Конспект урока: Бесконечные периодические десятичные дроби. Десятичное приближение обыкновенной дроби

[header]Бесконечные периодические десятичные дроби[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Бесконечная периодическая десятичная дробь
• Десятичное приближение обыкновенной дроби

[/row][row title='Цели урока']

• Знать, что такое бесконечная периодическая десятичная дробь, конечная десятичная дробь, период дроби
• Уметь записывать бесконечные периодические десятичные дроби; находить десятичное приближение обыкновенных дробей

[/row][row title='Разминка' final]

• Как определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде десятичной или нет?
• Какие способы перевода обыкновенной дроби в десятичную вы знаете?
• Можно ли представить смешанное число в виде десятичной дроби?

[/row][/flex]

Бесконечная периодическая десятичная дробь

Вы умеете представлять обыкновенные дроби в виде десятичных дробей, если знаменатель этой дроби при разложении на простые множители не содержит числа, отличные от 2 и 5. Дробь $\frac{3}{4}$ можно представить в виде десятичной, т. к.  

$4 = 2 · 2.$

При делении числителя на знаменатель в столбик мы получим $\frac{3}{4}=0,75;$ такие десятичные дроби называют конечными десятичными дробями, например: 0,24; 2,5; 6,75. А что можно сделать, если при разложении на простые множители знаменателя среди чисел оказалось число, отличное от 2 и 5? Давайте попробуем представить дробь $\frac{10}{11}$ в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель в столбик:

[img url='/upload/0vxGOesMO6Xr_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-118.png' width='40'][/img]

Если мы продолжим деление, то в частном так и будут периодически повторяться цифры 9 и 0 бесконечное количество раз. Такая десятичная запись дроби $\frac{10}{11}$ будет называться бесконечной периодической десятичной дробью или просто периодической дробью. А повторяющуюся группу цифр (90) называют периодом дроби. При записи периодических дробей период заключают в скобки.

$\frac{10}{11}=0,90909...=0,\left(90\right).$

Дробь читают «нуль целых, 90 сотых в периоде».

В начальной школе при делении натуральных чисел частное всегда было натуральным числом. В 5 классе мы познакомились с понятием десятичной дроби. Давайте обобщим, какое частное мы можем получить в результате деления натуральных чисел.

[line][/line]

[section icon='note']

При делении натурального числа на натуральное число может получиться:

1) натуральное число;

2) конечная десятичная дробь;

3) бесконечная периодическая десятичная дробь.

[/section]

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1 

Сравните $\frac{4}{11}$ и $0,365$.

[/section]

[line][/line]

Решение

Запишем обыкновенную дробь $\frac{4}{11}$ в виде периодической дроби. Для этого поделим числитель 4 на знаменатель 11 в столбик:

[img url='/upload/ldXEL07GnmgB_%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B5%25D0%25BC%25D0%25B0%25D1%2582%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25B0-117.png' width='40'][/img]

$\frac{4}{11}=0,363\dots$

Сравним поразрядно получившиеся дроби 0,363… и 0,365. Заметим, что в разряде тысячных первой дроби — цифра 3, второй дроби — 5, $3 < 5,$ значит и  $0,363\dots <0,365.$ Тогда $\frac{4}{11}< 0,365.$

Ответ: $\frac{4}{11}< 0,365.$

[line][/line]

Десятичное приближение обыкновенной дроби

Вы уже научились в 5 классе округлять десятичные дроби:

0,4175 ≈ 0,4 (округление до десятых)

0,4175 ≈ 0,42 (округление до сотых)

0,4175 ≈ 0,418 (округление до тысячных).

Это действие можно совершать и с бесконечными периодическими дробями:

3,(45) = 3,4|5 ≈ 3,5 (до десятых);

3,(45) = 3,45|45 ≈ 3,45 (до сотых);

3,(45) = 3,454|5 ≈ 3,455 (до тысячных).

Представим обыкновенную дробь $\frac{5}{6}$ в виде периодической дроби: $\frac{5}{6}\approx 0,8333...=0,8\left(3\right).$

Округлим полученную дробь до сотых, для этого оставим в дробной части 3 цифры: $0,83|3\approx 0,83.$

Полученное значение называют десятичным приближением до сотых дроби $\frac{5}{6}$.

Правило десятичного приближения обыкновенной дроби до нужного разряда

[line][/line]

[section icon='note']

1) Выполнить деление до следующего разряда.

2) Полученную конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь округлить до нужного разряда.

[/section]

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнения

1. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите ее период:

1) $\frac{2}{11}$;    2) $\frac{14}{45}$.

2. Найдите десятичное приближение $\frac{15}{33}$ до сотых и до тысячных.

[/section]

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Что такое периодическая дробь? Почему она так называется? Является ли она конечной десятичной дробью?

2. Как найти десятичное приближение обыкновенной дроби до нужного разряда?

[/section]

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final]

1. 1) 0,(18);  2) 0,3(1).

2. 0,45 и 0,455.

[/row][/flex]

[line][/line]