Законы гидро- и аэростатики

План урока

Давление. Закон Паскаля
Зависимость давления жидкости от высоты столба жидкости
Закон Архимеда
Условия плавания тел
Воздухоплавание. Атмосферное давление

Цели урока

знать, что такое давление
знать закон Паскаля
уметь рассчитывать давление столба жидкости
уметь находить архимедову силу
знать условия плавания тел
знать, что такое атмосферное давление

Разминка

Что называют плотностью тела?
Чему равна сила тяжести?
Чему равен объём параллелепипеда?

Давление. Закон Паскаля

Давайте зададимся следующим вопросом: «Почему, прикладывая одну и ту же по величине силу, с помощью иголки удаётся проткнуть лист картона, а с помощью пальца руки — нет?». Другой пример, человек идёт по сугробам в обычных ботинках и постоянно проваливается, а в лыжах или снегоступах идёт, почти не проваливаясь в снег. Таким образом, результат действия некоторой силы давления будет зависеть не только от её модуля, но и от площади, к которой эта сила прикладывается.

Физическую величину, равную отношению модуля силы $\vec{F}$ , действующей перпендикулярно поверхности, к площади $S$ этой поверхности, называют давлением :

$p = \frac{F}{S}$ .

За единицу давления в СИ принято давление, которое производит сила 1 Н на перпендикулярную к ней поверхность площадью 1 м². Эта единица называется паскалем (Па):

$1 Па = \frac{1 Н}{1 м^{2}}$ .

Рис. 1. Демонстрация закона Паскаля

Если действовать на твёрдое тело некоторой силой, то её давление (воздействие) будет передаваться вдоль направления действия этой силы. Если действовать силами давления на жидкость или газ, то характер взаимодействия будет совершенно иной. Сформулируем закон Паскаля.

Закон Паскаля

Все жидкости и газы передают производимое на них давление во все стороны одинаково.

Демонстрация свойства жидкости и газа — передавать производимое на них давление одинаково во все стороны — отражена на рисунке 1. Основное доказательство выполнения закона Паскаля в быту — это то, что однородный шар, надутый газом или наполненный жидкостью, имеет шарообразную форму.

На практике применяются различные внесистемные единицы давления: физическая нормальная атмосфера (атм) и миллиметр ртутного столба (мм рт. ст.):
1 атм = 101 325 Па = 760 мм рт. ст. Единица измерения мм рт. ст. связана с опытами Торричелли по определению атмосферного давления с помощью трубки, которая заполнена ртутью.

Пример 1

В качестве примера рассмотрим принцип работы гидравлической машины. Определить, какой выигрыш в силе даёт гидравлическая машина, если площади цилиндров различаются в 3 раза.

Решение

Рис. 2. Гидравлическая машина

1. Первым делом разберёмся, что такое гидравлическая машина . Основными частями гидравлической машины являются два цилиндра с поршнями, в цилиндрах под поршнями находится минеральное масло. Цилиндры соединены между собой трубкой, по которой масло может перетекать из одного цилиндра в другой.

2. Площади $S_{1}$ и $S_{2}$ сильно различаются, поршни плотно закрывают цилиндры. При действии силы $F_{1}$ на поршень в узком цилиндре с площадью $S_{1}$ в жидкости под поршнем создаётся давление $p$ , равное

$p = \frac{F_{1}}{S_{1}}$ .

По закону Паскаля такое же давление будет внутри жидкости во втором цилиндре. В результате этого на поршень во втором цилиндре со стороны жидкости действует сила $F_{2}$ :

$F_{2} = p \cdot S_{2} = \frac{F_{1}}{S_{1}} \cdot S_{2} = F_{1} \cdot \frac{S_{2}}{S_{1}}$ .

Отсюда

$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$ .

3. Гидравлическая машина даёт выигрыш в силе во столько раз, во сколько площадь её большого поршня больше площади малого поршня. Значит, ответ — в 3 раза.

4. Гидравлические машины используются в качестве домкратов, тормозных систем, прессов.

Ответ: в 3 раза.

Упражнение 1

1. Какое давление оказывает человек массой 70 кг, стоящий на земле, если площадь его подошвы равна 500 см².

Зависимость давления жидкости от высоты столба жидкости

В цилиндрическом сосуде сила давления на дно сосуда равна весу столба жидкости. Давление на дно сосуда равно

$p = \frac{F_{т}}{S} = \frac{m \cdot g}{S}$ .

Воспользуемся определением массы $m = ρ \cdot V$ и подставим в выражение:

$p = \frac{ρ \cdot V \cdot g}{S} = \frac{ρ \cdot S \cdot h \cdot g}{S} = ρ \cdot g \cdot h$ .

Данное выражение называется формулой гидростатического давления.

Формула гидростатического давления

Давление столба жидкости равно произведению плотности жидкости $ρ$ на модуль ускорения свободного падения $g$ и высоту $h$ столба жидкости.

Заметим, что в соответствии с законом Паскаля жидкость оказывает такое же давление и на стенки сосуда на высоте $h$ .

Закон Архимеда

Зависимость давления в жидкости или газе от глубины приводит к возникновению выталкивающей силы, действующей на любое тело, погружённое в жидкость или газ. Эту силу называют архимедовой .

Рис. 3. Выталкивающая сила

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед высотой $h$ и площадью основания $S$ , который погружён в жидкость плотностью $ρ_{ж}$ . Силы давления жидкости на его боковые грани уравновешиваются, поскольку на одном уровне высоты давление одинаково. А равнодействующая сил давления снизу ${\vec{F}}_{2}$ и сверху ${\vec{F}}_{1}$ (рис. 3) отлична от нуля и является архимедовой силой:

${\vec{F}}_{А} = {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{1}$ ;

$F_{А} = p_{2} \cdot S - p_{1} \cdot S = ρ_{ж} \cdot g \cdot h_{2} \cdot S - ρ_{ж} \cdot g \cdot h_{1} \cdot S =$

$= ρ_{ж} \cdot g \cdot S \cdot (h_{2} - h_{1}) = ρ_{ж} \cdot g \cdot S \cdot h$ .

Так как $S \cdot h = V$ , $ρ_{ж} \cdot V = m$ , то $F_{А} = m_{ж} \cdot g$ , где $m$ — масса вытесненной жидкости.

Архимедова сила направлена противоположно силе тяжести, поэтому вес тела при взвешивании в жидкости или газе оказывается меньше веса, измеренного в вакууме.

Сила Архимеда , выталкивающая погружённое в жидкость или газ тело, равна весу жидкости (газа), вытесненной телом: $F_{А} = m_{ж} \cdot g = ρ_{ж} \cdot V_{т} \cdot g$ , где $ρ$ — плотность жидкости (или газа); $V$ — объём части тела, погружённой в жидкость или газ; $g$ — ускорение свободного падения.

Условия плавания тел

Если сила тяжести по модулю больше архимедовой силы, то тело опускается
вниз — тонет (рис. 4, а). Если модуль силы тяжести равен модулю архимедовой силы, то тело может находиться в равновесии на любой глубине (рис. 4, b).

Рис. 4. Условия плавания тел

Если архимедова сила по модулю больше силы тяжести, то тело поднимается вверх — всплывает (рис. 4, c). Всплывшее тело частично выступает над поверхностью жидкости, если объём погружённой части плавающего тела таков, что вес вытесненной жидкости равен весу плавающего тела (рис. 4, d).

Пример 2

Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объём погружённой части составляет 0,87 всего объёма тела. Определить объём погруженной части при плавании тела на поверхности подсолнечного масла.

Решение

1. Введём следующие обозначения: $V$ — объём всего тела; $V_{п}$ — объём погружённой части тела, плавающего в керосине; $V_{п}^{'}$ — объём погружённой части тела, плавающего в масле.

2. Сделаем схематический рисунок с указанием действующих сил.

3. Запишем условие плавания тела в керосине:

$m \cdot g = ρ_{к} \cdot V_{п} \cdot g = ρ_{к} \cdot 0, 87 V \cdot g$ .

Аналогично для масла:

$m \cdot g = ρ_{м} \cdot V_{п}^{'} \cdot g$ ;

$ρ_{м} \cdot V_{п}^{'} \cdot g = ρ_{к} \cdot 0, 87 V \cdot g$ .

4. Выразим $V_{п}^{'}$ из выражения выше:

$V_{п}^{'} = ρ_{к} \cdot \frac{0, 87 V}{ρ_{м}}$ .

В справочных материалах найдём плотности керосина $ρ_{к} = 0, 8 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$ и подсолнечного масла $ρ_{м} = 0, 93 \cdot 10^{3} \frac{кг}{м^{3}}$ .

$V_{п}^{'} = 0, 8 \cdot 10^{3} \cdot \frac{0, 87 V}{0, 93 \cdot 10^{3}} \approx 0, 75 V$ .

Ответ: $V_{п}^{'} = 0, 75 V$ .

Упражнение 2

1. В цилиндрический сосуд налиты равные массы ртути и воды. Общая высота двух слоёв жидкостей равна 35 см. Определите давление жидкостей на дно сосуда.

2. Кубик из дерева опускают в воду. Каково отношение объёма кубика, находящегося над водой, к объёму кубика, находящегося под водой? Плотность дерева 400 кг/м³.

Воздухоплавание. Атмосферное давление

Рис. 5. Воздухоплавание

Стоит заметить, что закон Архимеда справедлив не только в жидкостях, но и в газах. Только здесь выталкивающая сила обусловлена не жидкостью, а газом, куда помещено тело. Наполняя тонкую оболочку газом (гелием, водородом или нагретым воздухом), плотность которого меньше плотности атмосферного воздуха, можно достигнуть выполнения условия плавания тела в воздухе, когда сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. На этих выводах базируются полёты воздушных шаров и дирижаблей.

Подъёмная сила 1 м³ — разность между весом
1 м³ воздуха и весом 1 м³ газа в воздушном шаре. Подъёмная сила воздушного шара:

$F_{п о д} = F_{А} - P_{ш}$ ,

где $F_{А}$ — сила Архимеда, $P_{ш}$ — вес шара.

Любой газ, в том числе воздух, обладает массой. Так, под действием силы тяжести верхние слои воздуха в земной атмосфере давят на нижележащие слои. Это давление, согласно закону Паскаля, передаётся по всем направлениям: по горизонтали и по вертикали. Наибольшее значение этого давления, называемое атмосферным, находится у поверхности Земли. То есть каждый человек является в некотором роде Атлантом, который каждый день «держит» на своих плечах атмосферу. Атмосферное давление обусловлено весом столба воздуха от поверхности Земли до границы атмосферы. На уровне моря атмосферное давление примерно 10⁵ Па, с увеличением высоты над уровнем моря атмосферное давление уменьшается. Прибор для измерения атмосферного давления — барометр.

Атмосферное давление обусловлено весом всего столба воздуха от поверхности Земли до границы атмосферы. Нормальное атмосферное давление:

$P_{A} = 101 к П а = 10^{5} П а$ .

Контрольные вопросы

1. Какую физическую величину называют давлением?
2. Сформулируйте закон Паскаля.
3. Что такое гидравлическая машина?
4. Какой формулой описывается давление столба жидкости на дно сосуда?
5. От каких величин зависит сила Архимеда?
6. Какое условие должно выполняться, чтобы тело всплывало в воде?
7. Что называют атмосферным давлением?

Ответы

Упражнение 1

1. 14 кПа

Упражнение 2

1. 6,35 кПа

2. 1,5

Конспект урока: Законы гидро- и аэростатики

Гидростатика

Давление. Закон Паскаля

Зависимость давления жидкости от высоты столба жидкости

Закон Архимеда

Условия плавания тел

Воздухоплавание. Атмосферное давление