Статика. Гидро- и аэростатика. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы. Применение условий равновесия при решении задач статики

Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы

План урока

Равновесие невращающихся тел
Равновесие тел, имеющих ось вращения
Момент силы
Виды равновесия

Цели урока

знать условие равновесия невращающихся тел
знать условие равновесия тел, имеющих ось вращения
уметь находить момент силы
знать общее условие равновесия твёрдого тела
знать виды равновесия

Разминка

Какую физическую величину называют силой?
Чему равна сила тяжести?
Чем обусловлено равновесие тела с точки зрения кинематики?

Перейдём к рассмотрению нового раздела механики, который называется статика.

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел под действием нескольких сил, приложенных к этому телу.

Равновесие невращающихся тел

Рис. 1. Равновесие тела

Мы знаем, что если на тело действует сила, то по второму закону Ньютона это тело должно двигаться с ускорением. Однако часто нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, покоится или движется равномерно. Рассмотрим шар, висящий на нити (рис. 1).

На шар действует сила тяжести, но не вызывает ускоренного движения к Земле. Этому препятствует действие равной по модулю и направленной в противоположную сторону силы натяжения нити. Сила тяжести и сила натяжения нити уравновешивают друг друга, их равнодействующая равна нулю, поэтому равно нулю и ускорение шара.

Говоря об условиях равновесия тела, важно вспомнить, что такое центр тяжести. Точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести при любом расположении тела, называют центром тяжести .

При равномерном прямолинейном поступательном движении тела или при его покое в инерциальной системе отсчёта векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю.

Невращающееся тело находится в равновесии , если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю:

$\sum_{n}^{} {\vec{F}}_{n} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + \dots + {\vec{F}}_{n} = \vec{0}$ .

Пример 1

Определите максимальную силу тяги, при которой тело массой $m$ = 5 кг будет покоиться на наклонной плоскости с углом наклона $α$ = 30°, если коэффициент трения поверхности равен 0,15.

Решение

1. Перечислим известные величины:

$\{\begin{cases} m = 5 кг \\ α = 30 ° \\ μ = 0, 15 \\ F_{тяги} - ? \end{cases}$ .

2. Сделаем схематический рисунок с указанием всех сил.

3. Запишем условие равновесия:

${\vec{F}}_{тр} + {\vec{F}}_{тяги} + m \cdot \vec{g} + \vec{N} = 0$ .

Спроецируем на ось OX:

$F_{тр} - F_{тяги} + m \cdot g \cdot \sin (α) = 0$ ,

где $F_{тр} = μ \cdot N = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos (α)$ — сила трения.

4. Выразим и найдём силу тяги:

$F_{тяги} = F_{тр} + m \cdot g \cdot \sin (α) = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos (α) + m \cdot g \cdot \sin (α)$ ;

$F_{тяги} = m g \cdot (\sin (α) + μ \cos (α)) = 5 \cdot 10 \cdot (0, 5 + 0, 15 \cdot 0, 86) \approx$

$\approx 31, 5 Н$ .

Ответ: $F_{тяги} = 31, 5 Н$ .

Упражнение 1

1. Определите силу трения, при которой тело массой $m$ = 4 кг покоится на наклонной плоскости с углом наклона $α$ = 30°, если сила тяги равна 25 Н. Воспользуйтесь рисунком из разобранной задачи.

Равновесие тел, имеющих ось вращения

В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси.

Рис. 2

Например, колесо автомобиля, двери, окна, качели. Если вектор силы $\vec{F}$ лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости ${\vec{F}}_{упр}$ со стороны оси вращения (см. рис. 2, а). Если же прямая, на которой лежит вектор силы $\vec{F}$ , не пересекает ось вращения, то эта сила не уравновешивается силой упругости со стороны оси вращения и тело поворачивается вокруг оси (см. рис. 2, b).

Рис. 3

Вращение тела вокруг оси под действием одной силы ${\vec{F}}_{1}$ может быть остановлено действием второй силы ${\vec{F}}_{2}$ . Опыт показывает, что если две силы ${\vec{F}}_{1}$ и ${\vec{F}}_{2}$ по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие:

$F_{1} \cdot d_{1} = F_{2} \cdot d_{2}$ ,

где $d_{1}$ и $d_{2}$ — кратчайшие расстояния от линий действия сил ${\vec{F}}_{1}$ и ${\vec{F}}_{2}$ до оси вращения.

Момент силы

Введём новую физическую величину, которая будет характеризовать поворот тела вокруг оси вращения под действием приложенной силы.

Момент силы — величина, характеризующая действие силы на тело, которое может поворачиваться вокруг данной оси.

Рис. 4. Момент силы

По величине момент силы равен произведению величины силы $F$ на плечо этой силы $d$ :

$M = F \cdot d$ .

Единица измерения момента $H \cdot м$ (ньютон на метр).

Плечо силы $d$ — расстояние от линии действия силы до оси вращения. Знак момента силы выбирается в зависимости от направления, в котором сила вызывает вращение.

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой стрелке, приписать отрицательный знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки, — положительный знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов.

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

$\sum_{n}^{} M_{n} = M_{1} + M_{2} + . . . + M_{n} = 0$ .

Если обобщить условия равновесия невращающихся тел и правило моментов (условие равновесия тел, имеющих ось вращения), то можно сформулировать условие равновесия твёрдого тела.

Общее условие равновесия твёрдого тела

Тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая (векторная) сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения:

$\{\begin{cases} \sum_{n}^{} {\vec{F}}_{n} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + . . . + {\vec{F}}_{n} = \vec{0} \\ \sum_{n}^{} M_{n} = M_{1} + M_{2} + . . . + M_{n} = 0 \end{cases}$ .

Пример 2

Рычаг, лежащий на цилиндрической трубе, привели в состояние равновесия под действием силы тяги $F = 250 Н$ и силы тяжести груза $m g$ (см. рис). Определите модуль силы тяжести, действующий на груз, если груз на плоскость земли не давит. Все расстояния указаны на рисунке.

Решение

1. Выше мы упоминали, что тело находится в равновесии, если суммарный момент сил относительно опоры рычага равняется нулю. Точка опоры находится в точке касания рычага и трубы.

2. Момент, создаваемый силой тяги, вращает рычаг по часовой стрелке, он будет иметь отрицательный знак. Момент, создаваемый силой тяжести груза, вращает против часовой стрелки, он будет положительный.

Напоминаем, что плечо — это кратчайшее расстояние между направлением силы и осью вращения. Например, для нашей задачи плечо силы тяги — это перпендикуляр, соединяющий точку опоры рычага и линию действия силы тяги. Из рисунка видно, что данное плечо равно 4 м. Плечо силы тяжести равно 0,8 м.

3. Найдём исходную силу тяжести:

$M_{1} - M_{2} = 0 \Rightarrow m \cdot g \cdot l_{2} - F_{тяги} \cdot l_{1} = 0$ ;

$m \cdot g = \frac{F_{тяги} \cdot l_{1}}{l_{2}} = \frac{250 \cdot 4}{0, 8} = 1250 Н$ .

Ответ: $m \cdot g = 1 250 Н$ .

Упражнение 2

1. Тело массой 5 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага. Найдите массу груза, который надо подвесить к левому плечу для достижения равновесия. Длины даны в относительных отрезках, указанных на рисунке.

2. Найдите силу, если создаваемый ей момент равен 10 Н ∙ м, а плечо равно 20 см.

Виды равновесия

Перейдём к качественной характеристике равновесия, называемой устойчивостью. Различают три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие называют устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное положение равновесия (рис. 5). Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остаётся равной нулю, то тело находится в состоянии безразличного равновесия.

Рис. 5. Виды равновесия

С энергетической точки зрения можно сказать, что в состоянии устойчивого равновесия энергия минимальна; вблизи состояния безразличного равновесия энергия постоянна; в состоянии неустойчивого равновесия энергия максимальна.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте условие равновесия для невращающегося тела.
2. Что называют моментом силы?
3. Что такое плечо силы?
4. Как формулируется общее условие равновесия твёрдого тела?
5. Какое равновесие называется неустойчивым?
6. Какой знак имеет момент, вращающий тело против часовой стрелки?

Ответы

Упражнение 1

1. 5 Н

Упражнение 2

1. 7,5 кг

2. 50 Н

Конспект урока: Статика. Гидро- и аэростатика. Условия равновесия твёрдого тела. Момент силы. Применение условий равновесия при решении задач статики

Статика

Равновесие невращающихся тел

Равновесие тел, имеющих ось вращения

Момент силы

Виды равновесия