное число может получиться:
1) натуральное число;
2) конечная десятичная дробь;
3) бесконечная периодическая десятичная дробь.
Пример 1
Сравните и .
Решение
Запишем обыкновенную дробь в виде периодической дроби. Для этого поделим числитель 4 на знаменатель 11 в столбик:
Сравним поразрядно получившиеся дроби 0,363… и 0,365. Заметим, что в разряде тысячных первой дроби — цифра 3, второй дроби — 5, значит и Тогда
Ответ:
Десятичное приближение обыкновенной дроби
Вы уже научились в 5 классе округлять десятичные дроби:
0,4175 ≈ 0,4 (округление до десятых)
0,4175 ≈ 0,42 (округление до сотых)
0,4175 ≈ 0,418 (округление до тысячных).
Это действие можно совершать и с бесконечными периодическими дробями:
3,(45) = 3,4|5 ≈ 3,5 (до десятых);
3,(45) = 3,45|45 ≈ 3,45 (до сотых);
3,(45) = 3,454|5 ≈ 3,455 (до тысячных).
Представим обыкновенную дробь в виде периодической дроби:
Округлим полученную дробь до сотых, для этого оставим в дробной части 3 цифры:
Полученное значение называют десятичным приближением до сотых дроби .
Правило десятичного приближения обыкновенной дроби до нужного разряда
1) Выполнить деление до следующего разряда.
2) Полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.
Упражнения
1. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:
1) ; 2) .
2. Найдите десятичное приближение до сотых и до тысячных.
Контрольные вопросы
1. Что такое периодическая дробь? Почему она так называется? Является ли она конечной десятичной дробью?
2. Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда?
1. 1) 0,(18); 2) 0,3(1).
2. 0,45 и 0,455.