Конспект урока: Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания. Процессы при гармонических колебаниях в контуре

Физические процессы, протекающие в колебательном контуре в определённые моменты времени

Рассмотрим физические процессы, протекающие в колебательном контуре, используя графики зависимостей $q\left(t\right)$ и $I\left(t\right)$, соответствующих функциям

$q\left(t\right)=q_m·\cos (\omega ·t+{\phi }_0)$ и $I\left(t\right)=-I_m·\sin (\omega ·t+{\phi }_0).$

Будем считать, что в начальный момент времени заряд конденсатора максимален и равен $q_m$, а сила тока равна нулю. Тогда начальная фаза ${\phi }_0=0$, а графики будут иметь вид, показанный на рис. 1. Рассмотрим ещё два графика: зависимость электрической энергии контура от времени и зависимость магнитной энергии от времени (рис. 1). Отметим на оси моменты времени $\frac{T}{4}$, $\frac{T}{2}$, $\frac{3T}{4}$ и $T$. 

Рис. 1. Графики изменения заряда, силы тока, электрической и магнитной энергии при гармонических колебаниях в контуре

При $t=0$ энергия электрического поля максимальна, а энергия магнитного поля равна нулю. Поэтому энергия всей системы равна

$W=W_{эл}+W_{магн}=\frac{q_m^2}{2C}+0=\frac{q_m^2}{2C}$                        (1).

В промежутке времени от $t=0$ до $\frac{T}{4}$ заряд конденсатора уменьшается от $q_m$ до нуля. Напротив, модуль силы тока за это время нарастает от  $0$ до $I_m$. Сила тока в течение этого времени отрицательна. Такой ток уменьшает заряд пластины конденсатора. При этом энергия электрического поля уменьшается, а энергия магнитного поля тока увеличивается.

В момент времени $\frac{T}{4}$ заряд конденсатора становится равным нулю, а модуль силы тока достигает максимального значения. Следовательно, в этот момент времени энергия электрического поля минимальна и равна нулю. В результате энергия всей колебательной системы в рассматриваемый момент равна достигшей максимума энергии магнитного поля:

$W=W_{эл}+W_{магн}=0+\frac{L·I_m^2}{2}=\frac{L·I_m^2}{2}$                     (2).

После момента времени, соответствующего полному разряду конденсатора, ток в цепи не прекращается. Это объясняется явлением самоиндукции в катушке индуктивности. Действительно, после достижения модулем силы тока максимального значения он не может мгновенно обратиться в нуль. Его уменьшение вызывает ЭДС самоиндукции в катушке, которая поддерживает этот ток. В результате после момента $\frac{T}{4}$ на пластине конденсатора, которая изначально имела положительный заряд, начинает накапливаться отрицательный заряд. Напротив, на пластине, заряжённой изначально отрицательно, начинает накапливаться положительный заряд. В течение промежутка времени от $\frac{T}{4}$ до $\frac{T}{2}$ электрическая энергия контура возрастает, а магнитная уменьшается. Этот процесс заканчивается в момент $\frac{T}{2}$, когда магнитная энергия контура и, соответственно, сила тока обращаются в нуль. К этому моменту электрическая энергия системы и, соответственно, заряд конденсатора достигают максимума. Следовательно, в момент $\frac{T}{2}$ энергия всей колебательной системы равна выражению по формуле (1). С энергетической точки зрения процессы, которые будут происходить в колебательном контуре после момента времени $\frac{T}{2}$ вплоть до момента $T$, аналогичны процессам, происходившим в течение времени от $t=0$ до $\frac{T}{2}$. Однако направление тока на этих двух промежутках времени противоположны. Соответственно, за промежуток времени от $\frac{T}{2}$ до $T$ происходит перезарядка пластины конденсатора от $-q_m$ (в момент $\frac{T}{2}$) до $q_m$ (в момент $T$). После момента времени $T$ все процессы в рассматриваемой колебательной системе будут повторяться с периодом $T$.

Уравнение гармонических колебаний и разность потенциалов

Уравнение гармонических колебаний в колебательном контуре можно получить, используя понятие разности потенциалов.

Пусть в рассматриваемый момент времени направление тока в контуре совпадает с показанным на рис. 2, а. В этом случае заряд $q$ верхней пластины конденсатора увеличивается, следовательно, сила тока уменьшается. Поэтому в катушке действует ЭДС самоиндукции, поддерживающая ток. ${\rm E}=-L·\dot{I}$. Электрическую схему можно представить в виде, показанном на рис. 2, б.

Поскольку $\dot{I}<0$, ${\rm E}=-L·\dot{I}>0$, отметим на схеме точки А и В. Сопротивление проводов равно нулю. Поэтому разность потенциалов между этими точками, с одной стороны, равна разности потенциалов между пластинами конденсатора ($\frac{q}{C}$), а с другой — равна ЭДС источника (катушки индуктивности). Получаем

${\phi }_A-{\phi }_B=\frac{q}{C}=-L·\dot{I}$                              (3).

Рис. 2. Направление тока в контуре

Поскольку $\ddot{q}=\dot{I}$, из выражения (3) получаем уравнение гармонических колебаний в колебательном контуре:

$\ddot{q}=-\frac{1}{L·C}·q$.