Конспект урока: Простые механизмы. Коэффициент полезного действия

Наклонная плоскость

Еще из древних времен известно, что основными помощниками человека являлись простые механизмы, например, наклонная плоскость, рычаги, блоки, колеса, шестеренки. Главной задачей простых механизмов является упрощение процесса выполняемой работы.

Рис. 1. Наклонная плоскость

В Древнем Египте было распространено использование наклонной плоскости, которая применялась для того, чтобы тела большой массы можно было перемещать на высоту под действием силы, значительно меньшей веса тела, тем самым получая выигрыш в силе. Давайте определим, какой выигрыш в силе дает наклонная плоскость. Рассмотрим рисунок 1 и найдем, какую силу надо приложить к телу, чтобы двигаться вверх по наклонной плоскости. В проекциях на ось OX, направленную вдоль наклонной плоскости:

$F_{\mathrm{тяги}}=F_{\mathrm{тр}}+F_{\mathrm{тяж}}=\mu ·N+m·g·\sin \left(\alpha \right)=\mu ·m·g·\cos \left(\alpha \right)+m·g·\sin \left(\alpha \right)$.

Если силами трения можно пренебречь, то отношение модуля силы ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тяги}}$, обеспечивающей движение тела по наклонной плоскости, к модулю силы тяжести ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тяж}}$ равно

$\frac{F_{\mathrm{тяги}}}{F_{\mathrm{тяж}}}=\frac{m·g·\sin \left(\alpha \right)}{m·g}=\frac{h}{l}$.

Мы получили, что при отсутствии трения применение наклонной плоскости позволяет уменьшить значение силы, необходимой для перемещения тела по наклонной плоскости, во столько раз, во сколько высота $h$ наклонной плоскости меньше ее длины $l$.
 

Заметим, что выигрыша в работе наклонная плоскость не дает, так как путь $l$ увеличивается во столько раз, во сколько уменьшается модуль действующей силы:

$A=m·g·\frac{h}{l}·l=m·g·h$.

Такая же работа совершается при вертикальном подъеме тела на высоту. Этот результат является следствием закона сохранения механической энергии, так как работа силы тяжести не зависит от формы пути и равна изменению потенциальной энергии.

Рычаг

Рычаг используется для подъема тяжелых предметов, а также, является элементом многих современных орудий труда: ножниц, плоскогубцев, ручного тормоза, стрел подъёмного крана. Рычаг находится в равновесии, если момент сил, вращающих его в направлении по часовой стрелке, равен по модулю моменту сил, вращающих его против часовой стрелки.

Рис. 2. Рычаг

Если направления векторов ${\overrightarrow{F}}_1$ и ${\overrightarrow{F}}_2$ перпендикулярны кратчайшим прямым, соединяющим точки приложения сил и ось вращения, и лежат в одной плоскости, то условие равенства моментов принимает следующий вид:

 

$F_1·l_1=F_2·l_2$,

где $l_1$ и $l_2$ – расстояния от точек приложения сил до точки опоры рычага, то есть оси вращения (см. рис. 2). Если $l_1>l_2$, то рычаг может дать выигрыш в силе в $\frac{l_1}{l_2}$ раз:

$F_2=F_1·\frac{l_1}{l_2}$.

Получение с помощью рычага выигрыша в силе не означает выигрыша в работе. При повороте рычага вокруг точки опоры на угол $\alpha$ сила ${\overrightarrow{F}}_1$ совершает работу 

$A_1=F_1·S_1=F_1·l_1·\alpha$,
 

сила ${\overrightarrow{F}}_2$ совершает работу 

$A_2=F_2·S_2=F_2·l_2·\alpha$.
 

Так как $F_1·l_1=F_2·l_2$, то работа $A_1$, совершенная силой ${\overrightarrow{F}}_1$, равна работе $A_2$, совершенной силой ${\overrightarrow{F}}_2$: 

$A_1=A_2$.
 

Равенство работ $A_1$ и $A_2$ есть следствие закона сохранения механической энергии. Во сколько раз рычаг дает выигрыш в силе, во столько раз дает проигрыш в расстоянии.

Блок

Принято различать два вида блоков: подвижный и неподвижный. Небольшое колесо, закрепленное на неподвижной оси, используется в качестве неподвижного блока. Неподвижный блок позволяет только изменять направление действия силы. Плечи сил, приложенных к разным точкам неподвижного блока (точки A и B), одинаковы, поэтому неподвижный блок не дает выигрыша в силе (рис. 3.а).

Рис. 3. Блок: a) неподвижный; b) подвижный

При подъеме груза массой $m$ с помощью подвижного блока получается выигрыш в силе в два раза, так как плечо OA силы $mg$ в два раза меньше плеча OB силы $\overrightarrow{F}$ натяжения троса (рис. 3.б). Заметим, что при вытягивании троса или веревки на длину $l$ груз поднимается лишь на высоту $\frac{l}{2}$; следовательно, и подвижный блок не дает выигрыша в работе.

Рассмотрение простых механизмов показало, что, выигрывая в силе, мы сразу же проигрываем в перемещение, тем самым выигрыша в работе мы не получаем. Таким образом, можно сформулировать одно из основных правил механики, которое именуется «золотым».

Коэффициент полезного действия

Каждый вид энергии может превратиться полностью в любой другой вид энергии. Однако не так все радужно, как кажется, так как для всех реальных энергетических машин имеет место потеря энергии. Основной источник потерь энергии всем хорошо известен - это трение. Чем меньше общих потерь энергии, тем совершеннее получается машина. Степень совершенства машины характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД). 

Для определения КПД справедливы альтернативные формулы: 

$\eta =\frac{A_{\mathrm{полезн}}}{A}$,
 

где $A_{\mathrm{полезн}}$ – полезная работа, $A$ – вся затраченная работа. 

$\eta =\frac{P_{\mathrm{полезн}}}{P}$,

где $P_{\mathrm{полезн}}$ – полезная мощность, $P$ – вся затраченная мощность.

Решение
 

1. Запишем исходные данные:

 

$\left\{\begin{array}{l}l=12 \mathrm{м}\\ h=5 \mathrm{м}\\ \mu =0,33\\ \eta -?\end{array}\right.$

 

2. Сделаем схематический рисунок с указанием всех сил и применим второй закон Ньютона.

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тяги}}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тр}}+{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{тяж}}+\overrightarrow{N}=0$.

 

Спроецируем на оси:

 

$\mathrm{OX}: F_{\mathrm{тр}}-F_{\mathrm{тяги}}+m·g·\sin \left(\alpha \right)=0$;

$\mathrm{OY}: N=m·g·\cos \left(\alpha \right)$;

$F_{\mathrm{тяги}}=m·g·\sin \left(\alpha \right)+\mu ·m·g·\cos \left(\alpha \right)$.

 

Так как угол $\alpha$ нам неизвестен, выразим его через длину и высоту, используя теорему Пифагора:

 

$\left\{\begin{array}{l}\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{l}\\ \cos \left(\alpha \right)=\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\end{array}\right.$

 

$F_{\mathrm{тяги}}=m·g·\left(\frac{h}{l}+\mu ·\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\right)$.

 

3. Полезной работой в данной задаче мы назовем, приращение потенциальной энергии. То есть основной задачей является подъём тела на высоту $h$, но, помимо этого, мы затратим дополнительную работу против сил трения

 

$A_{\mathrm{полезн}}=m·g·h-0=m·g·h$.
 

Полная работа совершается силой тяги:

 

$A=F_{\mathrm{тяги}}·l=m·g·\left(h+\mu ·\sqrt{l^2-h^2}\right)$.

 

4. Найдем КПД:
 

$\eta =\frac{A_{\mathrm{полезн}}}{A}=\frac{m·g·h}{m·g·\left(h+\mu ·\sqrt{l^2-h^2}\right)}=\frac{h}{h+\mu ·\sqrt{l^2-h^2}}$;

 

$\eta =\frac{5}{5+0,33·\sqrt{{12}^2-5^2}}\approx 0,58\approx 58\%$.

 

Ответ: $\eta =58\%$.