Конспект урока: Масса, импульс и энергия в СТО

Зависимость массы от скорости

В соответствии с законами классической механики, кинетическая энергия материальной точки равна работе $A$, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость материальной точки от нуля до значения $v$.

Тогда, чтобы сообщить протону массой $m_{\mathrm{p}}\approx 1,7·{10}^{-27} \mathrm{кг}$ скорость равную скорости света в вакууме $c$, необходимо совершить над ним работу:

$A=\frac{m_{\mathrm{p}}·c^2}{2}\approx \frac{1,7·{10}^{-27}·{\left(3·{10}^8\right)}^2}{2}=7,65·{10}^{-27} \mathrm{Дж}\approx 480 \mathrm{МэВ}$.

Современные ускорители способны совершать над частицами значительно большую работу. Несмотря на это на сегодняшний день протон удалось разогнать лишь до скорости $v\approx 0,9999·c$, совершив над протоном работу, превышающую приведённое выше значение в 30 000 раз.

Получается, что при скоростях, приближающихся к скорости света, законы классической механики перестают выполняться.

Оказывается, при увеличении скорости тела масса данного тела тоже увеличивается.
 

Пусть $m_0$ — масса покоящегося тела (так называемая масса покоя), а $m$ — масса тела, движущегося со скоростью $v$. Тогда масса движущегося тела рассчитывается по следующей формуле:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$.

На рисунке 1 приведён график зависимости массы тела от его скорости.
 

Из представленной зависимости видно, что чем ближе скорость тела к скорости света в вакууме, тем сильнее возрастает масса тела.

Рис. 1. График зависимости массы тела от его скорости

При малых скоростях движения знаменатель выражения выше близок к единице, поэтому масса тела, движущегося со скоростью, много меньшей скорости света $v\ll c$, практически не отличается от его массы покоя. Заметить увеличение массы при таких скоростях практически невозможно. Однако, если значение скорости приближается к значению скорости света, масса увеличивается в десятки раз. Ускоритель частиц может разогнать электрон до скорости меньше скорости света на 35–50 м/с, при этом масса частицы увеличится приблизительно в 2 000 раз.

Таким образом, пользоваться классическими законами Ньютона для расчёта траекторий быстрых частиц нельзя.

Релятивистский импульс тела рассчитывается с учётом выражения $m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$:

$\overrightarrow{p}=\frac{m_0·\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$.

При увеличении скорости движения масса тела увеличивается. Из уравнения следует, что при скоростях, близких к скорости света, масса тела стремится к бесконечности $m\to \infty$. Следовательно, скорость тела перестаёт возрастать, даже если сила будет действовать на тело бесконечно долго. Для малых скоростей движения $v\ll c$, когда $\frac{v}{c}\ll 1$, импульс переходит в привычный для классической механики вид:

$\overrightarrow{p}=m_0·\overrightarrow{v}.$

Релятивистские законы справедливы для любых скоростей — как малых, так и близких к скорости света. Законы классической механики являются частным случаем релятивистских законов и выполняются при скоростях, много меньших скорости света.

Связь между массой и энергией

Альберт Эйнштейн установил простую формулу, связывающую энергию и массу тела:

$E=m·c^2$.

Из формулы Эйнштейна следует, что при изменении энергии тела изменяется и её масса:

$∆m=\frac{∆E}{c^2}$.

Ярким примером данного явления служит уже известный вам дефект масс. Понятно, что в бытовых условиях обнаружить эти изменения не представляется возможным: энергия и масса горячего напитка в чашке больше энергии и массы того же напитка, имеющего меньшую температуру, но эту разницу не покажут даже самые точные весы.

Из уравнения $E=m·c^2$ следует важный вывод: любое тело обладает энергией, уже благодаря факту своего существования. То есть тело, даже находясь в состоянии покоя, обладает некоторой энергией, получившей название энергия покоя:

$E_0=m_0·c^2$.

В рамках специальной теории относительности выделяют массовые частицы — частицы, обладающие массой, отличной от нуля независимо от скорости их движения, и безмассовые — частицы, масса которых в состоянии покоя равна нулю, эти частицы существуют только в движении.
 

Безмассовые частицы всегда движутся со скоростью света, обладают энергией и импульсом. К безмассовым частицам относятся фотоны.
Связь энергии безмассовой частицы с её импульсом выражается следующим соотношением:

$E=p·c$.

Существование энергии покоя доказано экспериментально. Вспомним реакцию бета-распада:

${}_0{}^{1}n\to {}_1{}^{1}p+{}_{-1}{}^{0}e+{}_0{}^0\tilde{\nu }$.

В результате превращения нейтрона в протон также образуется электрон ${}_{-1}{}^{0}e$ 
и ещё одна нейтральная частица с нулевой массой покоя — электронное антинейтрино ${}_0{}^0\tilde{\nu }$.
 

Масса исходной частицы больше суммы масс протона и электрона на величину $∆m$, изменение энергии системы равно $∆E=∆m·c^2$. Расчёты показывают, что суммарная кинетическая энергия продуктов распада равна величине $∆E$. Таким образом, энергия покоя массовой частицы при её превращении в безмассовую частицу перешла в кинетическую энергию образовавшихся частиц.

Согласно Эйнштейну, энергия и импульс частицы, обладающей массой, связаны следующим соотношением:

$E^2-p^2·c^2={E_0}^2$.

Перепишем выражение выше, используя определение энергии покоя:

$E^2-p^2·c^2={m_0}^2·c^4$.

Последним выражением определяется масса частицы в СТО. Запишем взаимосвязь энергии, массы и релятивистского импульса для массовых и безмассовых частиц:

$E=\sqrt{{m_0}^2·c^4+p^2·c^2}$.

Для одной безмассовой частицы импульс и энергия изменяются одновременно, при этом всегда выполняется

$E^2-p^2·c^2={m_0}^2·c^4$.

Экспериментально подтверждено, что импульс и энергия массовой частицы сохраняются в отсутствие внешних сил, если энергия и импульс связаны соотношением

$E^2=\frac{{\left(\overrightarrow{p}·c^2\right)}^2}{{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2}$.

Из последнего можно записать соотношение, связывающее релятивистскую энергию и массу данной частицы:

$E^{ }=\frac{m_0·c^2}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}$.

Проанализируем последнее выражение для релятивистской энергии. При стремлении скорости частицы $v$ к скорости света $c$ знаменатель дроби стремится к нулю, а энергия — к бесконечности. Этим как раз и объясняется тот факт, что для разгона частиц до скоростей света требуется огромное количество энергии. Для малых скоростей движения $v\ll c$, когда $\frac{v}{c}\ll 1$, можно записать

$\frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}\approx \sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}\approx 1+\frac{v^2}{2c^2}$.

Тогда для малых значений скоростей энергия частицы может быть представлена суммой её энергии покоя и классической кинетической энергией:

$E\approx m{c}^2·\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)=m{c}^2+\frac{m{v}^2}{2}.$