Конспект урока: Электромагнитные колебания. Свободные электромагнитные колебания. Процессы при гармонических колебаниях в контуре

Определение электромагнитных колебаний

Колебания могут происходить не только в механических системах, но и в электромагнитных, например, в электрических цепях.

Все рассматриваемые электрические цепи будем считать удовлетворяющими условию  квазистационарности . Это означает, что изменения силы тока во всех поперечных сечениях любого неразветвлённого участка цепи происходят одновременно и на одинаковую величину. Т. е. в любой момент времени силу тока через каждое такое сечение можно считать одинаковой. Условие квазистационарности можно считать выполненным, если длина $l$рассматриваемой электрической цепи много меньше $с·t$, где $с$ — модуль скорости света в вакууме, а $t$ — промежуток времени, в течение которого происходит существенное изменение силы тока. Например, при частоте 50 Гц длина $l$ должна быть существенно меньше 6 · 10³ км. В этом случае можно считать, что изменяющееся с течением времени электрическое поле, которое порождает ток, распространяется по всей цепи практически мгновенно, т. е. существенно быстрее изменений этого поля. 

Колебательный контур

Свободные электромагнитные колебания происходят в электромагнитной системе только за счёт начального запаса энергии. 

Рис. 1. Колебательный контур

Рассмотрим пример простейшей электромагнитной колебательной системы — колебательный контур . Он состоит из соединённых в замкнутую цепь конденсатора и катушки индуктивности (рис. 1). 

Чтобы возникли электромагнитные колебания, переведём ключ в положение 1 (рис. 1) для зарядки конденсатора. На одной обкладке накопится положительный заряд, на другой отрицательный, между обкладками конденсатора накопится электрическая энергия.  

После этого переведём ключ в положение 2, переключив конденсатор на катушку. В результате образуется колебательный контур с начальным запасом энергии, равным энергии заряжённого конденсатора. Если к контуру подсоединить осциллограф, то он покажет, что в контуре возникают колебания. При этом зависимость напряжения от времени соответствует зависимости, характерной для затухающих колебаний.

Затухание колебаний объясняется уменьшением энергии контура с течением времени. Это уменьшение обусловлено в основном двумя причинами. Во-первых, при протекании по проводам тока в них, согласно закону Джоуля – Ленца, выделяется определённое количество теплоты. Во-вторых, создаваемые элементами контура электрическое и магнитное поля изменяются с течением времени, что, в свою очередь, приводит к излучению электромагнитных волн, которое уносит энергию.

Гармонические свободные колебания в контуре

Можно создать условия, при которых потери энергии в колебательном контуре будут пренебрежимо малы. Тогда свободные электромагнитные колебания в контуре будут гармоническими. Докажем это, используя энергетический подход.

Пусть начальный заряд конденсатора $q_{\mathit{0}}\mathit{.}$ Тогда запас энергии $W_{\mathit{0}}$ колебательной системы равен начальной энергии конденсатора:

$W_{\mathit{0}}\mathit{=}\frac{q_{\mathit{0}}^{\mathit{2}}}{\mathit{2}C}$        (1).

$С$ — ёмкость конденсатора.

Заряжённый конденсатор после его подключения к катушке индуктивности начинает разряжаться через образовавшуюся цепь. Поэтому заряд конденсатора, а следовательно, и его энергия будут уменьшаться с течением времени. С другой стороны, при разрядке конденсатора в цепи течёт электрический ток. Этот ток создаёт магнитное поле. Следовательно, энергия магнитного поля станет отличной от нуля.

Пусть заряд конденсатора изменяется и к некоторому моменту времени $t$ становится равным $q$, а сила тока становится равной $I$. Тогда энергия магнитного поля, созданного током, будет равна

$W_{магн}\mathit{=}\frac{L\mathit{·}{I}^{\mathit{2}}}{\mathit{2}}$     (2).

$L$ — индуктивность катушки контура.

Таким образом, энергия всей системы, складывающаяся из энергий электрического и магнитного полей, в произвольный момент времени $t$ равна

$W\mathit{=}{W}_{эл}\mathit{+}{W}_{магн}\mathit{=}\frac{q^{\mathit{2}}}{\mathit{2}C}\mathit{+}\frac{L\mathit{·}{I}^{\mathit{2}}}{\mathit{2}}$   (3).

Если потери энергии колебательной системы пренебрежимо малы, то её энергия с течением времени остаётся неизменной, т. е. $W=W_0=const.$ Следовательно,

$\frac{q^{\mathit{2}}}{\mathit{2}C}\mathit{+}\frac{L\mathit{·}{I}^{\mathit{2}}}{\mathit{2}}\mathit{=}{W}_{\mathit{0}}$     (4). 

Из выражения (4) следует, что по мере уменьшения энергии электрического поля энергия магнитного поля будет увеличиваться, и наоборот.                     

Вывод формулы Томсона для периода электромагнитных колебаний

Выясним, как связаны между собой заряд конденсатора и сила тока в контуре. Рассмотрим достаточно малый промежуток времени $\Delta t$, в течение которого силу тока $I$ в контуре можно считать постоянной. За этот промежуток времени $\Delta t$ заряд одной из пластин конденсатора увеличивается на $\mathit{∆}q\mathit{=}I\mathit{·}\mathit{∆}t$. Соответственно, на такую по модулю величину уменьшается заряд другой пластины. Иначе говоря, изменение заряда $\Delta q$ за достаточно малое время $\Delta t$ и сила тока $I$ в контуре связаны соотношением

$I\mathit{=}\frac{\mathit{∆}q}{\mathit{∆}t}$     (5).

Поскольку промежуток времени $\Delta t$ достаточно мал, т. е. стремится к нулю, соотношение (5) может быть записано в виде

$I\mathit{=}\underset{\mathit{∆}t\mathit{\to }\mathit{0}}{lim}\frac{\mathit{∆}q}{\mathit{∆}t}\mathit{=}\dot{q}$     (6).

Полученный результат означает, что в любой момент времени сила тока в колебательном контуре равна производной по времени заряда пластины конденсатора.

Возьмём производные по времени от левой и правой частей уравнения (4). 
С учётом того, что $q\left(t\right)$ и $I\left(t\right)$ изменяются с течением времени, получаем

$\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}C}\mathit{·}\mathit{2}q\mathit{·}\stackrel{\mathit{·}}{q}\mathit{+}\frac{L}{\mathit{2}}\mathit{·}\mathit{2}I\mathit{·}\stackrel{\mathit{·}}{I}\mathit{=}\mathit{0}$  (7).

Учитывая, что $I=\stackrel{·}{q,}$ а $\stackrel{·}{I}=\stackrel{··}{q},$ преобразуем уравнение (7) к виду

$\stackrel{\mathit{·}\mathit{·}}{q}\mathit{+}\frac{\mathit{1}}{L\mathit{·}C}\mathit{·}q\mathit{=}\mathit{0}$   (8).

Уравнение (8) представляет собой с точноcтью до обозначений уравнение гармонических колебаний!

Циклическая частота этих колебаний $\omega \mathit{=}\frac{\mathit{1}}{\sqrt{L\mathit{·}C}}.$  

Период этих колебаний равен

$T\mathit{=}\frac{\mathit{2}\pi }{\omega }\mathit{=}\mathit{2}\pi \mathit{·}\sqrt{L\mathit{·}C}$      (9).

Формулу (9) называют формулой Томсона в честь британского физика Уильяма Томсона.

Решение уравнения (8) может быть записано в виде

$q\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}{q}_m\mathit{·}cos\mathit{(}\omega \mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}\mathit{=}{q}_m\mathit{·}cos\mathit{(}\frac{\mathit{1}}{\sqrt{L\mathit{·}C}}\mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}$   (10).

Из уравнений (10) и (6) следует, что зависимость силы тока в контуре от времени имеет вид

$I\mathit{\left(}t\mathit{\right)}\mathit{=}\stackrel{\mathit{·}}{q}\mathit{=}\mathit{-}{q}_m\mathit{·}\omega \mathit{·}\sin \mathit{(}\omega \mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}\mathit{=}\mathit{-}\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{L}·\mathrm{C}}}\mathit{·}\sin \mathit{(}\omega \mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}\mathit{=}$

$\mathit{=}\mathit{-}{I}_m\mathit{·}\sin \mathit{(}\omega \mathit{·}t\mathit{+}{\phi }_{\mathit{0}}\mathit{)}\mathit{,}$

где $I_m$ — амплитуда силы тока (11).

Отметим, что если в начальный момент времени $t\mathit{=}\mathit{0}$ заряд конденсатора был равен $q_{\mathit{0}}$, а сила тока была равна нулю, то амплитуда колебаний заряда будет равна начальному заряду конденсатора $q_{\mathit{m}}\mathit{=}{q}_{\mathit{0}}\mathit{,}$ а начальная фаза ${\phi }_{\mathit{0}}$ в формулах (10) и (11) будет равна нулю.