Конспект урока: Правописание глаголов

Применение условий равновесия при решении задач статики

План урока

Основные формулы
Примеры решения задач

Цели урока

знать условия равновесия твёрдого тела
уметь находить центр масс твёрдого тела
уметь решать задачи статики с применением условий равновесия

Разминка

Что называют плечом силы?
Как звучит общее условие равновесия твёрдого тела?
Какой знак имеет момент силы, вращающий тело по часовой стрелке?

Основные формулы

Перечислим основные формулы, которые понадобятся для решения задач статики.

Первое условие равновесия тела или условие равновесия невращающегося тела:

${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} + . . . + {\vec{F}}_{N} = 0$ .

Определение момента силы:

$M = F \cdot d$ ,

где $d$ — плечо силы — кратчайшее расстояние от направления силы до оси вращения тела.

Второе условие равновесия тела или условие равновесия для тел, имеющих ось вращения:

$M_{1} + M_{2} + M_{3} + . . . + M_{N} = 0$ .

Координаты центра масс:

$x_{с} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} + . . . + m_{N} \cdot x_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$ ;

$y_{с} = \frac{m_{1} \cdot y_{1} + m_{2} \cdot y_{2} + . . . + m_{N} \cdot y_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$ .

Примеры решения задач

Представим себе картину, как трое мальчиков находились на плоту, который покоился на поверхности воды. Если все мальчики встанут в один и тот же угол плота, то этот угол заметно просядет в воду, когда противоположный ему угол, наоборот, поднимется. Жизненный опыт нам подскажет, что равновесие нарушилось, так как центр масс системы тел сместился относительно устойчивого положения. При решении многих задач о равновесии твёрдого тела часто требуется определить положение центра масс этого тела. Потому сначала рассмотрим примеры решения задач на определение положения центра масс твёрдого тела.

Пример 1

Найдите центр масс однородного равностороннего треугольника.

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

1. Равносторонний треугольник — это симметричная геометрическая фигура. Для симметричных геометрических фигур центр масс совпадает с геометрическим центром данной фигуры. Тогда центр масс правильного треугольника — это точка пересечения его медиан. Из курса геометрии известно, что для равностороннего треугольника медиана является ещё и высотой, и биссектрисой.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

2. Также равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Ими являются биссектрисы этого треугольника.

3. Поместим начало декартовой системы координат в центр треугольника, при этом ось OY является осью симметрии треугольника. Для любой материальной точки 1 найдётся материальная точка 2 этого же треугольника, симметричная 1 относительно оси OY.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Поскольку треугольник вырезан из однородного материала, то массы точек 1 и 2 равны, а их координаты по оси OX равны по модулю, но противоположны по знаку.

4. Обратим внимание, что у любого однородного тела симметричной формы центр масс всегда находится в точке пересечения осей симметрии.

Пример 2

Два шара массами 4 и 6 кг скреплены стержнем, масса которого 2 кг. Определить положение общего центра масс, если радиус первого шара 8 см, второго — 10 см, длина стержня 40 см.

Решение

1. Первым делом разберёмся с терминологией. Центр масс — это геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле. Теперь сделаем рисунок. Данная конструкция подобна гире с неравновесными концами, следовательно центр масс будет сдвинут относительно центра стержня.

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

2. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} m_{1} = 4 кг \\ m_{2} = 6 кг \\ m_{3} = 2 кг \\ R_{1} = 8 см = 0, 08 м \\ R_{2} = 10 см = 0, 1 м \\ l = 40 см = 0, 4 м \\ x - ? \end{cases}$ .

3. Чтобы эта система находилась в равновесии относительно оси, проходящей через её центр масс, необходимо выполнение второго условия равновесия:

$M_{1} - M_{2} + M_{3} = 0$ ;

$\{\begin{cases} M_{1} = m_{1} \cdot g \cdot l_{1} \\ M_{2} = m_{2} \cdot g \cdot l_{2} \\ M_{3} = m_{3} \cdot g \cdot l_{3} \end{cases}$ .

Подробнее остановимся в нахождении плеч сил:

$\{\begin{cases} l_{1} = R_{1} + \frac{l}{2} + x \\ l_{2} = R_{2} + \frac{l}{2} - x \\ l_{3} = x \end{cases}$ .

4. Подставим выражения выше в выражение условия равновесия:

$m_{1} \cdot g \cdot (R_{1} + \frac{l}{2} + x) - m_{2} \cdot g \cdot (R_{2} + \frac{l}{2} - x) + m_{3} \cdot g \cdot x = 0$ .

5. Выразим из последнего выражения $x$ :

$m_{1} \cdot R_{1} + \frac{m_{1} \cdot l}{2} + m_{1} \cdot x - m_{2} \cdot R_{2} - \frac{m_{2} \cdot l}{2} + m_{2} \cdot x + m_{3} \cdot x = 0$ ;

$x = \frac{m_{2} \cdot R_{2} - m_{1} \cdot R_{1} + l \cdot (m_{2} - m_{1}) / 2}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$ .

6. Найдём численное значение:

$x = \frac{6 \cdot 0, 1 - 4 \cdot 0, 08 + 0, 4 \cdot (6 - 4) / 2}{4 + 6 + 2} \approx 0, 057 м$ .

Ответ: $x = 0, 057 м$ .

Пример 3

Лестница длиной 6 м приставлена к идеально гладкой стене под углом 60° к горизонту. Коэффициент трения между лестницей и полом равен 0,26. На какое расстояние вдоль лестницы может подняться человек, прежде чем лестница начнёт скользить? Массой лестницы пренебречь.

Решение

1. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} l = 6 м \\ α = 60 ° \approx 1, 05 рад \\ μ = 0, 26 \\ h - ? \end{cases}$ .

2. Сделаем рисунок с указанием всех сил.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

На рисунке $\vec{F}$ — сила давления человека на лестницу, ${\vec{N}}_{1}$ и ${\vec{N}}_{2}$ — силы нормальной реакции опоры стены и пола соответственно.

3. Запишем первое условие равновесия лестницы:

$\vec{F} + {\vec{N}}_{1} + {\vec{N}}_{2} + {\vec{F}}_{тр} = 0$ .

Спроецируем на оси:

$\{\begin{cases} OX : F_{тр} - N_{1} = 0 \\ OY : N_{2} - F = 0 \end{cases}$ ,

$N_{1} = F_{тр} = μ \cdot N_{2} = μ \cdot F$ .

4. Запишем второе условие равновесия лестницы относительно точки 0:

$M_{1} - M_{2} = 0$ .

$M_{1} = F \cdot l_{1}$ — момент силы $F$ ; $M_{2} = N_{1} \cdot l_{2}$ — момент силы $N_{1}$ .

Распишем плечи сил подробнее:

$\{\begin{cases} l_{1} = h \cdot \cos (α) \\ l_{2} = l \cdot \sin (α) \end{cases}$ .

5. Подставим выражение выше в выражение $M_{1} - M_{2} = 0$ :

$F \cdot h \cdot \cos (α) = N_{1} \cdot l \cdot \sin (α)$ ;

$h = \frac{N_{1} \cdot l \cdot \sin (α)}{F \cdot \cos (α)} = \frac{N_{1} \cdot l}{F} \cdot tg (α)$ .

Из уравнений на оси следует, что $μ = \frac{N_{1}}{F}$ .

6. В конечном итоге получаем искомую высоту:

$h = μ \cdot l \cdot tg (α) = 0, 26 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0, 9 м$ .

Ответ: $h = 0, 9 м$ .

Упражнение 1

1. Деревянный брусок лежит на наклонной плоскости. С какой силой нужно прижать его к наклонной плоскости, чтобы он оставался на ней в покое? Масса бруска 1,8 кг, длина наклонной плоскости 1,5 м, высота 80 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость 0,3.

2. Найдите расположение центров масс цилиндра, шара, куба.

Контрольные вопросы

1. Для каких тел достаточно первого условия равновесия?
2. Что такое центр масс?
3. Сформулируйте второе условие равновесия тела.

Ответы

Упражнение 1

1. ≈ 16,8 Н

Применение условий равновесия при решении задач статики

План урока

Основные формулы
Примеры решения задач

Цели урока

знать условия равновесия твёрдого тела
уметь находить центр масс твёрдого тела
уметь решать задачи статики с применением условий равновесия

Разминка

Что называют плечом силы?
Как звучит общее условие равновесия твёрдого тела?
Какой знак имеет момент силы, вращающий тело по часовой стрелке?

Основные формулы

Перечислим основные формулы, которые понадобятся для решения задач статики.

Первое условие равновесия тела или условие равновесия невращающегося тела:

${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} + . . . + {\vec{F}}_{N} = 0$ .

Определение момента силы:

$M = F \cdot d$ ,

где $d$ — плечо силы — кратчайшее расстояние от направления силы до оси вращения тела.

Второе условие равновесия тела или условие равновесия для тел, имеющих ось вращения:

$M_{1} + M_{2} + M_{3} + . . . + M_{N} = 0$ .

Координаты центра масс:

$x_{с} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} + . . . + m_{N} \cdot x_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$ ;

$y_{с} = \frac{m_{1} \cdot y_{1} + m_{2} \cdot y_{2} + . . . + m_{N} \cdot y_{N}}{m_{1} + m_{2} + . . . + m_{N}}$ .

Примеры решения задач

Пример 1

Найдите центр масс однородного равностороннего треугольника.

Решение

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

2. Также равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Ими являются биссектрисы этого треугольника.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Пример 2

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

2. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} m_{1} = 4 кг \\ m_{2} = 6 кг \\ m_{3} = 2 кг \\ R_{1} = 8 см = 0, 08 м \\ R_{2} = 10 см = 0, 1 м \\ l = 40 см = 0, 4 м \\ x - ? \end{cases}$ .

$M_{1} - M_{2} + M_{3} = 0$ ;

$\{\begin{cases} M_{1} = m_{1} \cdot g \cdot l_{1} \\ M_{2} = m_{2} \cdot g \cdot l_{2} \\ M_{3} = m_{3} \cdot g \cdot l_{3} \end{cases}$ .

Подробнее остановимся в нахождении плеч сил:

$\{\begin{cases} l_{1} = R_{1} + \frac{l}{2} + x \\ l_{2} = R_{2} + \frac{l}{2} - x \\ l_{3} = x \end{cases}$ .

4. Подставим выражения выше в выражение условия равновесия:

$m_{1} \cdot g \cdot (R_{1} + \frac{l}{2} + x) - m_{2} \cdot g \cdot (R_{2} + \frac{l}{2} - x) + m_{3} \cdot g \cdot x = 0$ .

5. Выразим из последнего выражения $x$ :

$m_{1} \cdot R_{1} + \frac{m_{1} \cdot l}{2} + m_{1} \cdot x - m_{2} \cdot R_{2} - \frac{m_{2} \cdot l}{2} + m_{2} \cdot x + m_{3} \cdot x = 0$ ;

$x = \frac{m_{2} \cdot R_{2} - m_{1} \cdot R_{1} + l \cdot (m_{2} - m_{1}) / 2}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$ .

6. Найдём численное значение:

$x = \frac{6 \cdot 0, 1 - 4 \cdot 0, 08 + 0, 4 \cdot (6 - 4) / 2}{4 + 6 + 2} \approx 0, 057 м$ .

Ответ: $x = 0, 057 м$ .

Пример 3

Решение

1. Перечислим исходные данные:

$\{\begin{cases} l = 6 м \\ α = 60 ° \approx 1, 05 рад \\ μ = 0, 26 \\ h - ? \end{cases}$ .

2. Сделаем рисунок с указанием всех сил.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

3. Запишем первое условие равновесия лестницы:

$\vec{F} + {\vec{N}}_{1} + {\vec{N}}_{2} + {\vec{F}}_{тр} = 0$ .

Спроецируем на оси:

$\{\begin{cases} OX : F_{тр} - N_{1} = 0 \\ OY : N_{2} - F = 0 \end{cases}$ ,

$N_{1} = F_{тр} = μ \cdot N_{2} = μ \cdot F$ .

4. Запишем второе условие равновесия лестницы относительно точки 0:

$M_{1} - M_{2} = 0$ .

$M_{1} = F \cdot l_{1}$ — момент силы $F$ ; $M_{2} = N_{1} \cdot l_{2}$ — момент силы $N_{1}$ .

Распишем плечи сил подробнее:

$\{\begin{cases} l_{1} = h \cdot \cos (α) \\ l_{2} = l \cdot \sin (α) \end{cases}$ .

5. Подставим выражение выше в выражение $M_{1} - M_{2} = 0$ :

$F \cdot h \cdot \cos (α) = N_{1} \cdot l \cdot \sin (α)$ ;

$h = \frac{N_{1} \cdot l \cdot \sin (α)}{F \cdot \cos (α)} = \frac{N_{1} \cdot l}{F} \cdot tg (α)$ .

Из уравнений на оси следует, что $μ = \frac{N_{1}}{F}$ .

6. В конечном итоге получаем искомую высоту:

$h = μ \cdot l \cdot tg (α) = 0, 26 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0, 9 м$ .

Ответ: $h = 0, 9 м$ .

Упражнение 1

2. Найдите расположение центров масс цилиндра, шара, куба.

Контрольные вопросы

Ответы

Упражнение 1

1. ≈ 16,8 Н

Конспект урока: Статика. Гидро- и аэростатика. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы. Применение условий равновесия при решении задач статики

Статика

Основные формулы

Примеры решения задач

Основные формулы

Примеры решения задач