- Определение электромагнитных колебаний
- Колебательный контур
- Гармонические свободные колебания в контуре
- Вывод Формулы Томсона для периода электромагнитных колебаний
- Знать, какие колебания называют электромагнитными
- Уметь объяснять, как возникают и протекают электромагнитные колебания в колебательном контуре
- Знать, как связаны амплитуды колебаний заряда и силы тока при гармонических колебаниях
- Уметь находить период электромагнитных колебаний используя формулу Томсона
- Где, в каких системах могут возникать колебательные процессы?
- Какие физические величины могут изменяться при колебаниях?
- Какие величины остаются постоянными?
- Какие физические величины будут изменяться при электромагнитных колебаниях?
Определение электромагнитных колебаний
Колебания могут происходить не только в механических системах, но и в электромагнитных, например, в электрических цепях.
Колебания, при которых энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля и обратно, называют электромагнитными колебаниями.
Периодические или почти периодические изменения заряда, силы тока и напряжения называются электромагнитными колебаниями.
Все рассматриваемые электрические цепи будем считать удовлетворяющими условию квазистационарности. Это означает, что изменения силы тока во всех поперечных сечениях любого неразветвленного участка цепи происходят одновременно и на одинаковую величину. Т.е., в любой момент времени силу тока через каждое такое сечение можно считать одинаковой. Условие квазистационарности можно считать выполненными, если длина рассматриваемой электрической цепи много меньше , где — модуль скорости света в вакууме, а — промежуток времени, в течение которого происходит существенное изменение силы тока. Например, при частоте 50 Гц длина должна быть существенно меньше 6·103 км. В этом случае можно считать, что изменяющееся с течением времени электрическое поле, которое порождает ток, распространяется по всей цепи практически мгновенно, т.е. существенно быстрее изменений этого поля.
Колебательный контур
Свободные электромагнитные колебания происходят в электромагнитной системе только за счет начального запаса энергии.

Чтобы возникли электромагнитные колебания переведем ключ в положение 1 (рис. 1), для зарядки конденсатора. На одной обкладке накопится положительный заряд, на другой отрицательный, между обкладками конденсатора накопится электрическая энергия.
После этого переведем ключ в положение 2, переключив конденсатор на катушку. В результате образуется колебательный контур с начальным запасом энергии, равным энергии заряженного конденсатора. Если к контуру подсоединить осциллограф, то он покажет, что что в контуре возникают колебания. При этом зависимость напряжения от времени соответствует зависимости, характерной для затухающих колебаний.
Затухание колебаний объясняется уменьшением энергии контура с течением времени. это уменьшение обусловлено в основном двумя причинами. Во–первых, при протекании по проводам тока в них, согласно закону Джоуля — Ленца, выделяется определенное количество теплоты. Во-вторых, создаваемые элементами контура электрическое и магнитное поля изменяются с течением времени, что в свою очередь, приводит к излучению электромагнитных волн, которое уносит энергию.
Гармонические свободные колебания в контуре
Можно создать условия, при которых потери энергии в колебательном контуре будут пренебрежимо малы. Тогда свободные электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими. Докажем это, используя энергетический подход.
Пусть начальный заряд конденсатора Тогда запас энергии колебательной системы равен начальной энергии конденсатора:
(1)
– емкость конденсатора.
Заряженный конденсатор после его подключения к катушке индуктивности начинает разряжаться через образовавшуюся цепь. Поэтому заряд конденсатора, а следовательно, и его энергия будут уменьшаться с течением времени. с другой стороны, при разрядке конденсатора в цепи течет электрический ток. Этот ток создает магнитное поле. Следовательно, энергия магнитного поля станет отличной от нуля.
Пусть заряд конденсатора изменяется и к некоторому моменту времени становится равным , а сила тока становится равной . Тогда энергия магнитного поля, созданного током, будет равна:
(2)
- индуктивность катушки контура.
Таким образом, энергия всей системы, складывающаяся из энергий электрического и магнитного полей, в произвольный момент времени равна:
(3)
Если потери энергии колебательной системы пренебрежимо малы, то ее энергия с течением времени остается неизменной, т.е. Следовательно:
(4)
Из выражения (4) следует, что по мере уменьшения энергии электрического поля энергия магнитного поля будет увеличиваться, и наоборот.
По мере уменьшения заряда конденсатора (при его разряде) сила тока в цепи будет нарастать. Наоборот, при уменьшении силы тока заряд будет увеличиваться.
Вывод Формулы Томсона для периода электромагнитных колебаний
Выясним, как связаны между собой заряд конденсатора и сила тока в контуре. Рассмотрим достаточно малый промежуток времени , в течение которого силу тока в контуре можно считать постоянной. За этот промежуток времени заряд одной из пластин конденсатора увеличивается на . Соответственно, на такую по модулю величину уменьшается заряд другой пластины. Иначе говоря, изменение заряда за достаточно малое время и сила тока в контуре связаны соотношением:
(5)
Поскольку промежуток времени достаточно мал, т.е. стремится к нулю, соотношение (5) может быть записано в виде:
(6)
Полученный результат означает, что в любой момент времени сила тока в колебательном контуре равна производной по времени заряда пластины конденсатора.
Возьмем производные по времени от левой и правой частей уравнения (4). С учетом того, что и изменяются с течением времени. получаем:
(7)
Учитывая, что а преобразуем уравнение (7) к виду:
(8)
Уравнение (8) представляет собой с точноcтью до обозначений уравнение гармонических колебаний!
Циклическая частота этих колебаний
Период этих колебаний равен:
(9)
Формулу (9) называют формулой Томсона в честь британского физика Уильяма Томсона.
Решение уравнения (8) может быть записано в виде:
(10)
Из уравнений (10) и (6) следует, что зависимость силы тока в контуре от времени имеет вид:
где – амплитуда силы тока. (11)
Отметим, что если в начальный момент времени заряд конденсатора был равен , а сила тока была равна нулю, то амплитуда колебаний заряда будет равна начальному заряду конденсатора а начальная фаза в формулах (10) и (11) будет равна нулю.
Упражнение 1
1. Как изменится период свободных гармонических колебаний в контуре при увеличении емкости конденсатора в 4 раза?
2. Как изменится период свободных гармонических колебаний в контуре при уменьшении индуктивности катушки в 3 раз?
3. В начальный момент времени заряд конденсатора колебательного контура был равен , а сила тока в контуре была равна нулю. Определите: а) значение заряда пластины, которая при была заряжена положительно, в моменты времени , где – период колебаний; б) значения силы тока в эти моменты времени.
Контрольные вопросы
1. Какие колебания называют электромагнитными?
2. Что собой представляет колебательный контур?
3. Чем обусловлено уменьшение электромагнитной энергии колебательного контура с течением времени?
4. Как связаны сила тока в колебательном контуре и заряд пластины конденсатора?
5. По какой формуле рассчитывают период гармонических колебаний в колебательном контуре?
Упражнение 1
1. Увеличится в 2 раза.
2. Уменьшится в раза.
3. ; ; ; -; ; ; ;